二次函数的图像和性质(共课时)课件

1、22.1 二次函数的图象和性质22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第一课时第二课时人教版 数学 九年级 上册22.1 二次函数的图象和性质第一课时第二课时人教版 数学第一课时返回二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第一课时返回二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质y=a(x-h)2 +k(a0)a0a0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值向上向下(h ,k)(h ,k)x=hx=h当xh时，y随着x的增大而增大. 当xh时，y随着x的增大而减小. x=h时,y最小值=kx=h时,y最大值=k抛物线y=a(x-h)2+k(a0)的图象可由y=ax2的图象通过上下和左右平移得到

2、.回顾旧知二次函数y=a(x-h)2+k的性质y=a(x-h)2 +k(a0)a0a0开口方向顶点坐 我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质?导入新知 我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k素养目标3. 能根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象.1. 会用配方法或公式法将一般式yax2bxc化成顶点式y=a(x-h)2+k. 2. 能熟练求出二次函数一般式yax2bxc的顶点坐标、对称轴.素养目标3. 能根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象画出二次函数y=ax2+bx+c的图象 我们已经知道y=a(x

3、-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？【思考1】怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？探究新知知识点 1画出二次函数y=ax2+bx+c的图象 我们配方可得想一想：配方的方法及步骤是什么？探究新知怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？配方可得想一想：配方的方法及步骤是什么？探究新知怎样将 配方 (1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式.【提示】配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.探究新知配方 (1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内【思考2】你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？答：对称轴是直线x=6,顶点

4、坐标是（6，3）.【思考3】二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？答：平移方法1： 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.探究新知【思考2】你能说出 【思考4】 如何画二次函数 的图象？9876543x1. 利用图象的对称性列表7.553.533.557.5510 xy5102.然后描点画图，得到图象如右图.O方法一：描点法探究新知【思考4】 如何画二次函数 方法二：平移法268y4O-22x4-468探究新知方法二：平移法268y4O-22x4-468探究新知【思考5】 结合二次函数 的图象，说出其性质.510 xy51

5、0 x=6当x6时，y随x的增大而增大.O探究新知开口方向：对称轴：顶点：向上x=6(6,3)【思考5】 结合二次函数 例1 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质. x-2-101234y-6.5-4-2.5-2-2.5-4-6.5解: 函数 通过配方可得 ， 先列表：画二次函数y=ax2+bx+c的图象并且说出它的性质素养考点 1探究新知例1 画出函数 2xy-204-2-4-4-6-8然后描点、连线，得到图象如下图：由图象可知，这个函数具有如下性质：开口方向：向下顶点坐标：（1，-2）对称轴：x=1最值：x=1时，y最大值=-2当x1时，函数值y随x的增大而增大；当x1时，函数值y

6、随x的增大而减小；当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.探究新知2xy-204-2-4-4-6-8然后描点、连线，得到图象如 . 求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1).解：巩固练习1 . 求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质 根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质吗？y=ax2+bx+c探究新知知识点 2二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质 根y=ax2+bx+c二次函数的顶点式对称轴为 .二次函数的一般表

7、达式因此，抛物线的对称轴是 ，顶点是 .探究新知y=ax2+bx+c二次函数的顶点式对称轴为 yOx（a0）yOx（a0）yOx（a1可得2ab0，故正确；利用二次函数y=ax2+bx+c的图象确定字母的值素养考点 3探究新知例3 已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，下列3. 二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，下列选项中正确的是（ ）Aa0 Bb0 Cc0 D ac0巩固练习解析 根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定y0或y0时，x的范围，确定代数式的符号开口向下，a0，A错误；对称轴在y轴的右侧和a0，可知b0，B正确；抛物线与y

8、轴交于正半轴，c0，C错误；因为a0，所以ac0，D错误B3. 二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示， 如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1对于下列说法：ab0；2a+b=0；3a+c0；a+bm（am+b）（m为实数）；当1x3时，y0，其中正确的是（） A B C D巩固练习A连接中考 如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：x-10123y51-1-11A. y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x= 则该

9、二次函数图象的对称轴为( )D课堂检测基础巩固题1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下Oyx1232. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则下列结论：（1）a、b同号；（2）当x=1和x=3时，函数值相等；（3） 4a+b=0； （4）当y=2时，x的值只能取0； 其中正确的是.（2）课堂检测基础巩固题Oyx1232. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a3. 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：b-2a=0；4a-2b+cy2.其中正确的是（ ）A B C DxyO2x=-1B课堂检测基础巩固题3.

10、 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的一部 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：直线x=3直线x=8直线x=1.25直线x= 0.5课堂检测能力提升题 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：直线1.已知函数y=-2x2+x-4,当x= 时，y有最大值 .2.已知二次函数y=x2-2x+1，那么它的图象大致为（ ）B课堂检测拓广探索题1.已知函数y=-2x2+x-4,当x= 顶点：对称轴：y=ax2+bx+c（a 0)(一般式)配方法公式法(顶点式)课堂小结顶点：对称轴：y=ax2+bx+c（a 0)配方法公式法课第二课时返回待定系数法求二次函数的解析式第二课时

11、返回待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求函数的解析式 已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求这个一次函数的解析式。 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b,因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12）， 所以 解得 k=3，b=-6一次函数的解析式为y=3x-6.【思考】如何用待定系数法求二次函数的解析式呢？导入新知用待定系数法求函数的解析式 已知一次函数经过素养目标2.灵活应用三点式、顶点式、交点式求二次函数的解析式.1.会用待定系数法求二次函数的解析式.素养目标2.灵活应用三点式、顶点式、交点式求二次函数的解析式【思考】回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤

12、求二次函数y=ax2+bx+c的解析式的关键是什么？用三点式求二次函数的解析式 探究新知知识点 1【思考】回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤求 我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式。对于二次函数，由几个点的坐标可以确定二次函数？ 已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)，求这个函数的解析式.解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得：a-b+c=10a+b+c=4三个未知数，两个等量关系，这个方程组能解吗？第一步:设出解析式的形式；第二步:代入已知点的坐标；第三步：解方程组。探究新知 我们知道，

13、由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标 已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)，求这个函数的解析式.第一步:设出解析式的形式；第二步:代入已知点的坐标；第三步：解方程组。解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7三个未知数，三个等量关系，这个方程组能解吗？探究新知 已知一个二次函数的图象过点(-1,a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7?由-可得：2b=-6b=-3由-可得：3a+3b=-3a+b=-1a=2将a=2，b=-3代入可得：2+3+c=10c=5解方程组得：a=2, b=-3, c

14、=5.探究新知a-b+c=10?由-可得：2b=-6b=-3由 例1 已知一个二次函数的图象过点A(-1,0), B(4,5), C(0,-3). 三点，求这个函数的解析式.解：设所求抛物线的解析式为yax2+bx+c.抛物线经过点A(-1，0), B(4，5), C(0，-3). 解得a1，b-2，c-3.抛物线的解析式为yx2-2x-3.利用三点式求二次函数的解析式素养考点 1探究新知 例1 已知一个二次函数的图象过点A(-1,0), B(4 求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。 若已知条件是二次函数图像上三个点的坐标，可设解析式为y=ax2+bx+c

15、,列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。归纳任意两点的连线不与y轴平行三点式求二次函数的解析式探究新知 归纳任意两点的连线不与y轴平行三点式求二次函数的解析 已知一个二次函数的图象过点A(0,0), B(-1,-1), C(1,9)三点，求这个函数的解析式.第一步:设出解析式的形式；第二步:代入已知点的坐标；第三步:解方程组。解：设所求抛物线的解析式为yax2+bx+c.抛物线经过点A(0,0), B(-1,-1), C(1,9). 解得a4，b5，c0.抛物线的解析式为y4x2+5x.0=c-1=a-b+c9=a+b+c巩固练习1. 已知一个二次函数的图象

16、过点A(0,0用交点式y=a(x-x1) (x-x2) 求二次函数解析式 一个二次函数，当自变量x0时，函数值y-1，当x-2与 时，y0，求这个二次函数的解析式.探究新知知识点 2两种方法的结果一样吗？两种方法哪一个更简捷？用交点式y=a(x-x1) (x-x2) 求二次函数解析式 交点式求二次函数的解析式：若已知抛物线与x轴的两交点坐标，可设解析式为y=a（x-x1）（x-x2），把另一点的坐标代入，解关于a的一元一次方程. 例2 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C(0,3)，求这个二次函数的解析式.解: 图

17、象与x轴交于A(1,0)，B(3,0) 设函数解析式为ya(x-1)(x-3) 图象过点C(0,3) 3=a(0-1)(0-3)，解得a=1. 二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3利用交点式求二次函数的解析式素养考点 2探究新知交点式求二次函数的解析式：若已知抛物线与x轴的两交点坐标，可 已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式.因此所求的抛物线解析式为 y=x2+1.解: 图象与x轴交于A(-1,0)，B(1,0) 设函数解析式为ya(x+1)(x-1) 图象过点M(0,1) 1=a(0+1)(0-1)，解得a=-1. 二次函数

18、解析式为y=-1(x+1)(x-1) 巩固练习2. 已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（1,0）并经【思考】图象顶点为(h, k)的二次函数的解析式是y=a(x-h)2+k，如果顶点坐标已知，那么求解析式的关键是什么？用二次函数顶点式y=a(x-h)2+k求函数解析式探究新知知识点 3【思考】图象顶点为(h, k)的二次函数的解析式是y=a(x利用顶点式求二次函数的解析式 例3 已知抛物线顶点为(1,-4)，且又过点(2,-3)，求其解析式.解：抛物线顶点为(1,-4) 设其解析式为y=a(x-1)2-4， 又抛物线过点(2,-3)， 则-3=a(2-1)2-4，则a=1. 其解析式为y=(

19、x-1)2-4x2-2x-3.探究新知素养考点 3利用顶点式求二次函数的解析式 例3 已知抛物线顶点为(1, 若已知顶点坐标和一点，可设解析式为y=a(x-h)2+k，将另一点坐标代入解关于a的一元一次方程.归纳顶点式求二次函数的解析式探究新知 归纳顶点式求巩固练习巩固练习 已知二次函数的图象以A（1，4）为顶点，且过点B（2，5），求该函数的关系式.解：设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4将B（2，5）代入得：a=1该函数的解析式为：y=（x+1）2+4 y=x22x+3连接中考巩固练习连接中考 已知二次函数的图象以A（1，4）为顶点，且过点B1. 如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为( ) A. y=x2+2 B. y=(x-2)2+2 C. y=(x-2)2-2 D. y=(x+2