解三角形知识点归纳

1、文档编码 : CM4P4S9Q2U2 HQ10J9I10Q6B3 ZF1R10Y1J7W5解三角形学问点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180 ； C=180 A+B ；cosC,tanABtanC,2、三角形三边关系：a+bc; a-bc 3、三角形中的基本关系：sinABsinC cosABsinA2BcosC,cosA2BsinC,tanA2BcotC 2C 的外224、正弦定理：在C 中, a 、 b 、 c 分别为角、 C 的对边, R 为接圆的半径,就有abcC2Rsinsinsin5、正弦定理的变形公式：化角为边：a2Rsin,b2 Rsin,c2 sinC ；. . 对于已

2、化边为角：sina, sinb, sinCc；2R2R2Ra b csin:sin:sinC；sinabcsinCabcCsinsinsinsin6、两类正弦定懂得三角形的问题：已知两角和任意一边,求其他的两边及一角 已知两角和其中一边的对角,求其他边角知两边和其中一边所对的角的题型要留意解的情形（一解、两解、三解） 7、三角形面积公式：SC1bcsin1absinCa1acsinc2=2R 2sinAsinBsinC=abc=rabc =22224R2 ac2p pa pb pc2b22 bccos,b2a2c2cos,8、余弦定理：在C中,有c2a2b22 abcosC 2 ca2cosa

3、22 cb2,cosC2b2ca,9、余弦定理的推论：cosb22 bc2ac2 ab10、余弦定理主要解决的问题：已知两边和夹角,求其余的量；已知三边求角）11、如何判定三角形的形状：判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一 成边的形式或角的形式设 a 、 b 、 c 是C 的角、 C 的对边,就：如a2b22 c ,就C90o；如a2b22 c ,就C90o ；如a2b22 c ,就C90o12、三角形的五心：垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平分线相交于一点旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的

4、外角平分线交于一点题型之一 ：求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角或二角一边或三边,求其它三个元素问题,进而求出三角形的三线高01 ,边线、角平分线、中线及周长等基本问题1. 在ABC 中, AB=3 ,AC=2 ,BC=uuur uuur 10 ,就 AB AC A 3B2C2D32332【答案】 D 2（ 1）在ABC 中,已知A0 32.0,B0 81.8,a42.9cm,解三角形；（2）在ABC 中,已知a20cm,b28cm,A400,解三角形（角度精确到长精确到 1cm）；03（ 1）在 ABC中,已知 a 2 3,c 6 2,B 60,求 b 及 A；（2）在 ABC中,已知

5、a 134.6 cm ,b 87.8 cm ,c 161.7 cm ,解三角形42022 年全国高考江苏卷 ABC 中,A,BC3,就 ABC 的周长为（）3A 4 3 sin B 3 B4 3 sin B 33 6C6 sin B 3 D6 sin B 33 6分析：由正弦定理,求出 b 及 c,或整体求出 bc,就周长为 3bc 而得到结果选 D 4 6 65 （ 2022 年全国高考湖北卷 在 ABC 中,已知 AB , cos B,AC 边上的中3 6线 BD= 5 ,求 sinA 的值分析：此题关键是利用余弦定理,求出 AC 及 BC,再由正弦定理,即得 sinA解：设 E 为 BC

6、 的中点,连接 DE,就 DE/AB,且 DE 1 AB 2 6,设 BEx2 3在 BDE 中利用余弦定理可得：BD2BE2ED22BEEDcosBED,30,5x2822366x,解得x1,x7（舍去）363又sin B故 BC=2,从而2 AC2 AB2 BC2 ABBC cos B28,即3AC221362 21故2A3,sin A70sin14306在 ABC 中,已知 a2,b 2 2 ,C15 ,求 A；答案：BA,且00A1800,A300题型之二 ：判定三角形的形状：给出三角形中的三角关系式,判定此三角形的形状1. 2022 年北京春季高考题 在 ABC 中,已知 2 sin

7、 A cos B sin C,那么 ABC 确定是（）A 直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形解法 1：由 2 sin A cos B sin CsinABsinAcosBcosAsinB,即 sinAcosBcosAsinB0,得 sinAB0,得 AB应选 B 解法 2：由题意,得cosBsin C2sin Ac,再由余弦定理,得cosBa22 cb22a2aca2c2b2c,即 a2b2,得 ab,应选 B 2 ac2 a1,统一评注：判定三角形形状,通常用两种典型方法：统一化为角,再判定如解法化为边,再判定如解法 22在 ABC 中,如 2cosBsinAsinC,就

8、 ABC 的形状确定是（）A. 等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案： C 解析： 2sinAcosBsin（ AB） sin（AB）又 2sinAcosBsinC,sin（AB） 0, AB 23.在 ABC 中,如a 2 tan A,试判定ABC 的形状；b tan B答案：故ABC 为等腰三角形或直角三角形；4. 在 ABC 中,cos A b cos,判定ABC 的形状；答案：ABC 为等腰三角形或直角三角形；题型之三 ：解决与面积有关问题 主要是利用正、余弦定理,并结合三角形的面积公式来解题1. 2022 年全国高考上海卷 在ABC 中,如A120o ,AB5

9、,BC7,ABC 的面3,求tanA的值和就ABC的面积 S _2 , AB2在ABC 中, sinAcosA2, AC2积；答案： SABC1ACABsinA123246326C 2243. （07 浙江理 18）已知ABC的周长为21,且 sinAsinB2 sin（I）求边 AB 的长；（II ）如ABC的面积为1 sin 6C ,求角 C 的度数1,BCAC2AB ,1,解：（I）由题意及正弦定理,得ABBCAC2两式相减,得AB1BC AC1,AB2（II ）由ABC的面积1 2BC ACg sinC1sinC,得63由余弦定理,得cosCAC22BC2AB2ACBC22AC BCA

10、C BC2AC BC2所以C60o 题型之四 ：三角形中求值问题1. 2022 年全国高考天津卷2 在ABC 中,A、1B、C所对的边长分别为a、b、c,设a、b、c中意条件bc2cbca2和3,求A和tanB的值b2分析：此题给出一些条件式的求值问题,关键仍是运用正、余弦定理解：由余弦定理cosAb2c2a21,因此,A602bc2在由已知条件,应用正弦定理13csinCsin120BBtan B1.A2bsinBsinBsin120cosBcos 120sinB3cotB1,解得cot B2 ,从而CsinB222中,2ABC 的三个内角为A、 、C,求当 A 为何值时, cosA2cos

11、B2C取得最大值,并求出这个最大值；C= 1A解析：由 A+B+C= ,得B+C 2 = 2A 2,所以有 cosB+C =sin A2；cosA+2cos B+C2 =cosA+2sin A 2 =12sin2A 2 + 2sin A2=2sin A2122+ 32；当 sinA 2 = 12,即 A= 3时, cosA+2cos B+C2取得最大值为 3 2；2 23在锐角ABC 中,角 A, ,C 所对的边分别为 a, ,c,已知 sin A,（1）求3tan 2 B Csin 2 A的值；（2）如 a 2,SABC 2,求 b 的值；2 2解析：（ 1）由于锐角ABC 中, A BC

12、,sin A 2 2,所以 cosA 1,3 3就tan 2 B2 Csin 2 A2cos sin 22 BB2 CCsin 2 A221cos B ） （ 1 cosA）1cosA 1 71cos（ ）2 1cosA 3 3（2）由于 S V ABC2,又 S V ABC1bcsin A1bc . 2 2,就 bc3；2 2 3将 a2,cosA1,c3 代入余弦定理：a 2b 2c 22bccos A 中,3 b4 2得 b6b 0 解得 b3 ；点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时, 灵敏逆用公式求得结果即可；4在ABC 中,内角 A, ,C 对边的边长分别是 a, ,c

13、,已知 c 2,C3（）如ABC 的面积等于 3 ,求 a,b；（）如 sin C sin B A 2sin 2 A ,求ABC 的面积本小题主要考查三角形的边角关系,三角函数公式等基础学问,考查综合应用三角函数有关学问的才能满分 12 分解：（）由余弦定理及已知条件得,a 2b 2ab 4,又由于ABC 的面积等于 3 ,所以1 ab sin C 3,得 ab 4 4 分2联立方程组 a 2b 2ab 4,解得 a 2,b 2 6 分ab 4,（）由题意得 sin B A sin B A 4sin A cos A ,即 sin B cos A 2sin A cos A, 8 分当 cos A

14、 0 时,A,B,a 4 3,b 2 3,2 6 3 3当 cos A 0 时,得 sin B 2sin A ,由正弦定理得 b 2 a ,联立方程组 a 2 b 2 ab 4,解得 a 2 3,b 4 3b 2 a,3 3所以ABC 的面积 S 1ab sin C 2 3 12 分2 3题型之五 ：正余弦定懂得三角形的实际应用利用正余弦定懂得斜三角形,在实际应用中有着广泛的应用,如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的学问,例析如下：（一 .）测量问题1. 如图 1 所示,为了测河的宽度,在一岸边C 选定 A 、B 两点,望对岸标记物C,测得CAB=30, CBA=75,AB=120cm

15、,求河的宽度；分析： 求河的宽度, 就是求ABC 在 ABA D B 边上的高,而在河的一边,已测出AB 长、CAB 、 CBA ,这个三角形可确定；图 1 解析：由正弦定理得” ；ACAB, AC=AB=120m ,sin ACB1 1AB AC sin CAB AB CD2 2,解得 CD=60m ；sinCBA又S VABC“不过河求河宽问题点评：虽然此题运算简洁,但是意义重大,属于（二 .）遇险问题2 某舰艇测得灯塔在它的东15北的方向,此舰艇以30 海里 /小时的速度向正东前进,30分钟后又测得灯塔在它的东30北；如此灯塔四周10 海里内有暗礁,问此舰艇连续向东航行有无触礁的危险？解

16、析：如图舰艇在A 点处观测到灯塔S西北15B 30东在东 15北的方向上； 舰艇航行半小时后到达 B 点,测得 S 在东 30北的方向上；在 ABC 中,可知 AB=30 0.5=15,ABS=150, ASB=15 ,由正弦定理得A C BS=AB=15 ,过点 S 作 SC直线 AB ,垂足南图 2 为 C,就 SC=15sin30 =7.5；这说明航线离灯塔的距离为7.5 海里,而灯塔四周10 海里内有暗礁,故连续航行有触礁的危险；点评：有关斜三角形的实际问题,其解题的一般步骤是：（ 1）精确懂得题意,分清已知与所求,特殊要懂得应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图, 并将已知条件在

17、图形中标出；（3）分析与所争论问题有关的一个或几个三角形,通过合理运用正弦定理和余弦定理求解；（三 .）追击问题3 如图 3,甲船在 A 处,乙船在 A 处的南偏东 45方向,距 A 有 9n mile 并以 20n mile/h 的速度沿南 北偏西 15方向航行,如甲船以 28n mile/h 的速度航行,应沿什么方向,用多少 h 能尽快追上乙船？A 解析：设用 t h ,甲船能追上乙船,且在 C 处相遇；45在 ABC 中, AC=28t ,BC=20t ,AB=9 ,B 设 ABC=, BAC= ； =1804515=120 ；依据余弦定理 152 2 2AC AB BC 2 AB BC

18、 cos,C 28 t 281 20 t 22 9 20 t 1 ,图 3 2128 t 260 t 27 0,（4t3）（32t+9）=0,解得 t=3,t=9（舍）4 32AC=283 =21 n mile ,BC=203 =15 n mile ；4 4依据正弦定理,得 sin BC sin 152 35 3,又 =120, 为锐角,AC 21 14 =arcsin5 3,又5 37 22, arcsin5 3,14 14 14 2 14 4甲船沿南偏东arcsin5 3 的方向用3 h 可以追上乙船；4 14 4点评：航海问题常涉及到解三角形的学问,此题中的ABC 、AB 边已知,另两边

19、未知,但他们都是航行的距离,由于两船的航行速度已知,所以,这两边均与时间t 有关；B .这样依据余弦定理,可列出关于t 的一元二次方程,解出t 的值；4如图,当甲船位于A 处时获悉,在其正东方向相距20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救 甲船马上前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30 ,相距 10 海里 C 处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1 ）？解析：连接BC,由余弦定理得BC2=202+10222010COS120=700. 于是,BC=107；sin ACBsin120,北20107A 20 10 .C sinACB=3 ,7 ACB90

20、, ACB=41 ；乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B 处救援；解三角形单元测试一 选择题：1. 已知ABC中,A30o,C105o,b8,就等于（）A 4 B 4 2 C 4 3 D 4 5）2. ABC中,B45o,C60o,c1,就最短边的边长等于（6613）A 3 B 2 C 2 D 23. 长为 5、7、 8 的三角形的最大角与最小角之和为 A 90 B 120 C 135 D 150abc4. ABC中,cosAcosBcosC ,就 ABC确定是（A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形）5. ABC中,B60o,b2ac ,就 ABC确定是（A 锐角三角形

21、 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形）6. ABC中, A=60 , a=6 , b=4, 那么中意条件的ABC A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定7. ABC中,b8,c8 3,SVABC16 3,就A等于（A 30o B 60o C 30o或150o D 60o或120o）abc8. ABC中,如A60o,a3,就sinAsinBsinC 等于（13cosAA 2 B 2 C 3 D 29. ABC 中,A B1: 2, C 的平分线 CD 把三角形面积分成3: 2两部分,就（）A 1 3 B 1 C 3 D 024（10. 假如把直角三角形的三边都增加同样的长度,就这个新的三角形的形状为A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由