专题9平面向量及应用(教师版)

1、专题 9平面向量及应用 高考在考什么【考题回放】1、如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ C ）C（A） ABDC ；（B） AD AB AC；DAB（C） AB AD BD；（D）AD CB02、若 a与 bc 都是非零向量，则“a ba c ”是 “a (bc) ”的（ C ）（ A ）充分而不必要条件（ B ）必要而不充分条件（ C）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件3 、已知三点A(2,3), B( 1,1),C (6, k ) ，其中 k 为常数 .若 ABAC，则AB与AC 的夹角为（D ）（ A ） arccos(24)（B ）2或 arccos 24252

2、5（ C） arccos 24（ D）2或arccos 2425，b(1，cos2524、已知向量，)，则 ab 的最大值为a(1 sin)5、设向量 a ， b ， c 满足 abc0， ( a b)c ， ab，若 a =1, 则 a 2| b |2 + c 2 的值是4 .6、设函数 f (x)a (bc) ，其中向量 a(sin x, cos x) ， b(sin x,3cos x) ，c ( cos x,sin x) ， x R 。（）、求函数f ( x) 的最大值和最小正周期；（）、将函数f (x) 的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d 。

3、【专家解答 】( ) 由题意得 f ( x)a (b c) =(sinx ， cosx) (sinx cosx， sinx 3cosx) sin2x 2sinxcosx+3cos 2x 2+cos2x sin2x 2+2 sin(2x+3).，最小正周期是 24所以， f(x) 的最大值为 2+2 .32（）由 sin(2x+ 3) 0 得 2x+ k，即 x k3,k Z ，4428于是 d（ k3， 2）， d( k3 )24 , kZ.2828因为 k 为整数，要使d 最小，则只有k 1，此时 d（ ， 2）即为所求 .8 高考要考什么【考点透视】本专题主要涉及向量的概念、几何表示、加法

4、和减法，实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算，以及平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段的定比分点坐标公式和向量的平移公式.【热点透析】在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用。在复习中要重视教材的基础作用，加强基本知识的复习，做到概念清楚、运算准确，不必追求解难题。热点主要体现在平面向量的数量积及坐标运算以及平面向量在三角， 解析几何等方面的应用 . 高考将考什么【范例 1】出下列命题：若ab ，则 a b ；若 A 、 B、 C、 D 是不共线的四点，则AB DC 是四边形为平行四边形的充要条件；若 a b, b c ，则 a c ； a

5、b 的充要条件是 ab 且 a b ；若 a b ， b c ，则 a c 。其中，正确命题材的序号是_.解析：不正确性。两个向量长度相同，但它的方向不一定相同。正确。 ABDC 且 AB / DC ，又 A 、 B、 C、 D 为不共线的四点， 四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形为平行四边形，则 AB / DC且ABDC ，因此 ABDC 。正确。 ab ， a 、 b 的长度相等且方向相同，又b = c ， b 、 c 的长度相等且方向相同，a 、 c 的长度相等且方向相同，故 a c 。不正确。当a b 且方向相同，即使ab ，也不能得到 a b 。不正确。考虑b 0 这种极

6、端情况。答案：。【点晴】本题重在考查平面的基本概念。【范例 2】平面内给定三个向量：a(3,2), b (1,2), c(4,1) 。回答下列问题：（ 1）求3ab2c；（ 2）求满足 ambnc 的实数 m 和 n ；（ 3）若 (ak c) ( 2ba) ，求实数 k；（ 4）设d (x, y)满足(ab)(dc)且，求d| d c | 1解：（ 1）依题意，得 3ab 2c =3（ 3， 2） +（ -1，2） -2（ 4， 1） =（ 0， 6）（ 2） ambnc, m, nR ，（ 3， 2） =m（-1,2） +n （ 4,1） =（ -m+4n,2m+n ）m4n3m5 ,解之

7、得9n2,82mn;9（ 3） (a k c) ( 2ba) ，且 akc =（3+4k ， 2+k ），2b a =（ -5， 2）（ 3+4k） 2-（-5） （ 2+k ）=0， k16 ；13（ 4） dc =（ x-4 ，y-1），ab =（ 2，4），又 (ab) ( d c) 且 | dc | 1，4( x4)2( y 1)0 x205x20555解之得或( x 4) 2( y 1) 21,5 2 55 2 5yy55 d =（ 205 ， 52 5 ）或 d =（ 205 ， 52 5 ）5555【点晴】根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式，建立方程组

8、求解。【范例 3】已知射线 OA 、OB 的方程分别为 y3 x(x0) ， y3 x( x0) ，33动点 M、 N 分别在 OA 、OB 上滑动，且MN4 3 。（ 1）若 MPPN ，求 P 点的轨迹 C 的方程；（ 2）已知 F1 (4 2,0)， F2 (42,0) ，请问在曲线C 上是否存在动点P 满足条件PF1PF2 0，若存在，求出P 点的坐标，若不存在，请说明理由。解：（ 1）设 M (x1,3 x1 )( x10), N ( x2 ,3 x2 )( x20) ， P( x, y) ，33则 MP ( x x1 , y3 x1 ) ， PN ( x2x,3 x2y) ，33x

9、x1x2xx1x22x所以33，即。x1yx1x22 3yy3x23又因为 MN4 3，所以(x1x2 )23 (x1x2 ) 248，代入得：x2y 233x 3, y0) 。361(4（ 2） P( x0 , y0 ) ，所以 PF1(42x0,y0)，PF2(4 2x , y )00因为 PF1PF20，所以(42x0 )(42x0 )y 200 ，得 x02yo232，226363又 x0y01，联立得 x0，因为3，所以不存在这样的P 点。36422【点晴 】本题是一道综合题，重在考查向量的概念及轨迹方程的求法。【文】设向量a (sinx， cosx)， b (cosx， cosx)

10、， xR，函数 f(x) a(ab) .（）求函数f(x)的最大值与最小正周期；（）求使不等式f(x)3 成立的 x 的取值集。2解： ( ) fxa aba aa bsin2 xcos2 xsin x cosxcos2 x1132)1sin 2x （ cos 2x1）2sin(2 x2224 f x 的最大值为 32，最小正周期是2。222（）由 ( )知 fx332 sin(2 x)3sin(2 x)022242342k2x2kkx, kZ8k348成立的 x的取值集合是x | k3xk, kZ.即 f x828【点睛】 本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图

11、像的基本知识，考查推理和运算能力.【范例 4】已知 a =（ x,0），b =（ 1， y），（ a +3 b ）（ a 3 b ）（I） 求点（ x， y）的轨迹C 的方程；（ II ）若直线 l ： y=kx+m (m0)与曲线 C 交于 A、B 两点，D（ 0，1），且有 |AD|=|BD| ，试求 m 的取值范围解 :（I） a +3 b =（ x,0 ）+3(1,y)=(x+3,3y),a 3b =（ x,0 ）3 (1,y)= (x3, 3y). (a+3b)(a3b),(a+3ba3b)=0,) (x+3 )( x3 )+ 3 y(3 y)=0,故 P 点的轨迹方程为x2y213

12、（ II ）考虑方程组ykxm,消去 y，得（ 13k2） x2-6kmx-3m 2-3=0(*)x2y 21,3显然 1-3k20,22222=(6km)-4(1-3k)( -3m -3)=12(m+1-3k )0.设 x1,x2 为方程 * 的两根，则 x1+x 2=6km ， x0= x1x23km, y0=kx 0+m=m,13k 2213k213k2故 AB 中点 M 的坐标为（3km，m） ,13k 213k 2线段 AB的垂直平分线方程为ym=（1） ( x3km2 ) ,13k2k13k将 D （0， 1）坐标代入，化简得4m=3k 21,故 m、 k 满足m21 3k 20,

13、消去 k2 得m24m0,解得 m4.4m3k 21,又 4m=3k 21 1,m1 ,41故 m(,0)(4,+)4【点睛】 本题用向量语言来表达平面几何问题，是亮点。【文】 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点M (1,3) ， N (5,1) ，若点 C满足 OC tOM (1 t)ON(tR) ，点 C 的轨迹与抛物线y24x 交于 A 、 B 两点；1）求点 C 的轨迹方程；2）求证： OA OB ；3）在 x 轴正半轴上是否存在一定点 P(m,0) ，使得过点 P 的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2 倍，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由 .解：（ 1

14、）设 C (x, y) ，由 OCtOM(1t )ON 知，点 C 的轨迹为 y x 4 .yx412 x160（ 2）由消 y 得： x2y24x设 A( x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则 x1x2 16 ， x1 x212 ,所以 y1 y2( x14)( x24)16 ，所以 x1x2y1 y20 ，于是 OA OB（ 3）假设存在过点P 的弦 EF 符合题意， 则此弦的斜率不为零， 设此弦所在直线的方程为 xkym ,由xkym 消 x 得：y24ky4m0 ，设 E ( x3, y3 ) ，F ( x4 , y4 ) ，y24x则 y3y44k ， y3 y44m

15、.因为过点 P 作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的2 倍，所以 OE OF 即x3 x4 y3 y4 0,所以y32 y42y3 y40 得 m4 ，所以存在 m 4 .16 自我提升1如图 1 所示， D 是ABC 的边 AB上的中点，则向量CD（A ）A.BC1BAB.BC1BC1D.BC12BA C.BABA2222已知向量 a(3,1) ， b 是不平行于 x 轴的单位向量， 且 a b3 ，则 b（ B）A （3,1）B（ 1,3 ）C（ 1 ,343 ）D（ 1,0 ）222243. ABC 的三内角 A, B,C 所对边的长分别为a, b, c 设向量 p( a c, b)

16、 ,q(ba, ca) ,若 p / q ,则角 C 的大小为（B）A.B.C.D.263324已知 | a |2| b |0,且关于 x 的方程 x2| a | xab 0 有实根 ,则 a 与 b 的夹角的取值范围是(B)A.0,B. ,C. , 2 D. ,633365若三点 A(2,2), B(a,0), C (0, b)(ab 0) 共线，则111a的值等于 _.b26已知向量 a=(cos,sin), b=(cos,sin),且 ab，那么 a+b 与 a-b 的夹角的大小是.27 已知 cmanb23,2 ， a 与 c 垂直， b 与 c 的夹角为1200 ，且b c 4， a

17、22，求实数 m,n 的值及 a 与 b 的夹角解：设 ax1 , y1， bx2 , y2，则 a c23x12 y10 ；22b c2 3x22 y24 ； ax12y128 ； bx2 2y2 24 解得x12，或x12x20 x23，对应的 b 分别为，或，y16y16y22y21分别代入 cmanb23,2 ，解得 n4, m6；a,b5.68已知定点 F (1,0) ，动点 P 在 y 轴上运动，过点 P 作 PM 交 x 轴于点 M ，并延长 MP到点 N，且 PMPF0, PMPN （）求点N 的轨迹；（）直线 l 与 N 的轨迹交于 A、 B 两点，若 OA OB4 ，且4

18、6AB4 30，求直线 l 的斜率 k 的取值范围解：（ 1）设 P(0, b), M (a,0) ，则PFb,kPMbkaPMPF0kPFkPM1a2bM (b2 ,0) ，又PMPN ，即 P 为 MN 的中点，N (b 2,2 b)因此， N 的轨迹方程为：y24x，其轨迹为以F (1,0) 为焦点的抛物线 .（ 2）设 l : ykxb ，与 y24 x 联立得： k y2yb0(*)44b设 A(x1, y1), B(x2 , y2) ，则 y1、 y2 是（ * ）式的两根，且y1 y2ky12y22由OAOB4 得：x1x2y1 y24 ，即1 24,1 2844y yy y4b8b2k.因此，直线方程可写为：ykx2kk( x 2)k（ * ）式可化为：k