数学建模排队论2

1、定义：设 为一个随机过程，若N(t)的概率分布具有以下性质： (1)假设N(t)=n，则从时刻t到下一个顾客到达时刻止的时间服从参数为 的负指数分布； (2)假设N(t)=n，则从时刻t到下一个顾客离开时刻止的时间服从参数为 的负指数分布； (3)同一时刻是只有一个 顾客到达或离去。 则称 为一个生灭过程。 二、生灭过程10nn-1n+1平稳生灭过程系统状态n平衡方程：“流入=流出”系统达到平稳状态时：的分布系统达到平稳状态时：其中平衡方程： 当 收敛时才有意义 已知: 顾客到达间隔时间分布, 服务时间分布. 求:队长: Ls - 系统中的顾客数. 排队长(队列长): Lq - 队列中的顾客数

2、. Ls = Lq + 正在接受服务的顾客数逗留时间: W s- 顾客在系统中的停留时间 等待时间: Wq - 顾客在队列中的等待时间. Ws = Wq + 服务时间忙期, 损失率, 服务强度.排队问题的求解三.单服务台负指数分布排队系统分析 1、 M/M/1模型2、 M/M/1/N/ 模型(即系统的容量有限)3、 M/M/1/ /m 模型（即顾客源为有限）顾客源排队系统排队结构服务机构排队规则服务规则接受服务后离去1、M/M/1模型无限输入过程服从参数为 的负指数分布单队队长无限先到先服务服务时间服从参数为 的负指数分布生灭过程7 1、标准型：M/M/1(M/M/1/）8 1、标准型：M/M

3、/1(M/M/1/）关于 的几点说明：顾客平均到达率顾客平均服务率一个顾客服务时间一个顾客到达时间服务强度即顾客的顾客平均到达率小于顾客平均服务率时，系统才能达到统计平稳。系统中至少有一个顾客的概率；服务台处于忙的状态的概率；反映系统繁忙程度（2）系统的运行指标 1、标准型：M/M/1(M/M/1/）10（2）系统的运行指标 1、标准型：M/M/1(M/M/1/）11（3）运行指标之间的关系这公式很重要，一定要记清楚！ 1、标准型：M/M/1(M/M/1/）12平均忙期 B , 忙期出现的概率平均闲期 I , 闲期出现的概率 (1-)忙期 B : 闲期 I = : (1-)平均闲期 I = 1

4、 / 闲期的分布与顾客到达时间间隔的相同-服从参数为的负指数分布计算有关指标忙期与闲期 1-P0=平均忙期 B , 忙期出现的概率平均闲期 I , 闲期出现的概率 (1-)忙期 B : 闲期 I = : (1-)平均闲期 I = 1 / 平均忙期 B = ( / (1-) / = 1/( - )计算有关指标忙期与闲期 与逗留时间Ws相同!?例：某医院手术室每小时就诊病人数和手术 时间的记录如下：到达的病人数 出现次数 n un 0 10 1 28 2 29 3 16 4 10 5 6 6 以上 1 合计 100完成手术时间 出现次数 r vr 0.00.2 38 0.20.4 25 0.40.

5、6 17 0.60.8 9 0.81.0 6 1.01.2 5 1.2 以上 0 合计 100解：到达的病人数 出现次数 n un 0 10 1 28 2 29 3 16 4 10 5 6 6 以上 1 合计 100每小时病人平均到达率（人/小时）解：到达的病人数 出现次数 n un 0 10 1 28 2 29 3 16 4 10 5 6 6 以上 1 合计 100每小时病人平均到达率（人/小时）每次手术平均时间（小时/人）每小时完成手术人数（平均服务率）（人/小时）完成手术时间 出现次数 r vr 0.00.2 38 0.20.4 25 0.40.6 17 0.60.8 9 0.81.0

6、6 1.01.2 5 1.2 以上 0 合计 100解：服务台N321顾客源.队列离去（容量有限的单服务台的排队系统）被拒绝2、系统的容量有限制：M/M/1/N/192022年9月27日2 系统容量有限制的情形 (M/M/1/N/FCFS）状态转移图状态转移方程N-1N2、系统的容量有限制：M/M/1/N/212022年9月27日2、系统的容量有限制：M/M/1/N/系统的运行指标:222022年9月27日2、系统的容量有限制：M/M/1/N/系统的运行指标:232022年9月27日 顾客总体有m个顾客，实际上系统中顾客数永不会超过m，即与模型M/M/1/ m /m的意义相同。服务台321顾客

7、源队列离去顾客源有限的单服务台的排队系统m个3、顾客源为有限的：M/M/1/m242022年9月27日3、顾客源为有限的：M/M/1/m系统状态概率的平衡方程：252022年9月27日3、顾客源为有限的：M/M/1/m262022年9月27日 等待时间正常运转的平均设备台数计算有关指标282022年9月27日 研究单队、并列的c 个服务台的情形，主要有三种形式：（1）标准型：M/M/c/（2）系统容量有限的：M/M/c/N/（3）顾客源有限的：M/M/c/m321顾客源离去标准的c个服务台的排队系统服务台2服务台c C个服务台1队列四、多服务台负指数分布排队系统292022年9月27日四、多服

8、务台负指数分布排队系统1、标准型：M/M/c/302022年9月27日（1）系统的各状态转移关系图：系统状态概率平衡方程：1、标准型：M/M/c/312022年9月27日1、标准型：M/M/c/322022年9月27日1、标准型：M/M/c/（2）系统的运行指标 某售票所有三个窗口，顾客到达服从Poisson过程，到达 = 0.9 人/分钟，服务 =0.4人/分钟。设顾客到达后依次排成一队向空闲的窗口购票，如图 a. 图 a 窗口1 =0.4 窗口2 =0.4 窗口3 =0.4 = 0.9M/M/c型系统和c个M/M/1型系统的比较思考题：一个M/M/c/系统与c个M/M/1/系统比较哪一个效

9、率高？图 aM/M/c型系统和c个M/M/1型系统的比较 窗口1 =0.4 窗口2 =0.4 窗口3 =0.4 = 0.3 = 0.3 = 0.3 = 0.9图 b 窗口1 =0.4 窗口2 =0.4 窗口3 =0.4 = 0.9 以上例说明,设顾客到达后在每个窗口前各排一队(其它条件不变),共三队,每队平均到达率为: 窗口1 =0.4 窗口2 =0.4 窗口3 =0.4 = 0.3 = 0.3 = 0.3 = 0.9图 bM/M/c型系统和c个M/M/1型系统的比较 模型指标 M/M/33个(M/M/1)P0LqLsWsWq必须等待概率0.07481.703.954.39 (分钟)1.89

10、(分钟)0.570.25 (子系统)2.25 (子)9.00 (整)10 (分钟)7.5 (分钟)0.75结果比较M/M/c型系统和c个M/M/1型系统的比较372022年9月27日2、系统容量有限制：M/M/c/N/N321顾客源离去容量有限的c个服务台的排队系统服务台2服务台c C个服务台1队列客满拒绝进入382022年9月27日2、系统容量有限制：M/M/c/N/系统状态概率平衡方程：392022年9月27日2、系统容量有限制：M/M/c/N/402022年9月27日3、顾客源为有限的：M/M/c/m321顾客源离开顾客源有限c个服务台的排队系统服务台2服务台c C个服务台1队列m个41

11、2022年9月27日3、顾客源为有限的：M/M/c/m 类似地还有M/M/c/N/m, M/M/c/m/m, M/M/c/c/m 等情况，可作相应的讨论。3、顾客源为有限的：M/M/c/m422022年9月27日2 标准的 M/M/c /N/ 模型状态图是多服务台和容量有限的综合平衡方程你会吗?1 排队系统最优化问题2 M/M/1模型中最优服务率3 M/M/c 模型中最优服务台数c四.经济分析排队系统的最优化系统设计最优化：(静态优化问题)设备达到最大效益系统控制最优化：(动态优化问题) 如何运营使某个目标函数最优。1 排队系统最优化问题服务水平总费用等待费用服务费用费用极小点2 M/M/1模型中最优服务率单位时间的费用Cs：当 时服务机构单位时间费用Cw：每个顾客在系统停留单位时间的费用标准的/M/M/1模型单位时间的纯利润G：每服务1人可得的收入（已知）标准的/M/M/1/N模型2 M/M/1模型中最优服务率2 M/M/1模型中最优服务率单位时间的纯利润G：单位时间每