高考数学压轴专题2020-2021备战高考推理与证明分类汇编及答案

1、【最新】推理与证明专题解析（1）一、选择题2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为鸿福齐天”、国富民强”、兴国之路”，为了弄清 国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：小明说：鸿福齐天”是我制作的；小红说：国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；小金说：兴国之路”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的，则鸿福齐天”的制作者是（）A.小明B.小红C.小金D.小金或小明【答案】B【解析】【分析】将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证【详解】依题意

2、，三个人制作的所有情况如下所示：123456鸿福齐大小明小明小红小红小金小金国富民强小红小金小金小明小红小明兴国之路小金小红小明小金小明小红若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则 4满足；若小金的说法正确，则3满足.故鸿福齐天”的制作者是小红，故选：B.【点睛】 TOC o 1-5 h z 本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题2灾K石【比才.3 3O3Q23 3。3Q3U23。3O3/3d C21m.现祭卜列寺工123,123b,123410）匚3333f n 123 n .根据上述规律，若f n 225,则正整数n的值为（）A. 8B. 7C. 6D

3、. 5由规律得f n 由规律得f n 12 322n n 1再解方程即可【详解】22由已知等式的规律可知f nn n 1 ，当 f n 225 由已知等式的规律可知f n4得n 5.故选：D【点睛】考查观察转化能力，是基础题本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键,考查观察转化能力，是基础题x v3.在平面直角坐标系中，方程- -1表示在x轴、y轴上的截距分别为 a,b的直线，类比 a b到空间直角坐标系中，在x轴、y轴、z轴上的截距分别为 a,b,c abc 0的平面方程为()x y z (xy z(A. 1B. 1abcab bc caxy yz zx.C. 1d. ax by cz

4、1ab bc ca【答案】A【解析】【分析】平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是-abc【详解】a,b,c,则该平面的方程为:由类比推理得：若平面在 x轴、y轴、za,b,c,则该平面的方程为:-1 ,故选 A. abc【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平 面中的面积变为空间中的体积 .类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证 明.如本题中，可令x 0,y 0,看z是否为c.一 、2 4 34.观祭(x ) 2x , (x ) 4x , (cosx) sin x ,由归纳推理可得：右te义在R上的函数f(x)满足f

5、(x) f (x),记g(x)为f(x)的导函数，则g( x)=A. f(x)B,f(x)C, g(x)D, g(x)【答案】D【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为f(x)是偶函数，则g(x)f(x)是奇函数，所以g（ x） g（x）,应选答案d.c 27, 一一，3, x 4 ,，可推广为xc 27, 一一，3, x 4 ,，可推广为xC. 2nD. 22n 2.已知x 0,不等式x - 2, x xxx二n 1 ,则a的值为（） xA. n2B. nn【答案】B【解析】【分析】由题意归纳推理得到a的值即可.【详解】由题意，当分母的指数为 1时，分子为11 1 ;当分母的指数为2

6、时，分子为22 4；当分母的指数为3时，分子为3327 ; a 一据此归纳可得：x = n 1中，a的值为nn.x本题选择B选项.归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理,由归纳推理所得的结论不一定正确，通归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理,由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发 现一般性规律的重要方法.给出下面类比推理：“若2a2b,则ab”类比推出 若a2b2,则a0,则ab”类比推出 ，bC C,若a- b0,则ab（C为复数集）： 其中结论正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析

7、】【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可以直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对四个结论逐一进行分析，不难解答【详解】若2a 2b,则a b”类比推出 若a2 b2,则a b”，不正确，比如a 1,b2；a b a b一 “（a b）c ac bc（c 0） ”类比推出-一 一-（c 0）”，正确； c c c在复数集C中，若两个复数满足 a b 0,则它们的实部和虚部均相等，则a,b相等,故正确；若a,b C,当a 1 i,b i时，a b 1 0,但a,b是

8、两个虚数，不能比较大小， 故错误； TOC o 1-5 h z 所以只有 正确，即正确命题的个数是2个，故选B.【点睛】该题考查的是有关判断类比得到的结论的正确性的问题，涉及到的知识点有式子的运算法 则，数相等的条件，复数不能比较大小等结论，属于简单题目.在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有4个，类似的，在立体几何中，与四面体的四个面所在平面的距离相等的点有（）A. 1个B. 5个C. 7个D. 9个【答案】B【解析】【分析】根据平面图形的结论，通过想象类比得出立体图形对应的结论【详解】根据三角形的内切圆和旁切圆可得与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有4个，由此类比

9、到四面体中，四面体的内切球的球心到四个面所在的平面的距离相等， 还有四个旁切球的球心到四个面所在的平面的距离相等，因此这样的点有且只有 5个.故选：B【点睛】本题考查的是类比推理，找出切入点是解题的关键.小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列an有以下结论：a5 15 ;an是一个等差数列； 数列an是一个等比数列； 数列an 的递堆公式an 1 an n 1（n N工其中正确的是（） TOC o 1-5 h z (3) WA.B,C.D.【答案】D【解析】由图形可得：ai=i,a2=1+2,n n 1 an 1 2 n.2所以a5=15；正确；an- an-1= n

10、,所以数列an不是一个等差数列；故 错误； 数列an不是一个等比数列； 错误；数列an的递推关系是an+1=an+n+1(n C N?).正确；本题选择D选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式； 将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等 比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项.关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断： 若甲未被录取，则乙、丙都被录取； 乙与丙中必有一个未被录取； 或者甲未被录取，或者乙被录取 .则三人中被录取的

11、是()A.甲B.丙C.甲与丙D.甲与乙【答案】D【解析】【分析】分别就三人各自被录取进行分类讨论，分析 能否同时成立，进而可得出结论.【详解】若甲被录取，对于命题 ，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，命题成立，则乙、丙有且只有一人录取，命题 成立，则乙被录取，三个命题能同时成立；若乙被录取，命题 成立，则丙未被录取，命题 成立，命题 成立，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，三个命题能同时成立；若丙被录取，命题 成立，则乙未被录取，命题 成立，则甲未被录取，那么命题 就 不能成立，三个命题不能同时成立.综上所述，甲与乙被录取.故选：D.【点睛】本题考查合情推理，考

12、查分类讨论思想的应用，属于中等题 TOC o 1-5 h z .观察下列各式：72 49 , 73 343, 74 2401 ,，则71009的末两位数字为()A. 49B. 43C. 07D. 01【答案】C【解析】【分析】先观察前5个式子的末两位数的特点，寻找规律，结合周期性进行判断即可【详解】观察 72 49 , 7 3 343, 74 2401, 75 2401 7 16807，76 16807 7 117649,，可知末两位每4个式子一个循环，72 49至11 71009一共有 1008个式子，且1008 4 252 ,则71009的末两位数字与75的末两位数字相同，为 07. 故选

13、：C.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据条件寻找周期性是解决本题的关键6ii.6ii.用数学归纳法证明+2+3+ -3=-nn-,nCN*，贝U当n=k+1时)应当在 n=k时对应的等式左边加上(A, k3+1(k+1) 3D.(k3+1) + (k3+2) + + 的等式左边加上(A, k3+1(k+1) 3D.(k3+1) + (k3+2) + + (k+1) 3(k 1)6 (k 1)32【答案】B【解析】分析：当项数从n1时,详解：当n k时,等式左边当n k 1时，等式左边1等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。3 .k3.k3(k3 1) (k3 2)(k3 3).(k 1

14、)3所以增加的项为(k3 1) (k32)(k3 3).(k 1)3所以选B点睛：本题考查了数学归纳法的应用，当项数变化时分析出增加的项，属于简单题。.某单位实行职工值夜班制度，己知 A, B, C, D, E5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A昨天值夜班，从今天起B, C至少连续4天不值夜班，D星期四值夜班，则今天是星期几A.B,三C.A.B,三C.四D.五【解析】分析：A昨天值夜班，D周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假设今天是周二，则周二与周三B, C至少有一人值夜班，与已知从今天起B, C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三

15、，则周五与下周一 B, C至少有一人值夜班，与已知从今天起B, C至少连续4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四.详解：A昨天值夜班，D周四值夜班，今天不是周一也不是周五，若今天是周二，则周一 A值夜班，周四D值夜班，则周二与周三 B, C至少有一人值夜班，与已知从今天起 B, C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则 A周二值夜班，D周四值夜班，则周五与下周一B, C至少有一人值夜班，与已知从今天起 B, C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周四，则周三 A值夜班，周四D值夜班，周五E值夜班，符合题意.故今天是周四.故选：C.点睛：本题考查简单的推理，考查合情推理等基础知识，考查推理论证能

16、力，属于中档题.已知 f (x) sinx cosx,定义 f(x) f (x),_,_* i，、f2(x)f1(x) , fn1(x)fn(x) , ( n N ),经计算，fi(x) cosx sin x,f2(x)sin x cosx, f3(x)cosx sin x,，照此规律，f20i9(x)()A. cosx sin x B. cosx sin x C sin x cosx D. cosx sin x 【答案】A【解析】【分析】根据归纳推理进行求解即可.【详解】解：由题意知：f (x) sin x cosx ,f1 (x)f (x) cosx sin x ,(f2(x)f1(x)s

17、inx cosx ,f3(x)f2(x)cosx sin x ,(f4(x)f3(x)sin x cosx,L照此规律，可知： f2019(x)f3(x)f2(x)cosx sin x,故选：A.【点睛】本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键.y y z z x x.设 x, y, z0,则三个数一 一，一 一，一 一()x z x y z yA.都大于2B.至少有一个大于 2C.至少有一个不小于 2D.至少有一个不大于 2【答案】C【解析】【分析】【详解】假设这三个数都小于 2,则三个数之和小于 6,又+2+三+ 3 + 2+?=(2+)+ xzxyzy x y(-+ )+(-

18、+ -) 2F2 + 2=6,当且仅当x= y=z时取等号，与假设矛盾，故这三个数 z y x z至少有一个不小于 2.在一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A,甲、乙、丙B,乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙【答案】A【解析】【分析】利用逐一验证的方法进行求解 .【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲

19、必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选 A.【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力.题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查. -1 116.用数学归纳法证明不等式 1 -2 3n k到n k 1时，左边增加的项数是（ -1 116.用数学归纳法证明不等式 1 -2 3n k到n k 1时，左边增加的项数是（A. 2kB. 2k 1【答案】A【解析】【分析】2且n N ）时，在证明从C.2k 1d. k根据题意由nk递推到n k 1时，由nk 1时的不等式左边1 1 12 3解.【详解】12k 1112k2k 1

20、一与n k时不等式的左边比较即可求 2k 1 1 一1 11 一，一 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark88 o Current Document 用数学归纳法证明不等式 1 - 1 1I n的过程中, 2 32n 1,，1 11假设n k时不等式成立，则左边1 1 1, HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 2 32k 1，11那么当n k 1时，左边 1,，11那么当n k 1时，左边 1,12 312k 1112k2k 12k 1 1由n k递推到n k 1时，不等式左边增加了:112k 2k 12k 1 1

21、共 2k 1 12k 12k 项.故选：A【点睛】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到.任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段”去掉，这样，原来的条线段就变成了 4条小线段构成的折线，称为 次构造”；用同 样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到了16条更小的线段构成的折线，称为 上次构造”，如此进行 n次构造”，就可以得到一条科曲线.若要科赫曲线的长度达到原来的100倍，至少需要通过构造的次数是（).(取 lg 2 0.3010,lg30.4771)D.

22、18D. 18n 1n-a -4 a,建立不A. 15B. 16C. 17【答案】C【解析】【分析】由折线长度变化规律得到 n次构造后，曲线的长度为ln等式 4 a iooa ,利用对数运算求解3【详解】设原线段长为a,经过n次构造后,曲线的长度为1n则经过1次构造后，曲线的长度为设原线段长为a,经过n次构造后,曲线的长度为1n则经过1次构造后，曲线的长度为114a经过2次构造后,曲线的长度为l2经过3次构造后,曲线的长度为l3依次类推,经过n次构造后,曲线的长度为1经过n次构造后,曲线的长度为1n若要科赫曲线的长度达到原来的100 倍,a 100a，log 4 1003log 4 10031

23、g1002lg 2 lg316.0132 0.3010 0.4771，所以至少需要通过构造的次数是17.故选：C【点睛】 本题主要考查数列新定义运算问题涉及到对数运算，还考查了推理论证的能力，属于中档 题.三角形的三个顶点的坐标分别为(不，%) , (X2,y2), (X3,y3),则该三角形的重心X1 X2 X3 % V2 V3(二边中线父点)的坐标为 ,-.类比这个结论，连接四面体的一 TOC o 1-5 h z 33个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线，四面体的四条中线交于一点，该点 称为四面体的重心.若四面体的四个顶点的空间坐标分别为(为，丫乙)，(X2,y2,Z2),(X3

24、, y3,Z3) , (X4, y4,Z4),则该四面体的重心的坐标为()X1X2X3X4,y1V2y3丫4,4 Z2 Z3。XiX2X3X4 y2 y3 y4 4 Z2 Z3 , HYPERLINK l bookmark96 o Current Document 222XiX2X3X4y y3y3y44Z2Z34,% X2 X3 X4 y y2 Ya y4 4 z2 Z3 d .,444【答案】D【解析】 【分析】首先根据题意，三角形的重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数，从平面扩展到空间， 从三角形扩展到四面体，得到四面体的重心的坐标是四个顶点的算术平均数，从而得到答 案.【详解】根据题意，三角形重心的坐标是三个顶点的坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形推广到四面体，就是四面体重心的坐标是四个顶点的算术平均数，故选D.【点睛】该题考查的是类比推理，由平面图形的性质类比猜想得出空间几何体的性质，一般思路是：点到线，线到面，或是二维到三维，属于简单题