力学中的守恒定律

1、第 2 章力学中的守恒定律关于物体运动规律的表述,除了牛顿运动定律之外,还有能量、动量和角动量三个 定理和三个守恒定律.表面上看来,这三个定理仅是牛顿运动方程的数学变形,但物理学 的发展表明,能量、动量和角动量是更为基本的物理量,它们的守恒定律具有更广泛、 更深刻的意义.能量、动量和角动量及其各自的守恒定律是既适用于宏观世界 ,又适用 于微观领域;既适用于实物,又适用于场的物理量和运动规律.2.1功和能 机械能守恒定律一 、 功及功率1. 功 由前面的讨论可知,力可以使物体的运动状态发生变化,那么力对空间的累积会 产生什么效应呢?在力学中,力对空间的积累效应表现为功 ,受力情况不同,功的表达方

2、 式也就不同.恒力的功 恒力即力的大小和方向在整个运动过程中均不变的力.如图 2.1 所示, 设物体在恒力F的作用下，由a沿直线运动到b,其位移为Ar .由中学物理知道,力在位 移上的投影Fcos0与位移大小的乘积为力的功，以A表示，即A = F cos 0|Ar|(2.1)式中0为F与位移Ar的夹角.由矢量代数知,两矢量的大小与它们之间夹角余弦的积为 一标量, 称为标积.因此,功可用力与位移的标积表示,即A = F Ar(2.2)功是标量，其正负由和的夹角0决定.由式(2.1)知，当0 0时，功为正, 说明力对物体做正功(如物体下落时重力作的功);当0 冗/2,即cos0 fbdA = b

3、F draa(2.4)式中 a、b 表示曲线运动的起点和终点.(2.4)式即为计算变力作功的一般公式,在数学上称为F的曲线积分其在直角坐标系中可表示为A = fbdA A = fbdA = b F dr =Jb ( Fdx +aaF dy + F dz)yz(2.5)例2.1如图2.3所示，水平外力P把单摆从铅直位置(平衡位置)0点拉到与铅直例2.1如图2.3所示，水平外力P把单摆从铅直位置(平衡位置)0点拉到与铅直线成6角的位置.试计算力对摆球所作的功(摆球的质量 0m与摆线的长度l为已知，且在拉小球的过程中每一位置 都处于准平衡态).解 由题意知小球在任一位置都处于准平衡态 ,其平 衡方程

4、可表示为水平方向P-Tsin6 = 0竖直方向T cos 6 - mg = 0/0P6Pmmg*可得 P = mg tan 6 (变力)当小球在6位置处沿圆弧作微位移dr时，力P所作的元功为dA = P dr = Pdr cos 6 = P cos 6 ld6 = mgl sin 6 d6单摆在6从0到6的过程中拉力P所作的功为0A = A = J dA = J60mgl0sin 6d6 = mgl (1 - cos 6 ) 0同样可讨论重力对小球所作功。例2.2 一质量为2x 103kg的卡车启动时在牵引力F = 6x 103tN的作用下,自原点 x处从静止开始沿x轴作直线运动.求在前10s

5、内牵引力所作的功.解 已知力与时间的关系 F =6x103tN ，但不知道力与质点坐标的函数关系 ，因此 x不能直接应用公式来计算功，应先求出x(t)的表达式才能计算力的功.d udtd udt6 X 10 3 t2 X 10 3= 3 tdtdxu = T dx = u dt = 1.5t 2dt dt故牵引力在前 10s 内作的功A = f A = f F dx =xf10 9t 3 X103dt0= 2.25X107 (J)2. 功率 在实际问题中,不仅需要知道力所作的功,而且还需要知道作功的快慢 .力在单 位时间内所作的功称为功率，用P表示.设在时间At内所作的功为AA，则在这段时间内

6、 的平均功率为P = P = A A -0 T PA tdAdt(2.6)2.7)dA =戸 d r dtdt2.7)可见，瞬时功率等于力与速度的标积.在国际单位制中,功率的单位是(Js-1)称为瓦特(W).其量纲为. 功率还常用千瓦(KW)、马力(HP)作单位，其换算关系为1HP= 0.735KW动能和动能定理大家知道，飞行的子弹能够穿透木板而作功;落下的铁锤能够把木桩打进泥土而作 功等等.运动着的物体具有作功的本领叫动能.当子弹穿过木板时，由于阻力对子弹作负 功，使子弹的速度减小.可见，力作功的结果将改变物体的运动状态 .以此为线索，建立力的空间累积 (功)与状态变化的关系.u-01. 质

7、点的动能定理 首先讨论物体在恒合外 力的作用下作匀加速直线运 动的情况.如图所示，物体的质u-0量为m,初速度为u0，所受合外力为F,加速度为a,经过位移s后的速度为u，按直线运动的规律及牛顿第二定理有得合 外力对物体所作的功为A = A = F - A r = Fs2a即：11MU 2 即：11MU 2 一mu 22 2 02.8)上式中出现了一个其值取决于质点的质量和速率的物理量1MU 2它是质点运动状态的函数我们将2 g定义为质点的动能并用来表示:E = - MU2K 2(2.9)(2.8)式亦可写成(2.9)A = E 一 E 二 AEkk0k上式表明:恒合外力对物体所作的功等于物体动

8、能的增量,此即动能定理.因动能的变化用功来量度,故动能与功的单位相同,在国际单位制中,动能的单位也 为焦耳J)。当合外力是变力,物体作曲线运动的情况下 ,仍可以得到(2.9)式的结果.如图所示, 根据牛顿第二定理,在位移元内的元功可表示为dA = F dr = F cos a |dR | = F ds = m 普 ds = mudu的功为的功为A = fb F dr = fb F cos a dr =b F ds = bmdsAAA RA dt=f b=f bmd u dAdtfb mu du =A11m u 2 一 m u 22 2 0即：A = 即：A = E 一 E = AEkk 0k1

9、1=mu2 一mu22 2 0可见,物体无论是受恒力还是变力作用,沿直线还是曲线运动都满足(2.9)式,即合外力对物体所作的总功等于物体动能的增量.所以(2.9)式是动能定理的普遍表达式.由式(2.9)可知，当外力对物体作正功时(A0),物体的动能增加;当外力对物体作负功时 (AvO),物体的动能减少，亦即物体反抗外力作功，此时物体依靠动能的减少来作功；若 (A=0),则外力不作功，物体的动能不变.例题2.3 对例题 2.1采用动能定理求解.解由于小球在任一时刻都处于平衡态，其动能的增量AE = 0,由动能定理得kA + A + A 二 0T P mg又拉力T与dr始终垂直而不做功，所以At

10、= 0所以：A = -A = -fe mg - dr所以：P mg e=-Je mg cos(90。+ e)lde = mgl(1 - cos e )e00所得结果与例题2.1的结果相同，但用动能定理求解要简单的多.例题2.4 一物体由斜面底部以初速度u二20m- s-1向斜面上方冲去，又回到斜面0底部时的速度为u = 10m - s-i，设物体与斜面间有滑动摩擦.求物体上冲的最大高度. f解 本题可以用运动方程求解，也 可以用动能定理求解.这里选用动能 定理来求解.设物体的质量为m,斜面 夹角为 e ，物体与斜面间的摩擦系数 为卩，物体上冲的最大高度h。对于物 体的上冲过程，重力和摩擦力对物

11、体作负功，使物体上冲到最高点时,u = 0 .在垂直于斜面的方向上,N - mgcose = 0,则其滑动摩擦力f = pN = pmg cos e. r上冲过程中，外力所作的总功为hA = (-mg sin e - p mg cos e)= -mgh - pmghctgBsine由动能定理有(1)11 -mgh - pmghctg e = 0 - mu 2 = - m(1)2 0 2 0 同理，对于下滑过程外力所作的总功为A = (A = (mg sin e - p mg cos e)hsin e= m g h- pm g h c et g由动能定理得mgh - pmghctgd =(2mg

12、h - pmghctgd =(2)mu 22 f心U2 +U2(2) (1)得：h = 匚=1276m4g通过以上讨论,应该注意两点:功和能的概念不能混淆,动能是物体运动状态的单值函数,是反映质点运动状态 的物理量,即是一个状态量.而功是与质点受力并经历位移这个过程相联系的.过程意 味着状态的变化,所以功不是描述状态的物理量,而是过程的函数,即为过程量.我们可 以说处于一定运动状态的质点有多少动能 ,但说质点有多少功就毫无意义,这是功和能 的根本区别.动能定理建立了功这个过程量与动能这个状态量之间的关系 ,说明了做功 是动能发生变化的手段,而动能的改变又是对功的度量.质点的动能定理是根据牛顿第

13、二定律推导出来的,所以也只能适用于惯性系中. 2 质点组的动能定理下面我们把由若干质点组成的质点组作为研究对象,讨论内、外力对质点组作功与 质点组动能变化之间的关系.设质点组由n个质量分别为m ,m，,m ,的质点组成.其中每个质点在内、外力1 2 n1m U22 1m U22 i i+Ai外m u2 = +Ai外2 i i 0 i i 内对质点组中的所有质点都写出类似的表达式,求和得工1 m u 2 工1 m u 2 2 i ii=1工1 m u22 i i 0 i=1=A +1LAi内i外i=1i =1即E E = A +Akk 0内 外(2.10)g f21 九叫g f21 九叫两球内力

14、(2.10)式表明:质点组的动能的增量,等于所有内力作功和所有外力作功的代数和 ,这称做质点组动能定理.值得注意的是 ,由于作用力和反作用力总是大小相 等、方向相反,故质点组内力的矢量和为零,但作用力 的功与反作用力的功却不一定等值反号,所以对质点 组来说,内力作功的代数和不一定为零.如对两个质点 (如图 2.6)而言,内力的总元功为dA = f - dr + f - dr = f - (dr dr) = f - dr内 21112212211221其中f是质点1对质点2的作用力,dr是质点2对质点1的相对位移.上式表明，一对12 12内力的元功和等于一质点对另一质点作用力与另一质点对施力质点

15、相对位移的点积 . 因此,只要二质点相对位移不等于零 ,也不与相互作用力垂直,内力功就不等于零;一对 内力的功与参考系的选取无关.一质点组所有内力的总功也与参考系的选取无关 ,只取 决于内力和相对位移.三、保守力 势能1. 保守力分别为 y 、y ,重力的表达式为ABmg = mg2.7重力作功重力的功 质量为 m 的某质点在重力 作用下沿任意一条曲线自 A 点移动至 B 点, 如图2.7所示.为计算重力分别为 y 、y ,重力的表达式为ABmg = mg2.7重力作功而位移兀的表达式为dr二dxi + dyj + dzk根据功的定义式，从A点到B点的过程中重力所的功为(2.11)A = f

16、F - dr = J yB mgdy = mg( y y )(2.11)AB yA如果质点不是沿ACB路径从A点到B点，而是沿其它任意路径由A点到达B点，则可 以证明重力作功仍为(2.11)式.由此可见，重力作功具有一个重要特点 :重力对质点所作的功由质点相对于地面的始末位置决定，而与所通过的具体的路径无关.弹性力的功 放在光滑水平面上的 弹簧一端固定，另一端系一质量为 m 的 质点，将弹簧拉长后释放使质点在弹性力 的作用下在平衡位置附近振动 ，如图 2.8 所示设弹簧的倔强系数为k,取平衡位置 为坐标原点，建立 ox 坐标系，当物体处于 位置 D 时，即弹簧伸长(或压缩)了一断距 离x,根据

17、胡克定律可得弹性力为F = 一 kxi物体在D点附近移动无限小位移dxi时，弹性力所作的元功dA二-kxdx,于是物体由A 点移动到B点的过程中,弹性力所作的总功为(2.12)A 二 f F - dr = f xb kxdx 二kx 2 kx 2(2.12)xA2 A 2 BAA如果质点先由A点到B点，再由B点到C点,最后由C点再返回到B点，在整个过程 中弹性力的功由三部分组成,即 A = A + A + A= ( kx 2kx 2) + ( kx 2kx 2) + ( kx 2kx 2)=kx 2 kx 2232A 2B 2B 2C 2C 2B 2A 2B由以上计算可知,质点经A、B、C点再

18、回到B点后弹性力所作的功与质点直接由A点到B点过程弹性力作的功完全相同.由此可见，弹性力做功也具有同样的特点:只由 质点的始末位置决定而与通过的具体路径无关.万有引力的功 设质量为 m 的质点处于质量为 M 的静止质点的引力场中,并从 a 点沿任一曲线路径移至 b 点,同重力与弹性力的讨论相同,万有引力作功也只由质点 m的始末位置决定,而与质点所通过的具体路径无关.上述结果可归纳如下：重力的功：A = mg(y 一 y )A B弹簧的弹性力是功：A = 1 kx2 1 kx2(2.13)2 A 2 B万有引力的功：A = -GMm(丄-丄)r rab保守力与非保守力 综合以上几种力的作功,都有

19、一个共同的特点,即该力所作的 功仅与受力质点的始末位置有关,而与质点所经过的路径无关.把具有这种性质的力称 为保守力.若让质点仅在保守力作用下沿一闭合路径运动, 所做的总功显然为f F dl 二 0上式即为保守力的判别条件.与此相对应,把作功不仅与始末位置有关,而且与质点所经 过的路径有关的力称为非保守力.如摩擦力等.2. 势能势能 由于保守力做功与路径无关,只与始末位置有关,由此可知,必然存在一个由 相对位置决定的函数,把这个函数定义为势能,而且质点由始位置移到末位置时刻函数 的增量与保守力作功相联系 ,从而规定:势能的增量等于保守力作功的负值 ,用 E 和P0E 分别表示质点在始、末位置的

20、势能,用 A 表示保守力由初始位置到末位置作的功 , p保则有E - E 二一A(2.14)PP 0保亠亠0保守力做正功，势能减少由上式可见,A,保（2.26a）ci ii=1Z =艺 m z / mci ii=1以上三式为计算质心位置的普遍公式，也可以写成矢量式迓 m r / mii迓 m r / mii(2.26b)i=1i=1如果把质量连续分布的物体当作质点系,求质心时就要将求和改为积分,即J rdmJ dm九dlJ rdmJ dm九dl线分布dm = ds面分布分量式X =p dV体分布J xdmJ dm(2.26c)力学中还常用重心的概念.重心是一个物体各个部分所受的重力的合力作用点

21、.可 以证明尺寸不十分大的物体,它的质心与重心位置重合.例题2.9地球质量为M = 5.98x 1024kg,月球质量为M = 7.35x 1022kg,它们的中EM心的距离l = 3.84 x 105km .求地一月系统的质心位置.解：地球和月球都可看作均匀球体,它们的质心都在各自的球心处.这样就可以把 地一月系统看作地球与月球质量分别集中在各自的球心的两个质点 .选择地球中心为 原点,x轴沿着地球中心与月球中心的连线，则系统的质心坐标为= 4.72 x103 kmM - 0 + M -1 M -1 = 4.72 x103 kmM + MMEME这就是地一月系统的质心到地球中心的距离.这一距

22、离约为地球半径(637 x 103km)的 70%, 约为地球到月球距离的 1.2%.质心运动定理：若对质心位矢求导数,则得到质心的运动速度:V=cdc =迓V=cdc =迓dtdrm i- / m =i dt迓 m 0 / mii亦即mV =迓 m 0 = P c i ii=1i=1i=1即质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动速度的乘积 .总动量对时间的变化率为dP dV -=m & = ma dt dt c式中ac是质心运动的加速度.由前面讨论可知：不=F即F = ma(2.27)c这一公式叫做质心运动定理.它表明一个质点系的质心的运动,就如同这样一个质 点的运动,该质点质量等于整

23、个质点系的质量并且集中在质心,而此质点所受的力是质 点系所受的所有外力之和.需要指出的是,在这以前我们常常用质点一词来代替物体,在某些问题中,物体 并不太小,因而不能当成质点看待,但我们还是用了牛顿定律来分析研究它们的运动.严 格地说,我们是对物体用了式 (2.27)那样的质心运动定理,而所分析的运动实际上是物 体的质心运动.在物体作平动的条件下,因为物体中各质点的运动相同,所以可以用质心 的运动来代表整个物体的运动而加以研究.三、动量守恒定律对于单个质点，若F=0,则由质点动量定理知mD二mD,这就是惯性定律.对于质点系来说，若工F = 0,则由质点系动量定理知i工m D二工P =常矢量(2

24、.28a)i i i i 0ii i i上式表明:对于质点系来说.若外力矢量和为零,虽然质点系内每个质点的动量可以变化, 可以相互交换,但质点系的总动量不变.这一规律称为动量守恒定律.应用动量守恒定律分析解决问题时,应注意以下几点:系统动量守恒的条件是合外力为零，即F=0但在外力比内力小得多的情况下, 外力对质点系的总动量变化影响甚小,这时可以认为近似满足动量守恒定律条件,也就 可以近似地应用动量守恒定律.例如两物体的碰撞过程,由于相互撞击的内力往往很大, 所以此时即使有摩擦力或重力等外力,也常可忽略它们,而认为系统的动量守恒.动量守恒表示式(2.28)是矢量式,在实际问题中,常应用其沿坐标轴

25、的分量式,如 直角坐标系下，当F = 0 T 工m d 二 P 二常数(2.28b)x i ix xi由此式可见,如果系统所受外力在某个方向上的分量代数和为零,那么系统的总动 量在该方向上的分量保持不变.动量守恒定律不仅适用于一般物体,而且也适用于分子、原子等微观粒子,是物 理学中最普遍的定律之一.实践表明,在牛顿定律一般不适用的领域,如研究微观粒子问 题中,动量守恒定律仍然是适用的.由于我们是用牛顿定律导出动量守恒定律的,所以它只适用于惯性系.例题 2.10 (P47)作业(P56):13、17、19、25四、碰撞把两个相互作用时间很短(10-2s以下)的过程称为碰撞.如宏观意义上的撞击、打

26、 桩、锻铁等,微观领域中的分子、原子、原子核等的散射,在此仅讨论宏观领域的碰撞 问题.对于碰撞问题,由于相互作用的物体的作用时间极短,相互作用力即冲力又非常的大,系统所受外力一般远小于冲力,可忽略不计,因此,对于碰撞问题,系统的动量守恒. 根据相互作用前后各物体的速度的方向 ,可以把碰撞分为正碰 (对心碰撞 )和斜碰. 如果两球相碰前后的速度均在两球中心的连线上 ,则称为正碰或对心碰撞,否则称为斜 碰.两球的碰撞过程可分为两个阶段,第一阶段为压缩变形阶段,从接触、挤压变形到 相对速度为 0;第二阶段为弹性恢复阶段,根据碰撞后的恢复情况,把碰撞分为:(1) 两球完全恢复原来的形状,称为弹性碰撞.

27、碰撞过程中动能和势能相互转化 ,最 终使碰撞前后动能守恒.(2) 两球变形后没有恢复原来形状 ,即碰撞后连成一体,以同一速度运动,其动能不 守恒,此种碰撞称为完全非弹性碰撞.若两球只部分恢复原状,为非弹性碰撞.碰撞前后动能不守恒.弹性碰撞(正碰)设两物体发生弹性正碰,碰撞前的速度分别为u和u ，质量分别为m和m，碰撞10 20 1 2后的速度为u和u 由于为正碰，速度都在一条直线上，由动量守恒定律和碰撞前后动12能守恒有(2.29)(2.30)(2.31)m u + m u 二 m u + m (2.29)(2.30)(2.31)1 1 2 2 1 10 2 201 1 1 1m u 2 +

28、m u 2 = m u 2 + m u 22 1 1 2 2 2 2 1 10 2 2 20由上两式可得u - u = u - u2 1 10 20这表明在弹性正碰中，碰后两物体相互分离的速度等于碰前两物体相互趋近的速 度，求解式(2.29)及(2.31)得出碰撞后的速度u1u2(m 一 m )u + u1u2(2.32)1 2 10 2 20m + m(2.32)12(m 一 m )u+ 2m u2+2040m + m12由(2.32)式结果，讨论以下几种特殊情形:(1)当m = m时，u =u , u =u，表明在弹性正碰中，两质量相等的物体碰撞后1 2 1 20 2 10 彼此对换速度.

29、若m碰前静止，即u = 0,则:2 20（m 一 m ）u =1um + m 10 1 22mu =1 um + m 1012进一步分别讨论m二山2，山山2和山1山2。表明一个质量很小的物体碰撞一质 量很大且静止的大物体时 , 小物体几乎以原速率反弹回来 , 而质量大的物体几乎保持 不动，质量很大的物体与质量很小的且静止的物体碰撞后， 质量大的物体速度不变， 质 量小的物体却以几乎两倍与大质量物体的速度运动.上述现象在核反应堆中得到了应用.在核反应堆中,基本的核反应是铀（ U 235）俘 获中子后发生裂变,裂变时放出更多的中子,如再被铀俘获造成链式反应就能放出大量 的能量，裂变时放出的中子（快

30、中子）速度较高（约为106m/s）,而铀只能俘获慢中子（约为 103m/s）因此必须在核反应堆中放置减速剂，使快中子跟减速剂中的原子核不断碰撞 以减缓速度.从上面的讨论可见,选用质量与中子质量差不多的靶核 ,其减缓效果最好, 通常在核反应堆中的减速剂为氘核（在重水中的重氢核）和碳核（在石墨中）.完全非弹性碰撞在完全非弹性碰撞中 ,碰撞后两物体速度相同,即u = u = u12根据碰撞前后动量守恒,得(2.33)m u + m u u = 1-02 20(2.33)m + m 12在碰撞过程中机械能损失为AE = E- E = m u2 + m u2 - (m + m )u2k 0 k 2 1

31、10 2 2 20 2 1 2mm(u -u)22(m + m )102012完全非弹性碰撞的机械能损失最大,其损失的机械能变为其它形式的能量（如热能等）.非弹性碰撞把介于弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间的碰撞称为非弹性碰撞 ,其机械能的损失 量取决于恢复系数，用e表示由（2.31）式可定义为(2.34)u -u(2.34)e = 21-u -u1020恢复系数 e 由碰撞物体的材料决定,只要能知道 e 的值就可以求出碰撞后物体的状态. 弹性碰撞相当于e=1;完全非弹性碰撞,相当于e=0，而弹性碰撞的恢复系数为Ovev 1,这 种碰撞中两物体的形变不能完全恢复,部分动能变成热能或其它形式的能量,根

32、据(2.29) 和(2.34)式,求得碰后的速度为(2.35)(2.35)最后应注意牛顿定律与守恒定律的适用范围 ,牛顿定律只适用于宏观低速的运动 物体(即速度远小于光速),对于高速的运动物体要用相对论求解 ,微观粒子用量子力学 求解.但能量守恒与动量守恒对微观粒子仍然适用,即能量守恒和动量守恒比牛顿定律 具有更大的普遍性.例题2.11如图2.17所示，两小球吊在两根细线上，线长都是I = 10m,小球的质量分别为m = 800g和m = 200g,m吊着不动，把m的1 2 1 2 线拉成水平,然后放开让其下落与 m 作弹性碰撞,求第1 一次碰撞后各自上升的高度.解：碰撞前m静止,u = 01

33、 10自由下落满足机械能守恒,由此得u=20由于为弹性碰撞,碰撞前后动量守恒,动能也守恒.即有m u = m u + m u2 20 1 1 2 2 TOC o 1-5 h z T11m u 2 = m u 2 + m u 2122 2021 122 2解之得(m - m )u + 2m u门” 亠”u = 12_100 = 04u = 1 77m - s -11m + m20丿 1 2(m - m )u + 2m u+ 300 = 06u = 2 67m - s -1 HYPERLINK l bookmark219 o Current Document m + m2012式中负号表示与碰撞前

34、的速度方向相反.碰撞后，设小球m和m各自上升的高度分别为和h由各自机械能守恒得1 2 1 2h = i-12 g0.16m, h h = i-12 g22 g2.3 角动量守恒定律角动量也称为动量矩,它是描写旋转运动的物理量.对于质点在中心力场中的运动, 例如天体的运动、原子中电子的运动等,角动量是非常重要的物理量. 一、质点的角动量守恒定律力矩 在中学物理中,我们知道当物体转动时,运动状态的变化与外力的力矩有关 . 力矩的大小为力与力臂的乘积，即M 二 Fd现在，我们把力矩的概念推广.如图2.18所示，取某点O为参考点,0到质点P的位置矢量为尸,质点所受的 外力为F,则定义F对参考点0的力矩

35、为质点对 参考点的位置矢量与所受力的矢积.即M = r x F(2.36)(这里用到矢积的概念 ,这种乘法也叫叉乘 .矢量 A与B的矢积A x B还是一个矢量，其大小为AB sin 0,0是A与B所夹小于180。的角，方 向满足右手螺旋法则，即:右手四指与拇指垂直，四指从矢量A经小于180。角转向矢量 B,这时拇指所指的方向即为的方向).按照矢积的定义，力矩大小为M = |M| = r x F| = rF siiiP为r与F小于180 o的夹角.显然,0点至F的垂直距离为d二rsin.可见，力矩的大小等于参考点到力的垂直 距离与力的大小的乘积.按照矢积的定义， 力矩 M 的指向由右手螺旋法则确

36、定，即:把右手四指从 r 转向 F (转角小于n ),大拇指的指向即M的指向.在国际单位制中，力矩的单位名称为牛顿米(Nm).角动量 设一个质点的质量为m，速度为0，它对参考点的位置矢量为r,与力矩类 似，我们定义其角动量(动量矩)为L = r x P(2.37)因此，质点对参考点的角动量为位置矢量与动量的矢积.按照矢积的定义， 角动量也是矢量.在国际单位制中，角动量的单位是:千克米2/秒(kgm2/s).例题 2.12 氢原子中 的 电子绕原子核作圆周运动，在基态时 ，运动的 半径r = 0.529 x 10-10m ,速度为o = 2.19 x 106m/s ,求电子对原子核的角动量.(电子质量m 二 9.11 x 10 -31kg)解：电子对原子核的角动量为L = rxP = rxmu因为电子作圆周运动，所以r丄 B = 90o,因此角动量大小为L 二 mru = 1.06 x 10-34 kg - m2 / s电子角动量 L 的方向垂直于电子圆周运动的平面，它的指向由右手螺旋法则确定. 如果电子圆周运动的平面是纸面的话，则当电子绕原子核顺时针转动时，角动量的指向 垂直纸面向里，当电子绕原子核逆时