初中几何证明公式例题

1、初中几何证明公式及例题初中几何证明公式及例题5/5初中几何证明公式及例题教师:李老师学生:年级:科目：数学时间:2012年月日内容：初中几何证明技巧（分类）证明两线段相等两全等三角形中对应边相等。同一三角形中等角同样边。等腰三角形顶角的均分线或底边的高均分底边。平行四边形的对边或对角线被交点分红的两段相等。直角三角形斜边的中点到三极点距离相等。线段垂直均分线上随意一点到线段两段距离相等。角均分线上任一点到角的两边距离相等。过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。*10.圆外一点引圆的两条切

2、线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分红的两段相等。两前项（或两后项）相等的比率式中的两后项（或两前项）相等。*12.两圆的内（外）公切线的长相等。等于同一线段的两条线段相等。证明两个角相等两全等三角形的对应角相等。同一三角形中等边同样角。等腰三角形中，底边上的中线（或高）均分顶角。两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。同角（或等角）的余角（或补角）相等。*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线均分两条切线的夹角。相像三角形的对应角相等。*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。

3、等于同一角的两个角相等。证明两条直线相互垂直等腰三角形的顶角均分线或底边的中线垂直于底边。三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。在一个三角形中，如有两个角互余，则第三个角是直角。邻补角的均分线相互垂直。一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。两条直线订交成直角则两直线垂直。利用到一线段两头的距离相等的点在线段的垂直均分线上。利用勾股定理的逆定理。利用菱形的对角线相互垂直。*10.在圆中均分弦（或弧）的直径垂直于弦。*11.利用半圆上的圆周角是直角。证明两直线平行垂直于同向来线的各直线平行。同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。平行四边形的对边平行。三角形

4、的中位线平行于第三边。梯形的中位线平行于两底。平行于同向来线的两直线平行。一条直线截三角形的两边（或延伸线）所得的线段对应成比率，则这条直线平行于第三边。证明线段的和差倍分作两条线段的和，证明与第三条线段相等。在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。延伸短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。取长线段的中点，再证其一半等于短线段。利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相像三角形的性质等）。证明角的和差倍分与证明线段的和、差、倍、分思路同样。利用角均分线的定义。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。证明线段不

5、等同一三角形中，大角对大边。垂线段最短。三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。*5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。全量大于它的任何一部分。证明两角的不等同一三角形中，大边对大角。三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。*4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。全量大于它的任何一部分。证明比率式或等积式利用相像三角形对应线段成比率。利用内外角均分线定理。平行线截线段成比率。直角三角形中的比率中项定理即射影定理。*5.与圆相关的比率定理订交弦定理、切割线定理

6、及其推论。利用比利式或等积式化得。证明四点共圆*1.对角互补的四边形的极点共圆。*2.外角等于内对角的四边形内接于圆。*3.同底边等顶角的三角形的极点共圆（顶角在底边的同侧）。*4.同斜边的直角三角形的极点共圆。*5.到极点距离相等的各点共圆.证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。好多其他问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其他如线段中垂线的性质、角均分线的性质、等腰三角形的判断与性质等也常常用到。例1.已知：如图1所示，ABC中，C90，ACBC，ADDB，AECF。求证：DEDF分析：由

7、ABC是等腰直角三角形可知，AB45，由D是AB中点，可考虑连接CD，易得CDAD，DCF45。进而不难发现DCFDAE证明：连接CD说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的协助线；在等腰三角形中，作顶角的均分线或底边上的中线或高是常用的协助线。明显，在等腰直角三角形中，更应当连接CD，由于CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延伸ED到G，使DGDE，连接BG，证EFG是等腰直角三角形。例2.已知：如图2所示，ABCD，ADBC，AECF。求证：EF证明：连接AC在ABC和CDA中，在BCE和DAF中，说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添协助线，制造全等三角形，这时应注

8、意：（1）制造的全等三角形应分别包含求证中一量；（2）添协助线能够直接获得的两个全等三角形。二.证明直线平行或垂直在两条直线的地点关系中，平行与垂直是两种特其他地点。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可经过边对应成比率、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转变为证一个角等于90，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。例3.如图3所示，设BP、CQ是ABC的内角均分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。求证：KHBC分析：由已知，BH均分ABC，又BHAH，延伸AH交BC于N，则BABN，AHHN。同理，延伸AK交BC于M，则CACM，AKKM。进而由三

9、角形的中位线定理，知KHBC。证明：延伸AH交BC于N，延伸AK交BC于MBH均分ABCABHNBH又BHAHAHBNHB90BHBH同理，CACM，AKKMKH是AMN的中位线KH/MN即KH/BC说明：当一个三角形中出现角均分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也能够理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。例4.已知：如图4所示，ABAC，A90，AEBF，BDDC。求证：FDED证明一：连接AD在ADE和BDF中，说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角均分线是常用协助线。证明二：如图5所示，延伸ED到M，使DMED，连

10、接FE，FM，BM说明：证明两直线垂直的方法以下：1）第一分析条件，察看可否用供给垂直的定理获得，包含添常用协助线，见本题证二。（2）找到待证三直线所构成的三角形，证明此中两个锐角互余。（3）证明二直线的夹角等于90。三.证明一线段和的问题（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其他部分等于另一较短线段。（截长法）例5.已知：如图6所示在ABC中，B60，BAC、BCA的角均分线AD、CE订交于O。求证：ACAECD分析：在AC上截取AFAE。易知AEOAFO，12。由B60，知5660，160，23120。123460，得：FOCDOC，FCDC证明：在AC上截取AFAE又B60即AC

11、AECD（二）延伸一较短线段，使延伸部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）例6.已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，EAF求证：EFBEDF分析：本题若模拟例1，将会碰到困难，不易利用正方形这一条件。不如延伸证明：延伸CB至G，使BGDF45。CB至G，使BGDF。在正方形ABCD中，ABGD90，ABAD又EAF45即GAEFAE中考题：如图8所示，已知ABC为等边三角形，延伸BC到D，延伸BA到E，而且使AEBD，连接CE、DE。求证：ECED证明：作DF/AC交BE于FABC是正三角形BFD是正三角形又AEBD即EFAC

12、题型展现：证明几何不等式：例题：已知：如图9所示，12，ABAC。求证：BDDC证明一：延伸AC到E，使AEAB，连接DE在ADE和ADB中，证明二：如图10所示，在AB上截取AFAC，连接DF则易证ADFADC说明：在有角均分线条件时，常以角均分线为轴翻折结构全等三角形，这是常用协助线。实战模拟：1.已知：如图11所示，ABC中，C90，D是AB上一点，DECD于D，交BC于E，且有ACADCE。求证：DE1CD2.已知：如图1222B，CD是C的均分线。所示，在ABC中，A求证：BCACAD已知：如图13所示，过ABC的极点A，在A内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和CQ。设M为BC的中点。求证：MPMQ14.ABC中，BAC90，ADBC于D，求证：ADABACBC【试题答案】证明：取CD的中点F，连接AF又1490，1390分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知