题型六第20题几何测量问题

1、题型六 第20题几何测量问题专题一锐角三角函数的实际应用题（2012、2010年 20题）典例精讲例1 （2012陕西20题8分）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐 C处位于北偏东65方向，然后，他从凉亭 A处沿湖岸向正东方向走了 100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐 C处位于北偏东45方向（点A、B C在同一水平面上），请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离.（结果精确到1米，参考数据sin 25 0.4226,cs25 0.9063,tan25 0,4663,sin 65 0

2、,9063,cs65 0.4226,tan652.1445)例I距图【思维教练】解决锐角三角函数实际应用题，首先想到构造直角三角形，将 已知条件和要求量联系起来，已知方向角和AB的长度，则只需过点B作AC上的 高BD或过点C作AB边上的高BD BD即为所构造直角三角形的公共边，设出未 知数，列方程求解即可.有关锐角三角函数的实际应用的解题步骤：（1）审题：通读题干，结合图形，在图中找出与题干相吻合的已知条件，弄明 白哪些是已知量，哪些是未知量；（2）构造直角三角形：将已知条件转化为示意图中的边角关系，再结合问题， 把所求的量转化到与已知条件相关的直角三角形中，若不能在图中体现，则需作 适当的辅

3、助线将其结合；（3）列关系式：在直角三角形中选择适当的锐角三角函数列关系式进行求解;（4）检验：解题完毕后，可能会存在一些较为特殊的数据，例如含有复杂的小数等.因此，要特别注意所求数据是否符合实际意义，同时还要注意题目中对结果的精确度有无要求.针对演练（2015 昆明 6 分）如图，两幢建筑物 AB 和 CD,AB BD,CD BD ,AB=15 m,CD=20m,AB和CD之间有一景观池，小南在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42 ,在C 点测得E点的俯角为45 （点B E、D在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离 BD.（结果精确到 0.1 m,参考数据：sin 42 0.67,cos42

4、0.74,tan42 0,90）某数学兴趣小组想测量河流的宽度 AB,河流两岸AC BD互相平行，河流对 岸有两棵树A和C,且A、C之间的距离是60米，他们在D处测得 BDC=36, 前行140米后测得 BPA 45请根据测量数据求出河流的宽度.（结果精确到 0.1 米，参考数据：tan36 0.73,sin36 0.59,cs36 0,81）（2016陕西副题20题7分）某市为了创建绿色生态城市，在城东建了 “东州湖”景区.小明和小亮想测量“东州湖”东西两端A、B间的距离，于是，他们去了湖边，如图，在湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点B的一点C,并测得BC=35邱，点A位于点C的北偏西

5、73方向，点B位于点C的北偏东45 方向，请你根据以上提供的信息，计算“东州湖”东西两端之间AB的长.（结果精确到1米）(参考数据：sin 73o 0.9563,cos73o 0.2924, tan 73o 3.2709, 2 1,414)Jt+第3题图（2017原创）某居民楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示， BC/ AD, BE AD ,斜坡AB长为30米，坡角 BAD 75.为了减缓坡面防止山体滑坡，居委会决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50时，可确保山体不滑坡.如果改造时保持坡脚 A不动，坡顶B沿BC向左移15米到F 点处，问这样改造能确保安全吗？（参考

6、数据：sin 75o 0.97, cos 75o 0.26,tan75o 3.73,sin50o 0.77,cos50o 0.64,tan50o 1.19)口口 口口 n 口（2017原创）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的 A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西62。方向前进实施拦截.红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45方 向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结 果精确到1m.（参考数据：sin 28o 0.4695,cos28o 0.8829,tan 28o 0.5317, 2 1,414

7、2, 3 1.7321）0第5题图（2017原创）某校九年级数学兴趣小组要测量二七纪念塔的高度，他们在一座15.8米高的大楼CD的底部D处测得塔顶A的仰角恰好为45 ,在楼顶C处测得塔顶A的仰角为3652 ,已知大楼的底部D与塔底B在同一水平线上，求二七 纪念塔的高度 AB.（结果保留整数，参考数据：sin36520.60,cs36520.80, tan36520.75）Ji EJi E晶 6 Win口口口口口（2016泰州10分）如图，地面上两个村庄 C、D处于同一水平线上，一飞行 器在空中以6千米/小时的速度沿 MNJ向水平飞行，航线 MNf C、D在同一铅 直平面内，当该飞行器飞行至村庄

8、 C的正上方A处时，测得 NAD 60,该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得 ABD 75.求村庄C、D间的距离.（J3取 1.73,结果精确到0.1千米）第7蹈图（2017原创）小宏想利用所学知识测量郊区某圆柱体水塔上部蓄水池的外径 （水塔的厚度忽略不计）.如图，水塔上部为圆柱体蓄水池，下部为圆柱体支撑柱，两圆柱体的底面圆心在同一条竖直直线上，已知CD是上部圆柱体的外径，点G是CD上一点，EF EA,GA EA,EF为小宏的身高，点 E距离点A为5m小宏在点F处测得水塔上点G的仰角为60，点C的仰角为75 .圆柱体支撑柱的 直径AB为2m且图中的所有点都在同一平面内，求水塔上部蓄水池外径

9、CD的长.（结果精确到 0.1 m , 参考数据： sin75o 0.97,cos75o 0.26, tan75o 3.73, . 2 1.41, . 3 1.73）力 /7 厂*第8燃图（2016乐山10分）如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海城巡逻，上午 某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75方向以每小时l0海里的速度航行，稽查队员立即乘坐 巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船， 求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间.第9题图（2016呼和浩特改编）在一次综合实践活动中，小明要测某地一座古塔AE的

10、高度.如图，已知塔基顶端 B（和A、E共线）与地面C处固定的绳索的长BC为50 m,她先测得 BCA 30o.然后从C点沿AC方向走20 m到达D点，又测得塔 顶E的仰角为50o .求塔高AE.（结果精确到0.1m,人的高度忽略不计，参考数 据：sin50o 0.77, cos50o 0.64, tan50o 1.19, .3 1.73）tic 4 扉10嬷圉（2015河南9分）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30,朝大树方向下坡走6米 到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48.若坡角 FAE 30,求大树的高度.（结果保留整

11、数，参考数据：sin48 0.74, cs8 0.67,tan48 1.11, .3 1.73)第11题图（2016西工大附中模拟）如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离 OA=751米，展开小桌板使桌面保持水平，此时CB AO, AOB ACB 37,且支架长OB与桌面宽BC的长度之和等于OA的长度.求小桌板桌面的宽度 BC.（结果精确到0.1厘米，参考数据：sin37 0.60,cs37 0.80,tan37 0.75,计算过程中三角函数取值精确至IJ 0.01 )第12题国专题二相似三角形的实际应用题（20132016、2011、200

12、8 2009 年 20 题）典例精讲例2 （2016陕西20题7分）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿 色、共享发展理念，在城南建起了 “望月阁”及环阁公园，小亮、小芳等同学想 用一些测量工具和所学的几何知识测量 “望月阁”的高度，来检验自己掌握知识 和运用知识的能力.他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易 测得，因此经过研究需要两次测量.于是他们首先用平面镜进行测量，方法如下： 如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线 BM上的对应位置为点C.镜子不动，小亮看着镜面 上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”

13、顶端点A在镜面中的像与 镜面上的标记重合.这时，测得小亮眼睛与地面的高度 ED=1.5米，CD=2h然 后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮 从D点沿DM方向走了 16米，到达“望月阁”影子的末端 F点处，此时，测得小 亮身高 FC 的影长 FH=2.5 米,FG=1.65 米.如图，已知： AB BM,ED BM ,GF BM ,其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计.请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高 AB的长度.【思维教练】解决此类问题，首先在题图上标出已知条件和未知条件，然后通过相似三角形列出比例关系.运用三角形相似的判定和性质解决实际问

14、题的方法步骤：（1）将实际问题转化为相似三角形问题；（2）找出相似三角形；（3）根据相似三角形的性质，表示出相应的量，并求解.常见的运用相似三角形的有关性质解决实际问题，如利用光的反射定律求物体的高度，利用影子的长度计算建筑物的高度：同一时刻，物高与影长成正比例，有 身高建筑物的高度 外建筑物的影长针对演练（2017原创）数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高 AR课外活动时他们 在阳光下测得一根长为1米的yT竿EF的影子FG是0.9米，但当他们马上测量树 高时，发现树的影子不落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上， 且影子 的末端刚好落在最后一级台阶的上端 C处，同学们认为继续测量也可以

15、求出树 高，他们测得落在地面的影子长为1.1米，台阶总的高度为1.O米，台阶水平总 宽度为1.6米（每级台阶的宽度相同），请你和他们一起算一下，树高为多少？ （假设两次测量时太阳光线是平行的）第1题图（2017原创）如图，小燕同学用自制的直角三角形纸版DEF测量塔白高度AB,她调整自己的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知 纸板的两条直角边DE=40cm EF=20cm测得边DF离地面的高度AC=1.5 m CD=60 m,求塔高AB.ti第1幽困（2017原刨）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手AB与座板CD都平行于地面，靠背DWf支架OE平行，前支架OE后支架OF分

16、别交座板CDT点G和 点D.扶手AB与靠背DM痰于点N,量得 EOF 90o, ODC 30o.ON =40 cm, EG =30 cm.求两支架落地点E、F之间的距离.第3题国（2017原创）在学习完利用相似三角形进行测量这节内容后，小波与小军想 利用所学知识测量学校操场上的旗杆高度.于是，小波想出了一个方法并进行如下操作：小波在距离旗杆（EF）41.6米的点D处举起一面小圆镜C（可近似看做一个 点）让小军面对小波从镜面中观察旗杆顶端 E;利用皮尺测量出小波与小军之间的距离 BD=1.5米，小波举起的小圆镜到 地面的距离CD=2.1米时，小军正好能从镜面中观察到旗杆顶端 E,此时小军的 目光

17、出发点到地面的距离 AB=1.7米.已知小波、小军、旗杆三者均在同一平面内，且均与地面垂直.请你根据以 上数据计算出旗杆EF的高度.（结果精确到0.1米）第4题留（2015陕西20题7分）晚饭后，小聪和小军在社区广场散步.小聪问小军:“你有多高？”小军一时语塞，小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高.于是，两人在灯下沿直线NC动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长 AD恰好为1块地砖长；当小 军正好站在广场的口点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长.已 知广场地面由边长为 0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高 AC为1.6米，MN

18、 NQ, AC NQ,BE NQ .请你根据以上信息，求出小军身高 BE的长.（结果精确到0.01米）第5题图（2017原创）小明和小楠想测量学校旁边停车场一辆机动车车位所占的宽度， 如图，矩形ABC此供一辆机动车停放的车位示意图，已知车位的长AB =5.4 m,宽BC=2m又测得车位上D点到警戒线的距离DF=2.6 m请你计算车位所占的宽 度EF约为多少米？（结果精确到0.01米）第6题圉（2015陕西副题20题7分）周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露 台遮阳篷的宽度，如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直 线EF,通过在直线EF上选点观测，发现当他位于 N点时，他的

19、视线从M点通过 露台D点正好落在遮阳篷A点处；当他位于N点时，视线从M点通过D点正好 落在遮阳篷B点处，这样观测到的两个点 A、B间的距离即为遮阳篷的宽.已知ABCDEF ,点 C在 AG 上，AG,DE ,MN ,M N 均垂直于 EF, MN MN,露台的宽CD=GEU得GE =5米，EN =12.3米，NN 6.2米.请你根据以上信息求出遮阳篷的宽AB是多少米？（结果精确到0.01米）1 H1I_ G E V 第7勉圉（2017原创）物理实验课上，西西正在做小孔成像实验，实验原理如图所示， 在实验中，西西发现，当固定光屏和蜡烛，移动小孔 O的位置，烛焰在光屏上所成像的大小也会发生变化，于

20、是她做了如下实验：首先将蜡烛和光屏固定，其中 蜡烛与光屏的距离为1 m,将小孔0置于距离光屏0.3 m的位置时，测得此时烛 焰AB的像高CD为6 cm,然后将小孔O向蜡烛的方向移动0.3 m计算此时像高CD的大小.（小孔大小和厚度不计，结果精确到 0.1 cm）光哥小孔端蛭弟8 图（2017原创）如图所示，某工程队小组为测量一个山体高度，分成甲、乙两个 小组进行配合测量，首先甲小组的成员在点C处由一定视角观察乙小组在山顶的 观测点A,与此同时，乙小组成员在点 A处确定山体垂直于地面的观测点 B,并 在观测点A与甲小组视角互余的角度俯视观察，并在地确定观测点D,最后甲小组测出观测点C与观测点D的距离为625米，