【全程复习方略】(浙江专用)2013版高考数学78立体几何中的向量方法课时体能训练理新人教A版doc

1、【全程复习方略】（浙江专用）2013版高考数学7.8立体几何中的向量方法课时体能训练理新人教A版(45分钟100分)一、选择题(每题6分，共36分)1.已知直线l1的方向向量是a(2,4，x)，直线l2的方向向量是b(2，y,2)，若|a|6，且ab0，则xy的值是()(A)3或1(B)3或1(C)3(D)12.在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于()(A)AC(B)BD(C)A1D(D)A1A3.(易错题)如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC2，ACB90，F、G分别是线段AE、BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为

2、()3333(A)(B)(C)(D)66334.(2012金华模拟)正三棱柱ABCA1B1C1的棱长都为2，E，F，G为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()35(A)5(B)6-1-3336(C)10(D)105.(2012晋城模拟)以以下图，在正方体ABCDABCD中，棱长为a，M，N分别为AB和AC上的点，AM111111AN2a)，则MN与平面BBCC的地点关系是(311(A)订交(B)平行(C)垂直(D)不能够确定6.如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，沿对角线BD将ABD折起，使A点在平面BCD内的射影O落在BC边上，若二面角CABD的大小为，则s

3、in的值等于()(A)3(B)744374(C)7(D)5二、填空题(每题6分，共18分)7.(易错题)已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为.1111的棱长为111111的距离为.8.如图，正方体ABCDABCD1，O是底面ABCD的中心，则点O到平面ABCD-2-正四棱锥SABCD中，O为极点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是.三、解答题(每题15分，共30分)10.(2012温州模拟)已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，DAB90，PA底面ABCD，且PAADDC1，AB2，M是P

4、B的中点.证明：平面PAD平面PCD；求AC与PB所成的角的余弦值；求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值.11.(2012衢州模拟)如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，ABC60，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，CF1.求证：BC平面ACFE；(2)点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为(90)，试求cos的取值范围.【研究创新】-3-(16分)如图，在矩形ABCD中，AB2，BCa，PAD为等边三角形，又平面PAD平面ABCD.若在边BC上存在一点Q，使PQQD，求a的取值范围；当边BC上存在唯一点Q，使PQQD时，求二面角APDQ

5、的余弦值.答案剖析1.【剖析】选A.由题意知|a|22224x6，得x4.由ab44y2x0得x2y2，当x4时，y3，xy1；当x4时，y1，xy3，综上xy3或1.2.【解题指南】合理成立坐标系，分别求出选项中的线段对应的向量，即可求得结果.【剖析】选B.以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x，y，z轴成立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，B(1,0,0)，11D(0,1,0)，A1(0,0,1)，E(，1)，22uuur11CE(2，2，1)，-4-uuuruuurAC(1,1,0)，BD(1,1,0)，uuuuruuuurAD(0,1，1)

6、，AA(0,0，1)，11uuuruuur11显然CEgBD2200，uuuruuurCEBD，即CEBD.3.【剖析】选A.如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC2，ACB90，F、G分别是线段AE、BC的中点.以C为原点成立空间直角坐标系Cxyz，A(0,2,0)，B(2,0,0)，D(0,0,2)，G(1,0,0)，F(0,2,1)，uuuruuurAD(0，2,2)，GF(1,2,1)，uuuruuuruuuruuur|AD|22，|GF|6，ADGF2，uuuruuuruuuruuurADgGF3cosAD，GFuuuruuur.|AD|GF|63直

7、线AD与GF所成角的余弦值为6.【误区劝告】此题简单忽略异面直线所成角的范围而误选B.【变式备选】在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上随意一点，则直线OP与直线AM所成的角是()(A)6(B)4(C)3(D)2【剖析】选D.成立坐标系，经过向量的坐标运算可知AMOP总成立，即AM与OP所成的角为.24.【剖析】选A.如图，取A1B1的中点E1，成立以以下图空间直角坐标系Exyz.则E(0,0,0)，F(1,0,1)，B1(1,0,2)，A1(1,0,2)，-5-13C1(0，3，2)，G(2，2，2).uuurB1F(2,0，1)，设平

8、面GEF的一个法向量为n(x，y，z)，uurxz0ngEFzx由uuur1x，得，ngFG3yz0y3x2令x1，则n(1，3，1)，设B1F与平面GEF所成角为，则uuuruuur|ngB1F|3sin|cosn，B1F|uuur.|n|B1F|5uuuur【解题指南】成立坐标系，判断MN与平面BB1C1C的法向量的关系.【剖析】选B.分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，成立空间直角坐标系.2A1MAN3a，2a22M(a，3a，3)，N(3a，3a，a).uuuura2MN(3，0，3a).又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，uuuuurC1D1(0，a,0).

9、uuuuruuuuuruuuuruuuuurMNC1D10.MNC1D1.uuuuurC1D1是平面BB1C1C的一个法向量，且MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.-6-973【剖析】选A.由题意可求得BO4，OC4，AO47，成立空间直角坐标系如图，则79C(4，0,0)，B(4，0,0)，37A(0,0，47)，D(4，3,0)，uuuruuur9，0，37)BD(4,3,0)，BA(44设m(x，y，z)是平面ABD的一个法向量.4x3y0则93，取z3287，x7，y.x7z034428则m(7，3，37).uuur又CD(0,3,0)是平面ABC的一个法向量.uuuruuur

10、mgCDcosm，CDuuur|m|g|CD|2871674.33723sin1(4)4.【方法技巧】求二面角的策略法向量法，其步骤是：建系，分别求组成二面角的两个半平面的法向量，求法向量夹角的余弦值，依照题意确定二面角的余弦值或其大小.平面角法，该法就是第一利用二面角的定义，找出二面角的平面角，尔后用向量法或解三角形法求其余弦值.mgn27.【剖析】cosm，nmn2，m，n4，3两平面所成二面角的大小为或.443答案：4或43【误区劝告】此题简单认为两平面所成角只有4，而忽略4.8.【剖析】以D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴成立空-7-间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1

11、,1,0)111111的法向量n，D(0,0,1)，C(0,1,1)，O(2，2，1)，设平面ABCD(x，y，z)，uuury0ngAB由uuuur，ngAD1xz0y0得，xz令x1，得n(1,0,1)，uuuur11又OD1(，2，0)，2uuuur1O到平面ABC1D1的距离d|ngOD1|22.|n|242答案：49.【剖析】如图，以O为原点成立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，aC(a,0,0)，P(0，2，2)，uuuruuuraauuur则CA(2a,0,0)，AP(a，)，CB(a，a,0)，22设平面PAC的一个法向量为

12、n，可取n(0,1,1)，uuuruuuurCBgna1则cosCB，nuuur2，CBgn2a22uuurCB，n60，直线BC与平面PAC所成的角为906030.答案：3010.【剖析】以A为坐标原点，如图成立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，1D(1,0,0)，P(0,0,1)，M(0,1，2).uuuruuur(1)因为AP(0,0,1)，DC(0,1,0)，uuuruuur故APDC0，所以APDC.-8-由题设知ADDC，且AP与AD是平面PAD内的两条订交直线，由此得DC平面PAD，又DC在平面PCD内，故平面PAD平面PCD.uu

13、uruuur(2)因为AC(1,1,0)，PB(0,2，1)，uuuruuuruuuruuur故|AC|2，|PB|5，ACPB2，uuuruuuruuuruuurACgPB10所以cosAC，PBuuuruuur.|AC|g|PB|5在MC上取一点N(x，y，z)，uuuruuur则存在R，使NCMC，uuuruuur1NC(1x,1y，z)，MC(1,0，)，21x1，y1，z2.uuuruuur14412要使ANMC，只要ANMC0，即xz0，解得，可知当时，N点坐标为(，1，)，能25555uuuruuur使ANMC0，uuur12uuur12此时，AN(5，1，5)，BN(5，1，5

14、)，uuuruuur有BNMC0，uuuruuuruuuruuur由ANMC0，BNMC0得ANMC，BNMC，所以ANB为所求二面角的平面角.uuur30uuur30uuuruuur4|AN|5，|BN|5，ANBN5，uuuruuurcosAN，BNuuuruuurANgBNuuuruuur|AN|g|BN|23.【变式备选】(2012吉林模拟)如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD底面ABCD，E、F分别为棱BC、AD的中点.-9-若PD1，求异面直线PB与DE所成角的余弦值.6若二面角PBFC的余弦值为6，求四棱锥PABCD的体积.【剖析】(1)E，F分别为棱

15、BC，AD的中点，ABCD是边长为2的正方形DFBE且DFBEDFBE为平行四边形DEBFPBF等于PB与DE所成的角.25PBF中，BF5，PF2，PB3cosPBF5异面直线5PB和DE所成角的余弦值为5.以D为原点，直线DA，DC，DP分别为x，y，z轴成立空间直角坐标系，设PDa，可得以下点的坐标：P(0，0，a)，F(1,0,0)，B(2,2,0)uuruuur，则有：PF(1,0，a)，FB(1,2,0)，因为PD底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为m(0,0,1)，uur0 xaz0设平面PFB的一个法向量为PFgnn(x，y，z)，则可得uuur即，FBgn0 x2y0

16、11116令x1，得za，y2，所以n(1，2，a).已知二面角PBFC的余弦值为6，所以得：1mna6cosm，n，解得a2.|m|n|516218因为PD是四棱锥PABCD的高，所以，其体积为VPABCD3243.【剖析】(1)在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，ABC60，AB2，2223，ACABBC2ABBCcos60-10-222ABACBC，BCAC，平面ACFE平面ABCD，平面ACFE平面ABCDAC，BC平面ABCD，BC平面ACFE.(2)由(1)可成立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的以以下图的空间直角坐标系，令FM(03)，则C(0,0,0)，A(

17、3，0,0)，B(0,1,0)，M(，0,1).uuuruuuurAB(3，1,0)，BM(，1,1).设n(x，y，z)为平面MAB的一个法向量.1uuurn1gAB03xy0由uuuur得，n1gBM0 xyz0取x1，则n1(1，3，3)，n2(1,0,0)是平面FCB的一个法向量，cosn1gn21n1gn213(3)211，(3)2403，当0时，cos有最小值77，1当3时，cos有最大值2.1cos7，2.【研究创新】【剖析】(1)取AD中点O，连结PO，则POAD.平面PAD平面ABCD，-11-平面PAD平面ABCDAD，PO平面ABCD.成立如图的空间直角坐标系，a则P(0,0，2a)，D(2，0,0).设Q(t,2,0)，uuur3uuura则PQ(t,2，2a)，DQ(t2，2,0).PQQD，uuuruuura)40.PQDQt(t244a2(tt)，a0，t0，2(tt)8，等号成立