同济大学第六版高等数学上册课后答案全集

1、本文格式为Word版，下载可任意编辑 同济大学第六版高等数学上册课后答案全集 高等数学第六版上册课后习题答案 第一章 习题1-1 1. 设A =(-, -5)?(5, +), B =-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A B 及A (A B )的表达式. 解 A ?B =(-, 3)?(5, +), A ? B =-10, -5), A B =(-, -10)?(5, +), A (A B )=-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 由于 x (A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B

2、 ? x A C 或x B C ? x A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 由于 y f (A ?B )?x A ?B , 使f (x )=y ?(由于x A 或x B ) y f (A )或y f (B ) ? y f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)由于 y f (A ?B )?x A ?B , 使f (x )=y ?(

3、由于x A 且x B ) y f (A )且y f (B )? y f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X Y , 若存在一个映射g : Y X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x X , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 由于对于任意的y Y , 有x =g (y )X , 且f (x )=f g (y )=I y y =y , 即

4、Y 中任意元 素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射. 又由于对于任意的x 1x 2, 必有f (x 1)f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)?g f (x 1)=g f (x 2) ? x 1=x 2. 因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射. 对于映射g : Y X , 由于对每个y Y , 有g (y )=x X , 且满足f (x )=f g (y )=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射. 5. 设映射f : X Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f (A )?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f (A

5、 )=A . 证明 (1)由于x A ? f (x )=y f (A ) ? f -1(y )=x f -1(f (A ), 所以 f -1(f (A )?A . (2)由(1)知f -1(f (A )?A . 另一方面, 对于任意的x f -1(f (A )?存在y f (A ), 使f -1(y )=x ?f (x )=y . 由于y f (A )且f 是单射, 所以x A . 这就证明白f -1(f (A )?A . 因此f -1(f (A )=A . 6. 求以下函数的自然定义域: (1)23+=x y ; 解 由3x +20得32-x . 函数的定义域为) ,3 2+-. (2)21

6、1 x y -=; 解 由1-x 20得x 1. 函数的定义域为(-, -1)?(-1, 1)?(1, +). (3)211x x y -=; 解 由x 0且1-x 20得函数的定义域D =-1, 0)?(0, 1. (4)2 41x y -=; 解 由4-x 20得 |x |0得函数的定义域D =(-1, +). (10)x e y 1=. 解 由x 0得函数的定义域D =(-, 0)?(0, +). 7. 以下各题中, 函数f (x )和g (x )是否一致？为什么？ (1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ; (

7、3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 由于定义域不同. (2)不同. 由于对应法则不同, x 0, 1-x 20. 由于当x 1-x 2. 由于f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以 f (-x 2)f (x 1), 这就证明白对于?x 1, x 2(-l , 0), 有f (x 1) f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函

8、数, 两个奇函数的和是奇函数; (2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数. 证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 假如f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 假如f (x )和g (x )都是奇函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数. (2)设F (x )

9、=f (x )?g (x ). 假如f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )?g (-x )=f (x )?g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 假如f (x )和g (x )都是奇函数, 则 F (-x )=f (-x )?g (-x )=-f (x )-g (x )=f (x )?g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 假如f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则 F (-x )=f (-x )?g (-x )=f (x )-g (x )=-f (x

10、)?g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数. 12. 以下函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3; (3)2211x x y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1); (5)y =sin x -cos x +1; (6)2 x x a a y -+=. 解 (1)由于f (-x )=(-x )21-(-x )2=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x

11、 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数. (3)由于() )(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+-=-, 所以f (x )是偶函数. (4)由于f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数. (5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数. (6)由于)(2 2)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=, 所以f (x )是偶函数. 13. 以下各函数中哪些是周

12、期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2); 解 是周期函数, 周期为l =2. (2)y =cos 4x ; 解 是周期函数, 周期为2 =l . (3)y =1+sin x ; 解 是周期函数, 周期为l =2. (4)y =x cos x ; 解 不是周期函数. (5)y =sin 2x . 解 是周期函数, 周期为l =. 14. 求以下函数的反函数: (1)31+=x y 错误！未指定书签。错误！未指定书签。; 解 由31+=x y 得x =y 3-1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1. (2)x x y +-=11错误！未指定书签。; 解

13、由x x y +-=11得y y x +-=11, 所以x x y +-=11的反函数为x x y +-=11. (3)d cx b ax y +=(ad -bc 0); 解 由d cx b ax y +=得a cy b dy x -+-=, 所以d cx b ax y +=的反函数为a cx b dx y -+-=. (4) y =2sin3x ; 解 由y =2sin 3x 得2arcsin 31y x =, 所以y =2sin3x 的反函数为2 arcsin 31x y =. (5) y =1+ln(x +2); 解 由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2, 所以y =1+

14、ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2. (6)1 22+=x x y . 解 由122+=x x y 得y y x -=1log 2, 所以1 22+=x x y 的反函数为x x y -=1log 2. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界. 证明 先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|M , 即-M f (x )M . 这就证明白f (x )在X 上有下界-M 和上界M . 再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1f (x ) K 2 . 取M =max|K 1|, |K 2|, 则 -M K 1f (x ) K 2M , 即 |f (x )|M . 这就证明白f (x )在X 上有界. 16. 在以下各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x