求导法则与公式课件

1、2 求导数的方法法则与公式 第三章 三、反函数的求导法则二、函数的和、差、积、商的求导法则一、问题的提出四、复合函数的求导法则五、小结与思考题（The Rule of Derivation）9/27/202212 求导数的方法法则与公式 第三章 三、反函数的求导一、问题的提出（Introduction）1. 导数的定义9/27/20222一、问题的提出（Introduction）1. 导数的定义92. 利用导数的定义得出以下导数公式：9/27/202232. 利用导数的定义得出以下导数公式：9/24/20223但是，对于比较复杂的函数，直接根据定义求它们的导数往往很困难. 例如，求下列函数的导

2、函数：为此，我们有必要研究一下函数的求导法则！9/27/20224但是，对于比较复杂的函数，直接根据定义求它们的导数往往很困难二、函数的和、差、积、商的求导法则定理1 的和、差、积、商 (除分母为0的点外) 都在点 x 可导,且下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题.9/27/20225二、函数的和、差、积、商的求导法则定理1 的和、差、积、商 此法则可推广到任意有限项的情形.设, 则例如,证: （1）9/27/20226此法则可推广到任意有限项的情形.设, 则例如,证: （1）9证: 设则有推论:( C为常数 )（2）9/27/20227证: 设则有推论:( C为常数 )（2）9/

3、24/2022证: 设则有故结论成立.推论:( C为常数 )（3）9/27/20228证: 设则有故结论成立.推论:( C为常数 )（3）9/2的导数. 例1 求函数答案：和例2 求函数的导数. 答案：和例3 求函数的导数. 答案：9/27/20229的导数. 例1 求函数答案：和例2 求函数的导数. 三、反函数的求导法则定理2 y 的某邻域内单调可导, 证:在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此9/27/202210三、反函数的求导法则定理2 y 的某邻域内单调可导, 证:在例4 求反三角函数的导数。解: 设则类似可求得, 则9/27/202211例4 求反三角函数的导

4、数。解: 设则类似可求得,四、复合函数的求导法则在点 x 可导,定理3 在点可导复合函数且在点 x 可导,证:在点 u 可导,故（当 时 )故有9/27/202212四、复合函数的求导法则在点 x 可导,定理3 在点可导复合函 说 明：9/27/202213 说 明：9/24/202213例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.（3） 此法则可推广到多个中间变量的情形.9/27/202214例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.（3的导数. 例5 求函数答案：例6 设提示：分情况讨论。答案：由此可见，即答案：9/27/202215的导数. 例5 求函数答案：例6 设提

5、示：分情况讨论求解:思考: 若存在 , 如何求的导数?这两个记号含义不同例8 设练习9/27/202216求解:思考: 若存在 , 如何求的导数?这两个记号含义不同五、基本求导法则与导数公式1. 常数和基本初等函数的导数9/27/202217五、基本求导法则与导数公式1. 常数和基本初等函数的导数9/2. 函数的和、差、积、商的求导法则( C为常数 )3. 反函数的求导法则单调可导, 则4. 复合函数求导法则5. 初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数9/27/2022182. 函数的和、差、积、商的求导法则( C为常数 )3. 反若函数的导数可导,或即或类似地 , 二阶导数的导数称为三

6、阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或的二阶导数 ,记作的导数为依次类推 ,分别记作则称高阶导数 9/27/202219若函数的导数可导,或即或类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导三、一些常见函数的高阶导数的求法例1 设 求解：1. 直接法求高阶导数就是多次接连地求导数.例2 求 的n 阶导数. 解：9/27/202220三、一些常见函数的高阶导数的求法例1 设 求解: 一般地 ,类似可证:例3 设2. 数学归纳法证明高阶导数9/27/202221求解: 一般地 ,类似可证:例3 设2. 数学归纳法证明高例4 设 求解若 为自然数 ，则 9/27/202222例4 设 内容小结1. 掌握函数求导的法则四则运算的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则注意: 1)2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .记住一些基本初等函数的导数公式3. 求高阶导数的方法9/27/202223内容小结1. 掌握函数求导的法则四则运算的求导法则反函数的思考与练习1.对吗?2. 求下列函数的导数答案：9/27/202224思考与练习1.对吗?2. 求下列函数的导数答案：9/24/2其中在因故正确解法:时, 下列做法是否正确?在求处连续,3. 设