8平面向量的概念及其线性运算-2018年高考数学(理)热点题型和提分秘籍含解析-2495

1、学必求其心得，业必贵于专精1.认识向量的实质背景2。理解平面向量的见解,理解两个向量相等的含义3。理解向量的几何表示4。掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6.认识向量线性运算的性质及其几何意义热点题型一平面向量的相关见解规1、给出以下命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点,则错误!错误!是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab。其中真命题的序号是_。剖析：不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不用然相同。正确错误!错误!，错误!|错误!|且错误!错误!，又

2、A，B,C，D是不共线的四点,四边形ABCD为平行四边形;反之，若四边形ABCD为平行四边形，则错误!错误!且|错误!|错误!，因此，错误!错误!。学必求其心得，业必贵于专精【提分秘笈】平面向量中常用的几个结论(1)相等向量拥有传达性,非零向量的平行也拥有传达性。(2)向量能够平移，平移后的向量与原向量是相等向量。(3)错误!是与a同向的单位向量，错误!是与a反向的单位向量.【贯串交融】设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0;若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a1，则aa0。上述命题中，假命题的个数是()A0B1C2D3热点题型二平面向量的线性运算例2、【20

3、17天津，理13】在ABC中，A60,AB3，AC2。若BD2DC，AEACAB(R)，且ADAE4，则的值为_。【答案】311学必求其心得，业必贵于专精【剖析】ABAC32cos6003,AD1AB2AC，则33ADAE1AB2ACACAB3324192343.3333311【变式研究】(1）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，错误!错误!，则_。错误!2)已知P，A，B，C是平面内四点，且错误!错误!错误!错误!，那么必然有()A.错误!2错误!B.错误!2错误!C.错误!2错误!D。错误!2错误!剖析：（1)AB，错误!错误!2错误!，2。2）错误!错误!错误!错误!

4、错误!错误!,错误!2错误!2错误!.答案：（1)2（2)D【提分秘笈】向量线性运算的方法技巧向量线性运算，要转变到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法例、三角形法例,利用三角形中位线、相像三角形等平面几何的性质,把未知向量转变为已知向量(基底向量）来求解。【贯串交融】在ABC中，已知D是AB边上一点，错误!错误!错误!错误!，学必求其心得，业必贵于专精则实数（)A错误!B错误!C。错误!D。错误!答案:D剖析：如图,D是AB边上一点，过点D作DEBC，交AC于点E,过点D作DFAC，交BC于点F，连结CD，则错误!错误!错误!.因为错误!错误!错误!错误!，因此错误!错误!错误!，错误!错

5、误!.由ADEABC，得错误!错误!错误!，因此错误!错误!错误!错误!，故错误!.热点题型三共线向量定理及其应用例3【2017江苏,16】已知向量a(cosx,sinx),b(3,3),x0,.1）若ab，求x的值；2）记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值。【答案】（1）5时，获取最大值,为3；5x6（2）x0fx6时，xfx获取最小值，为23.【剖析】解：（1）因为acosx,sinx,b3,3，ab学必求其心得，业必贵于专精因此3cosx3sinx.若cosx0，则sinx0，与sin2xcos2x1矛盾,故cosx0.于是tanx3。3又，因此5x0,x6。【变式

6、研究】设两个非零向量a与b不共线，1)若错误!ab，错误!2a8b，错误!3（ab)。求证:A、B、D三点共线。2)试确定实数k，使kab和akb共线。剖析:（1）证明：错误!ab，错误!2a8b，错误!3（ab),错误!错误!错误!2a8b3(ab）2a8b3a3b5（ab)5AB，.错误!、错误!共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线.学必求其心得，业必贵于专精(2）kab与akb共线,存在实数，使kab（akb）,即kabakb.(k)a(k1)b。a、b是不共线的两个非零向量，kk10，k210，k1。【提分秘笈】1共线向量定理及其应用1）能够利用共线向量定理证明向量共线，也能够由

7、向量共线求参数的值。2)若a，b不共线,则ab0的充要条件是0，这一结论联合待定系数法应用特别宽泛。2证明三点共线的方法若错误!错误!，则A，B，C三点共线。【贯串交融】已知向量a，b不共线,且cab，da（21）b，若c与d同向,则实数的值为_。学必求其心得，业必贵于专精答案：11.【2017课标3，理12】在矩形ABCD中,AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上。若AP=AB+AD，则+的最大值为A3B22C5D2【答案】A【剖析】以以下图，成立平面直角坐标系设A0,1,B0,0,D2,1,Px,y学必求其心得，业必贵于专精依照等面积公式可得圆的半径是2，即圆的方程是2

8、24x2y55APx,y1,AB0,1,AD2,0，若知足APABAD即x2，x,1y，因此xy1,设zxy1，即y1222xz0，点Px,y在圆x2y24上，因此圆心到直线的距y12252z23，因此z的最大值是3，即离dr，即15，解得1z14的最大值是3,应选A.【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理2。【2017北京，理6】设m，n为非零向量,则“存在负数,使得mn是“mn0”的（A)充分而不用要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不用要条件【答案】A【剖析】若0，使mn，即两向量反向，夹角是1800,那么mnmncos1800mn0T，若mn0那么两向量

9、的夹角为,900,1800，其实不用然反向，即不用然存在负数，使得mn，因此是充分不用要条件，应选A。【考点】1。向量；2.充分必要条件。3.【2017课标II,理12】已知ABC是边长为2的等边三角形，P学必求其心得，业必贵于专精为平面ABC内一点，则PA(PBPC)的最小是（)A。2B。3C。423D。1【答案】B【考点】平面向量的坐标运算；函数的最值4。【2017课标1，理13】已知向量a,b的夹角为60，|a|=2，b|=1，则|a+2b=。【答案】23【剖析】利用以以以下图形,能够判断出a2b的模长是以2为边长的菱形对角线的长度,|a2b|2|a|24ab4|b|24421cos60

10、412因此|a2b|1223.学必求其心得，业必贵于专精【考点】平面向量的运算。5。【2017天津，理13】在ABC中,A60，AB3，AC2.若BD2DC，AEACAB(R)，且ADAE4,则的值为_.【答案】31112【剖析】ABAC32cos6003,ADABAC,则33ADAE1AB2ACACAB324192343。33333311【考点】向量的数量积6.【2017山东,理12】已知e1,e2是互相垂直的单位向量，若3e1e2与e1e2的夹角为60，则实数的值是.【答案】33【剖析】3e1e2e1e223e1e2e12，3e1e2e232222，3e1e23e1e23e123e1e2e

11、2222e222，e1e2e1e2e12e1e213212cos6012,解得：33学必求其心得，业必贵于专精【考点】1.平面向量的数量积.2。平行向量的夹角.3。单位向量.7【2017浙江，15】已知向量a,b知足a1,b2,则abab的最小值是_，最大值是_【答案】4,25【剖析】设向量a,b的夹角为，由余弦定理有：ab1222212cos54cos,ab1222212cos54cos，则:abab54cos54cos,令y54cos54cos，则y21022516cos216,20，据此可得：ababmax2025,ababmin164,即abab的最小值是4，最大值是25【考点】平面向

12、量模长运算8.【2017浙江,10】如图，已知平面四边形ABCD，ABBC,ABBCAD2，CD3,AC与BD交于点O，记I1OAOB，I2OBOC，I3OCOD，则AI1I2I3BI1I3I2CI3I1I2DI2I1I3学必求其心得，业必贵于专精【答案】C【剖析】因为AOBCOD90，OAOC，OBOD，因此OBOC0OAOBOCOD,应选C。【考点】平面向量数量积运算9.【2017江苏,12】如图，在同一个平面内，向量OA，OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为,且tan=7，与OC的夹角为OB45.若(m,nR)，则mn.OCmOAnOBCBOA(第12题)【答案】3【剖析】

13、由tan7可得sin72，cos2，依照向量的分解，1010易得ncos45mcos2,即2n2m25nm10,即得210，即nsin45msin02725n7m0m02105,n7，44因此mn3【考点】向量表示10.【2017江苏，16】已知向量a(cosx,sinx),b(3,3),x0,.(1)若ab，求x的值;（2）记f(x)ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.学必求其心得，业必贵于专精【答案】（1)x50时,fx获取最大值，为3;x56（2）x6时,fx获取最小值，为23。（2）fxabcosx,sinx3,33cosx3sinx23cosx。6因为x0,因此x,7，

14、666进而1cosx3。62于是，当x3；66，即x0时，fx取到最大值当，即5取到最小值。6x6时，fx23x【考点】向量共线，数量积1。【2016高考新课标2理数】已知向量a(1,m)，a=(3,2)，且(a+b)b，则m（）(A）8(B）6（C）6D）8学必求其心得，业必贵于专精【答案】D【剖析】向量ab(4,m2)，由(ab)b得43(m2)(2)0，解得8，应选D。2【.2016高考江苏卷】如图，在ABC中,D是BC的中点,E,F是A,D上的两个三均分点，BCCA4,BFCF1,则BECE的值是。【答案】782015高考新课标1，理7】设D为ABC所在平面内一点BC3CD，则（）(A

15、）AD1AB4AC(B）AD1AB4AC3333（C）AD4AB1AC(D）AD4AB1AC3333【答案】A学必求其心得，业必贵于专精【剖析】由题知ADACCDAC1BCAC1(ACAB)=1AB4AC,3333应选A.1（2014辽宁卷）设a，b，c是非零向量，已知命题p：若ab0，bc0，则ac0，命题q:若ab，bc,则ac,则以下命题中真命题是(）ApqBpqC(綈p）（綈q)Dp(綈q)【答案】A【剖析】由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题qbacqpq中,当0时，必然共线,故命题是真命题故为真命题2(2014新课标全国卷已知A，B，C为圆O上的三点,若错误!错误!(错

16、误!错误!）,则错误!与错误!的夹角为_【答案】90【剖析】由题易知点O为BC的中点,即BC为圆O的直径，故在ABC中，BC对应的角A为直角，即AC与AB的夹角为90。3（2014四川卷)平面向量a(1，2），b（4,2）,cmab(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m（)A2B1C1D2学必求其心得，业必贵于专精【答案】2【剖析】cmab(m4，2m2)，由题意知错误!错误!，即错误!错误!，即5m8错误!，解得m2.1.以下说法正确的选项是（)A.若a与b都是单位向量，则a=bB.若a=b，则|a=|b|且a与b的方向相同C.若a+b=0,则|a|=|b|D。若a-b=0,则a与b

17、是相反向量【剖析】选C。因为向量相等必定知足模相等且方向相同，因此A不正确;因为0的方向是随意的，当a=b=0时,B不正确;因为a+b=0,因此a=b，因此a|=|-b=|b|，故C正确;因为ab=0,因此a=b，a与b不是相反向量，故D不正确.()2。已知点D是ABC的边AB的中点，则向量CD等于A。BC+21BAB。BC21BAC。BC-21BAD.BC+21BA【剖析】选A。因为点D是AB的中点，因此CD=CB+BD=CB+21BA=BC+2BA.学必求其心得，业必贵于专精3。已知点P是四边形ABCD所在平面内的一点，若AP=(1+）（）AB，其中R,则点P必然在ADA。AB边所在的直线

18、上B。BC边所在的直线上C。BD边所在的直线上D.四边形ABCD的内部【剖析】选C。因为），=(1+）-，因此-=（ADAPABADAPABAB因此BP=DB,因此B,D，P三点共线，因此点P必然在BD边所在的直线上.4。已知向量a与b共线反向，则以下结论正确的选项是()学必求其心得，业必贵于专精A.|a+b|=|a|+b|B.|a+b|=|a|-|bC.ab=|a|+|bD.|a-b=ab【剖析】选C.因为向量a与b共线反向,因此|a+ba|+b|,a+b|0，而|a|b|的符号不确定，因此A,B不正确.同理，D不正确，C显然正确.5。已知以下结论2已知a是非零向量，R，则a与a方向相同已知

19、a是非零向量，R,则|a=|a若R，则a与a共线若a与b共线,则存在R，使a=b其中正确的个数为()A.0B.1C.2D。46.在平行四边形ABCD中,点E是AD的中点，BE与AC订交学必求其心得，业必贵于专精于点F，若EF=mAB+nAD(m，nR），则mn的值为（）A.2B.-21C.2D.21【剖析】选A。如图.设AB=a，AD=b，则EF=ma+nb,BE=AEAB=21ba，1由向量与BE共线可知存在实数，使得=，即ma+nb=b-EFEFBEa,又a与b不共线，则m=-，1n=2，因此mn=-2。7.已知D为ABC的边AB的中点。M在DC上且知足（)5AM=AB+3AC,则ABM与

20、ABC的面积比为A。15B。25C.35D.45学必求其心得，业必贵于专精【剖析】选C。如图，由5AM=AB+3AC得2AM=2AD+3AC-3AM，即2(AM-AD）=3(AC-AM），即2DM=3MC，故DM=53DC,故ABM与ABC同底且高的比为35，故SABMSABC=35。是BN上的一8.在ABC中,N是AC边上一点，且AN=21NC，P（)点，若AP=mAB+92AC，则实数m的值为A。19B。31【剖析】选B。以以下图。设BP=BN，学必求其心得，业必贵于专精则AP=+=AB+=+(-)ABBPBNABANAB=AB+(13ACAB）=(1)AB+3AC，因为3=29,因此=2

21、3，因此1-=13,因此m=13。9。O是ABC所在平面外一点且知足OP=OA+,为实数，则动点P的轨迹必经过ABC的()ABAC+)(|AB|AC|A。重心B。心里C.外心D.垂心ABAC【剖析】选B。如图，设|=AF=，已知均为单位向量，AE学必求其心得，业必贵于专精故?AEDF为菱形,因此AD均分BAC,ABAC由=+)OPOA(|AB|AC|得=与有公共点A,AP，又APADAD故A，D，P三点共线，因此P点在BAC的均分线上，故动点P的轨迹经过ABC的心里。10.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是ABC的重心，111动点P知足OP=3(2OA+2OB+2OC)，则点P必然为三角

22、形ABC的()A。AB边中线的中点B.AB边中线的三均分点（非重心)C.重心学必求其心得，业必贵于专精D.AB边的中点11.已知点D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB的中点,且BC=a，CA=b，给出以下命题:AD=21a-b；BE=a+21b；CF=-21a+21b;AD+BE+CF=0。其中正确命题的序号为。【剖析】BC=a，CA=b，AD=12CB+AC12a-b，故错；BE=BC+21CA=a+21b,故正确；CF=21（CB+CA)=21（-a+b)=-21a+21b，故正确;AD+BE+CF=b-1a+a+1b+1b1a=0.2222学必求其心得，业必贵于专精【答案】12。在

23、?ABCD中,AB=a,AD=b,3AN=NC，M为BC的中点,则.（用a，b表示）MN=【剖析】以以下图.MN=MC+CN=21AD+43CA=21+43AD(CB+CD)=21+43AD（DA+BA）=21b-43a-43b=-43a41b。【答案】-43a-41b知足=2，则=。13.在ABC中，=c，=b，若点DBDADABACDC=2【剖析】如图,因为在ABC中，=c，=b，且点D知足BD,ABACDC学必求其心得，业必贵于专精因此BA+AD=2（DA+AC)，AD=231AC+3AB=213b+3c.【答案】23b+13c14.在ABC中，已知D是AB边上一点，CD=13CA+CB,则实数=.【剖析】如图