用放缩法证明不等式

1、利用放缩法证明数列型不等式一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项乞降的联合，用放缩法结构裂项乞降，用于解决和式问题。裂项放缩法主要有两种种类：（1）先放缩通项，而后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在乞降时消去中间的项。例1设数列an的前n项的和Sn4an12n12，n1,2,3,L。设Tn2n，n1,2,3,L，证明：333Snn3。Tii12证明：易得Sn2(2n11)(2n1),Tn32n3(11)，32(2n11)(2n1)22n12n11nTi3n(11)31111L11)2i1i12i1(1212212312n12n1i121221213113=(11

2、2n11)222评论：本题的重点是将2n裂项成11，而后再乞降，即可达到目标。(2n11)(2n1)2n12n11（2）先放缩通项，而后将其裂成n(n3)项之和，而后再联合其他条件进行二次放缩。例2已知数列an和bn知足a12,an1an(an11)，bnan1，数列bn的前n和为Sn，TnS2nSn；（I）求证：Tn1Tn；（II）求证：当n2时，S2n7n11。12证明：（I）Tn1Tn11L1(11L1)n2n32n2n1n22n11110Tn1Tn2n12n2n1(2n1)(2n2)（II）Qn2,S2nS2nS2n1S2n1S2n2LS2S1S1T2n1T2n2LT2T1S1由（I）

3、可知Tn递加，从而T2n1T2n2LT2，又T11,S11,T27，212S2nT2n1T2n2LT2T1S1(n1)T2T1S17(n1)117n117n1112212即当n22。时，Sn12评论：本题（II）充分利用（I）的结论，Tn递加，将S2n裂成S2nS2n1S2n1S2n2LS2S1S1的和，从而找到认识题的打破口。2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的联合，用放缩法结构迭乘形式，相乘时消去中间项。用于解决积式问题。例3已知数列an的首项为a13,点an,an1在直线3xy0(nN*)上。若cnlog3an32(nN*),证明对随意的nN*，不等式(11)(1+1)L(1+1)33n1恒

4、建立c1c2cn证明：cn3n2，(1+1)3(3n1)33n13n3n13n1cn3n23n23n13n3n2所以(11)(1+1)L(1+1)347L3n13n1c1c2cn143n2即(11)(1+1)L(1+1)33n1。c1c2cn评论：本题是证明积式大于根式，因为左侧没有根式，右侧是三次根式，立方后比较更简单办理。(1+1)3(3n1)3能够当作是三个假分式的乘积，保持此中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加cn3n22，则积变小，(3n1)33n13n3n13n1，而通项式为3n1的数列在迭乘时恰好相消，3n23n23n13n3n23n2从而达到目标。3、迭代放缩法：经过放

5、缩法结构递推不等关系，进行迭代，从而求解。例4已知数列xn知足，x11,xn111xn,nN*，证明：|xn1xn|1(2)n1。265证明：当n1时，|xn1xn|x2x1|1，结论建立。6当n2时，易知0 xn11,1xn12,xn11(1xn)(1xn1)(11)(1xn1)2xn151xn21xn121|xn1xn|11|xnxn1|2xn122|xnxn1|L2n1|x2x1|12n1xn1xn(1xn)(1xn1)|xn|()()()1155565评论：本题将目标式进行放缩获得递推不等关系，进行迭代，找到解题门路。4、等比公式放缩法：先放缩结构成等比数列，再乞降，最后二次放缩实现目

6、标转变。例5已知数列an的各项均为正数，且知足a12,an112an(nN),记bnan2an，数列bnan1an11的前n项和为xn，且f(xn)xn2（I）数列bn和an的通项公式；（II）求证：n1f(x1)f(x2)f(xn)n(nN)Lf(xn1)2f(x2)f(x3)2略解：（I）bn2n，an112n2，f(x)2n1。2n证明：（II）f(xn)2nf(xn1)2n1f(xn)2n111f(xn1)2n1122(2n112n11f(x1)f(x2)f(xn)1n1,f(x2)f(x3)L)2f(xn1)2(2211111)22n1(2n12)22n1,n2f(x1)f(x2)f

7、(xn)n111n11n1f(x2)f(x3)Lf(xn1)2(2223L2n1)=22(12n)2n1f(x1)f(x2)Lf(xn)n2f(x2)f(x3)f(xn1)2反省：右侧是n，感觉是n个1的和，而中间恰好是n项，所以利用2n11；左侧是n1不可以用222n1122相同的方式来实现，想到n1n(1f(n)(f(n)0)，试着考虑将2n1减小成1cn(cn是等比数2222n112列），从而找到了本题的打破口。5、二项式定理放缩法：在证明与指数相关的数列型不等式时，用二项式定理放缩特别有效。二项式定理放缩法有两种常有种类：1）部分二项式定理放缩法：即只在式子的某一部分用二项式定理放缩。

8、例6已知数列an知足a1a(a2)，an1(4n6)an4n10（nN）2n1（）证明数列an2是等比数列，并求出通项an；2n1（）假如a1时，设数列an的前n项和为Sn11L11，试求出Sn，并证明当n3时，有S4SnS310略解：(a2)(2n1)2n12（nN*），则S(2n1)(2n1)an3n2nCn0Cn1Cnn1Cnn，当n3时，2nCn0Cn1Cnn1Cnn2(n1)，则2n12n1Sn(2n1)(2n1)，则1(2n11)1(111)Sn1)(2n22n2n1所以，1111(11)(11)(11)1(11)1S3S4Sn257792n12n1252n110反省：为何会想到将

9、11放缩成1联想到(2n1)(2nSn1)(2n1)(2n1)11L1111，因为要证明111L1是一个数列前n项的和，1223n1，而S4n(n1)10S3Sn最后经过放缩很可能变为1f(n)(f(n)0)的形式，而1应是由11放缩后裂项而成，1010S337111(11)，1(2n11)(2n11)1(11)，此时恰好获得S335235Sn1)(2n1)(2n22n12n111L11(11)1，接下来就要办理2n12n1，想到用二项式定理。S3S4Sn252n1102）完整二项式定理放缩法：整个式子的证明主要借助于二项式定理。例7设数列an的前n项和为Sn，且对随意的nN*，都有an0,S

10、na13a23Lan3.(I)求a1,a2的值；（II）求数列an的通项公式an；（III）证明：a2nn1a2nna2nn1。略解：（I）（II）a11,a22，ann；证明（III）(1x)nCn0Cn1xCn2x2Cn3x3L,(1x)nCn0Cn1xCn2x2Cn3x3L,(1x)n(1x)n2Cn1x2Cn3x32Cn5x5L2Cn1x2nx，令x1，1)n1)n2n则有(1(11，从而(2n1)n(2n)n(2n1)n，即a2nn1a2nna2nn1。2n2n评论：利用二项式定理联合放缩法证明不等式时，必定重要密联合二项式睁开式的特色，联系需证不等式的结构，经过化简、变形、换元等手

11、段使问题得以解决。6、比较放缩法：比较法与放缩法的联合，先进行比较（作差或作商），再进行放缩。例8在单一递加数列an中，a11，a22，且a2n1,a2n,a2n1成等差数列，a2n,a2n1,a2n2成等比数列，n1,2,3,（I）分别计算a3，a5和a4，a6的值；（II）求数列an的通项公式（将an用n表示）；（III）设数列1的前n项和为Sn，证明：Sn4n，nN*ann29(n1)(n3),n为奇数略解：（I）（II）得a33，a46，a68an8，a5(n2)22为偶数8,n8,n为奇数证明：（III）由（II），得1(n1)(n3)明显，S111441；8an2,n为偶数a131

12、2(n2)当n为偶数时，4n81111L114nSn24424662n(n2)(n2)2n2n281111L114n4244646n(n2)n(n2)n22111111L114n84668nn2n22481n14n0；22n2当n为奇数（n3）时，Sn4nSn114n4(n1)84nn2ann2(n1)2(n1)(n3)n2n12n80.41(n1)(n3)n2(n1)(n2)(n3)n综上所述，S4n0，即Sn4n，nN*nn2n20，从而得证。评论：本题在作差比较中实行裂项放缩，从而获得最后结果小于7、单一函数放缩法：依据题目特色，结构特别的单一函数，再进行放缩求解。例9设函数f(x)x2

13、bln(x1)，此中b0证明对随意的正整数n，不等式ln1111都nn2n3建立剖析：欲证上述结论，直接作差比较ln11(1213)，无从下手；接着想到令nnng(n)ln11(1213)，判断函数g(n)(nN*)的单一性，因为定义域为正整数，不可以用导数，只好nnn计算g(n1)g(n)，其结果仍是很难办理；联想到数列是一种特别的函数，将命题增强，令1x(0，)，n判断函数h(x)x3x2ln(x1)(x0)的单一性，假如在(0,)单一，则函数g(n)也单一。解：令函数h(x)x3x2ln(x1)x3x2ln(x1)，则h(x)3x22x13x3(x1)2x1x1当x0，时，h(x)0，所

14、以函数h(x)在0，上单一递加，x(0，)时，恒有h(x)h(0)0，即x2x3ln(x1)恒建立故当x(0，)时，有ln(x1)x2x3对随意正整数n取x1(0，)，则有ln1111nnn2n3二、放缩法的注意问题以及解题策略1、明确放缩的方向：即是放大仍是减小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则减小。2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不必定是对所有项进行放缩。3、放缩法的常有技巧及常有的放缩式：（1）根式的放缩：111；kk12kkk1（2）在分式中放大或减小分子或分母：1112(k2)；k(k1)kk(k1)真分数分子分母同时减一个正数，

15、则变大；，nn1；n12n假分数分子分母同时减一个正数，则变小，如2nn12n；2n1（3）应用基本不等式放缩：nn2nn2；2n222nnn（4）二项式定理放缩：如2n12n1(n3)；（5）舍掉（或加进）一些项，如：|ana1|a2a1|a3a2|L|anan1|(n2)。4、掌握放缩的尺度：怎样确立放缩的尺度，不可以过当，是应用放缩法证明中最重点、最难掌握的问题。这需要勤于察看和思虑，抓住欲证命题的特色，只有这样，才能使问题水到渠成。再看例2，若结构函数f(n)S2n(1n11L17n11)132n12(nN*)，22则f(n1)f(n)(111L17n18)(111L17n11)232

16、n112232n1211L111n71712n12n22n2n22nn2212021212前后不等号不一致，不可以确立f(n)的单一性，此时放缩过当，本题不适合用单一函数放缩法。若要证明S2n(1n11L1n3)，则f(n1)f(n)(123n1)222(111L1n2)11L12n1232n22n12n22n22n12n1110，所以f(n1)f(n)，从而f(n)(nN*)递加，f(n)f(1)1130，2n22222n所以S2n(1)建立，此时用单一函数放缩法可行。相同的题干，稍有调整，我们所用的方法便有不一样。25、放缩法的策略以及精度的控制例10已知数列an的前n项和为Sn，且知足a

17、11,an2SnSn10(n2)。2（I）数列1能否为等差数列并证明你的结论；（II）求Sn和an；Sn（III）求证：S12S22S32LSn21。211)1(n简解：（1）（2）Sn,an21；2n(n2)2n(n1)（3）证法一：当n1时，S1211建立；当n2,Sn211(11)，424n24n1nS12S22S32LSn21111L111(1111L11)=441223(n1)n44223n1n11(11)111综上所述，S12S22S32LSn21。44n2n22证法二：Sn2111(2n11)1(111)4n24n21)(2n22n2n1S12S22S32LSn21(1111L11)1(11)1。23352n12n122n12评论：两种证法的不一样在于策略的选择不一样。方法一是将1放大成1，需从第二项起，要分类4n24n24n12放大成1224n大好多，111议论；而方法二是将4n4n2。明显4n1比4n2比4n2更靠近2。14n14n4n从中能够发现放缩后的式子越靠近放缩前的式子，即放缩程度越小，精准程度越高，保存的项就越少，运算