米散射理论基础

1、米散射(Mie scattering);又称粗粒散射”粒子尺度接近或大于入射光波 长的粒子 散射现象。德国物理学家米(Gustav Mie,18681957)指出，其散射光强 在各方向是 不对称的，顺入射方向上的前向散射最强。粒子愈大，前向散射愈强。米散射当球形粒子的尺度与波长可比拟时，必须考虑散射粒子体内电荷的三维分布。 此散射情况下，散射粒子应考虑为由许多聚集在一起的复杂分子构成，它们在入射电磁场的作用下，形成振荡的多极于，多极子辐射的电磁波相叠加，就构成 散射波。又因为粒子尺度可与波长相比拟，所以入射波的相位在粒子上是不均匀 的，造成了各子波在空间和时间上的相位差。在子波组合产生散射波的

2、地方，将出 现相位差造成的干涉。这些干涉取决于入射光的波长、粒子的大小、折射率及 散射 角。当粒子增大时，造成散射强度变化的干涉也增大。因此，散射光强与这些参数 的关系，不象瑞利散射那样简单，而用复杂的级数表达，该级数的收敛相当缓慢。 这个关系首先由德国科学家G.米得出，故称这类散射为米散射。它具有如下特点： 散射强度比瑞利散射大得多，散射强度随波长的变化不如瑞利散射那样剧烈。随 着尺度参数增大，散射的总能量很快增加，并最后以振动的形式趋于一定值。散 射光强随角度变化出现许多极大值和极小值，当尺度参数增大时，极值的个数也增加。当尺度参数增大时，前向散射与后向散射之比增大，使粒子 前半球散射增大

3、。当尺度参数很小时，米散射结果可以简化为瑞利散射；当尺度参 数很大时，它的结果又与几何光学结果一致；而在尺度参数比较适中的范围内，只 有用米散射才能得到唯一正确的结果。所以米散射计算模式能广泛地描述任何尺度 参数均匀球状粒子的散射特点。19世纪末，英国科学家瑞利首先解释了天空的蓝色：在清洁大气中，起主要散 射作用的是大气气体分子的密度涨落。分子散射的光强度和入射波长四次方成反 比，因此在发生大气分子散射的日光中，紫、蓝和青色彩光比绿、黄、橙和 红色彩 光为强，最后综合效果使天穹呈现蓝色。从而建立了瑞利散射理论。20世纪初，德国科学家米从电磁理论出发，进一步解决了均匀球形粒子的散射问题，建立了米

4、散射理论，又称粗粒散射理论。质点半径与波长接近时的散射，特点：粗粒散射与波长无关，对各波长的散射能力相同，大气较混浊时， 大气中悬浮较多的的尘粒与水滴时，天空呈灰白色。米散射理论是由麦克斯韦方程组推导出来的均质球形粒子在电磁场中对平面 波散 射的精确解。一般把粒子直径与入射光波长相当的微粒子所造成的散射称为米散 射。米散射适合于任何粒子尺度，只是当粒子直径相对于波长而言很小时利用瑞利 散射、很大时利用夫琅和费衍射理论就可以很方便的近似解决问题。米散射理论最 早是由G1 Mie在研究胶体金属粒子的散射时建立的。1908年，米氏通过电磁波的麦克斯韦方程，解出了一个关于光散射的严格解， 得出了任意直

5、径、任意成分的均匀粒子的散射规律，这就是著名的米氏理论4 - 6 。根据米散射理论，当入射光强为10,粒子周围介质中波长为入的自然光平行入 射到直径为D的各向同性真球形粒子上时，在散射角为B ,距离粒子r处的散射光和 散射系数分别为：从上式中可以看到，因为是各向同性的粒子，散射光强的分布和角无关。同时上式中上式中:jl = S( m 101 a) Xjj ( m t 01 a/12 sy( m f a) X52 ( m tta)i1、i2为散射光的强度函数；si、s2称为散射光的振幅函数；a为粒子的尺寸参数 (a =n D/A);m = mi +im2为粒子相对周围介质的折射率，当虚部不为零

6、时，表示粒 子有吸收。对于散射光的振幅函数，有：勺二混;1 *如W式中an、bn为米散射系数，其表达式为：如、f mG - 为扩天顷M，“mJ3) $ ms - m了 打，u n?a，_a)姓(- &峻(o) $魅(ma) * .(a) $ n(ma) 4 n(a)( ma)其中:00dP . (msd)o沏几土心)是半奇阶的第一类贝塞尔函数；口申寸心)是第二类汉克尔函数Pn (cos9) 是第一类勒让德函数；P(1)n (cos9 )是第一类缔合勒让德函数。M ie散射理论M ie散射理论是麦克斯韦方程对处在均匀介质中的均匀颗粒在平面单色波 照射 下的严格数学解。由M ie散射知道，距离散射

7、体r处p点的散射光强为几尸i 忧舄 玉8甲/ （& 4?= Is： i01$ z（_g）l：co 5*9A为偏振式中：为光波波长;I 0为入射光强;I sea为散射光强；为散射角；为偏振光的偏振角s 1 (6)=光的偏振角s 1 (6)=为挖:+ ；)的*航sM=匚盘+式中：S()和s2()是振幅函数；an和bn是与贝塞尔函数和汉克尔函数有关的函数；n和n是连带勒让得函数的函数，仅与散射角有关。其中_ 助&口；血 x)用Rl ； (od opa 6. ()W血2 n 2 n + 1这些都是无穷级数求和，在实际计算过程中必须取有限项，Bohren和Huffman 给出了级数项最大值取舍的标准：“

8、昨=x + 4 a i j + 2对于单位振幅入射波经微粒散射后，其散射场振幅的大小与散射角有关，在球 坐标系下，远场散射振幅的大小为：ikr= 讥 COSA * Sy（cosO）ikrA7 sin坦； ikr其中S1和S2为散射辐射电场在垂直及平行于散射面的两个偏振分量。微球内部场 振幅计算公式颗粒内部电场强度为：DO*1 _ 1 r r bJ X r f b7 / i 1n A 1 M/其中Mo1n和Ne1n为矢量波球谐函数，在球坐标系中定义如下:0M； i；=COS1#* T j 日丁 FH1 X)Sin r (cosO) j ( rmx).in ( rmx) n +VcosAPrntx

9、小rmx/* ( Fmx) 1COS*P rwfco$prm x吸收截面Qabs具有损耗介质颗粒的吸收截面为:尬二x其中&是粒子相对介电常数的虚部，经整理可得尬二x其中&是粒子相对介电常数的虚部，经整理可得:咯=62-奋dn| jdr式中mn、nn为: 2n(l n +十 D实际上由Mie散射理论可知，上式中的积分项为电场强度的平方对角度B、全 空间 积分的平均值，即：于是吸收效率为:E1 耳 xKdx式中X = rk = z/ m。当x n 1时即瑞利散射情况，颗粒的内部平均场强为常数，其值9为：-_Improved Mie scatteri ng algorithms WJ. Wiscom

10、beMie计算存在的问题就是如何最有效地构造Mie计算，同时保证准确性和避免数值的不稳定性和病态。Mie计算以耗时著称，首先无穷项级数N的求和，例如：100 m的水滴在0.5 m的可见光散射情况下，大约需1260项求和。其次，典型的计算都希望能对一系列半径（如对尺寸分布求积分）、一系列波长（如对太阳光 谱求积分）及一系列折射率求和（如通过散射参量反推折射率）。Qeit.t. = -： L + 1 IRetafl + b ). n 2 -Qa 刍 (2 + l)(lan3+liJA 足 m只(1用1门+|十)只( min (xmira)=/(mRj *u 工伽二一8 +筑.22耐社 一 0447

11、4A1（a0W04mg# - 0.000175rpL12001 I I r.12001 I I r.00* Dfa202-MO ieoo l&OO I4QQ/ 1200IODO 800 600 400 200(2346784如果在任意角度下S,、s2的实部和虚部的相对误差超过10 5时，认为对s5和 S2的向后递推失败。(而此时，QscaQxt并不受影响，因为当S1，S2的相对误 差达到10 5时，QScaQext的相对误差总维持在 10以下。)=13,78八1* - 10,8mR* + 3.9.打伽“ 二16.35mL +对散射强度|中+ |$中|和偏正度(|S2p|Si|2)/(|S2P+

12、S1p)连分式算法总结:Mie散射计算的核心是计算an和bn.-=20*94 丁 36842=(-l)n*l2 (v + n a2_ = 21 阴卫J =日勺+(19) (-20J4736842) (22.95226131) (A24.95643131) (26.95993017)(-21)(22.95238095) (-24.95643154) (26.95993017)=16.95228198,米散射学习目前所遇到的困难：到底怎样的计算结果才算正确，如何能找到一个米 散射计算结果准确又有效的数据库，来验证自己算法及程序的正确性。倒退式算法的总结：由于脾级数南也般速应隔特狂侑X的增大而减慢

13、讥饭此不同的*佰即使在楝同的计暮轴 屋娈求下疔需级数顼虢叫也不一悴川坪决冈学者W.J.在兀燮计莽的基砒上，塞右Af + 4A 3 + 】0*02 w工壬盘叫二4j +4.05x3 + 18 x 42001 X丰4x5十24200三工壬20000当J小于042时*可以利用lluyleigh公式计算而当x比20000更大时几何光学即可适用,前人的工作总结出一个的经脸计算公式.利用该公式给出的项数可以使帮个计算误差小于107.Wiscomlrf公式尼Dn. l( TH Dn. l( TH 也M/切口 + Dn (血彳堇j 由于Dn函数有很强的收敛性 对于Dn的倒推计算的初值的选取有很强的随意性。 因

14、为当nx时Dn ( m a ) 0所以可以取0作为初值。倒推起点选取大一些，可 以保证Dn函数的收敛完全，但是同时却增加了计算时间。所以必须选取一个最佳 的选择标准。通过试算，作者认为最佳的上限为Arstop =1*5 ft； iA + 10同样，对于贝塞耳函数J n的计算也可以用倒推的方法计算产生同样，对于贝塞耳函数J n的计算也可以用倒推的方法计算产生:* j? JF .n_ 2 心)二* .*.J1(A)J n (久 jflL上式是一个普通的J n的递推式,知道了 J n和J n - 1，可以顺利地计算出所有的J n 序列值。为了避免计算J n的繁琐而又能发挥递推式的快速的优点，采用下面

15、的-* *办法:假设N x时,取某一个递推初始值为：Jn( )0,Jn 1(),其中&是一个很小的数，如可取10-6。将初值代入上式，就可以算出所有的J*。观 察同一自变量的J*和J序列,发现它们对应项之间有固定的倍数关系。如定义这个倍数为B，那么.J畀血=0日勺川由于J 1( a )的计算是非常便利的(J 1 = Sin a /a广COS a / a ),所以B = J 1/ J，计 算出Jn*(a )可以算出J n (a )。和Dn的计算一样,J n的倒推起始点的公式为：NAtop = h + 10关于贝塞尔函数的倒退过程在另一文献中的描述Bessel函数的计算厉来被视为数值计算的难题，用其两项递推公式从低阶往往得不出所碍正 确的高阶值.经脸袤明当阶散血大于*时从零阶与一阶函数向上递推出得人完全不可靠此时 找们说递推时产生了所谓的循环谋割川*因此对虚豪的球Bom!砸数只能用逆推法或级数展开 怯来计