初等量子力学表象的若干问题

1、第四章思考题1如何用矩阵表示量子态与力学量，并说明理由 解答: 矩阵表示一般用于本征值为分立谱的表象（相应希尔伯特空间 的维数是可数的）。具体说，如果力学量A的本征函数为p ,p，* ,12n相应本征值为A , A，A。任意态矢屮可展开为12n屮二Y a屮n nn态矢屮在A表象的表示为展开系数a 组成的一列矩阵n（a ）1a2匕丿I2,n其意义是：在屮态中，力学量A取值A的几率为|a I2,n函数的意义相类似。力学量用厄密矩阵表示(A11A21A12(A11A21A12A22A )InA2nA = (P , AP )ij i jI An1An2Ann 丿nn可见列矩阵与方阵维数与希尔伯特空间维

2、数相同。用矩阵表示力学量，理由如下：1）可以反映力学量作用一个量子态而得到另一个量子态的事头。设 p 头。设 p (x) = A 屮(x)，则(b )r aAA )r a )i11121n1bAA Aa2=21222 n2n、AnlAn2 A丿nna丿n简记为b二Aa ；2）矩阵乘法一般不满足交换律，这恰好能满足两个力学量一般不对易的要求；(3)厄密矩阵的性质能体现力学量算符的厄密性。2算符(力学量)在其自身表象中如何表示？其本征矢是什么?解答：力学量本征值是分立谱时，它在其自身表象中的表示是对角化 的，对角元素就是它的本征值1本征矢为单一元素列矩阵(1 00、1p1=:p2=:0丿0丿3已知

3、一维谐振子在坐标表象的能量本征函数屮(x)，不用计算，直n接写出其在动量表象的能量本征函数屮(p)。n解答：一维谐振子的哈密顿量为1 I1 1I1H =p2 + (a 2方x)2= m2 P 2方p)2 + X22m2其中 a = . m /力P二v1/可见，h对于x和p是对称的，差别在于a和p不同，因而，p (p,p)和屮(a,x)的形式应当完n全一样。已知 屮(a, x) = N e-a2x2/2H (ax)N = a /2nn!j兀i/2nnnn故有 p (P,p) = N e-P2p2/2H (Pp)N = P/2nn!元i/2nnnn4量子力学绘景中表象和绘景的含义有何不同？答：绘景

4、(picture )是指描述量子体系虽时间变化的公式。量子力学 中，波函数屮与力学量F都是不能只接测量的。能与实测比较的量 子力学量在屮态的平均值F， F二(屮,F屮)既与算符F有关又与波函 数屮有关。量子体系在运动中，F(t)的随时变化是完全由于屮(t)或 F (t)还是两者都依时变化？在理论上可有不同但等效的描绘方式。 即有不同的绘景：如常用的薛定谔绘景，海森伯绘景 量子力学体系中的量子态由希尔伯空间中一个矢量来描绘，量子力 学由作用于此空间上的厄米算符来表示。同一个态或力学量可以有 不同的表象(representation)表象是态和力学量的具体表示方法，是指在希尔伯空间中对坐 标的选择

5、。也就是对作为基矢的完备正交归一本征矢系的选择。选 用不同坐标系对应用于采用不同的表象。显然，每一绘景中，可取各种表象如位置表象，动量表象等。 对一具体问题，用什么绘景，又选用什么表象，由如何才便于 求解而定。在量子力学基础教材中，通常使用的是薛定谔绘景中的位置表 象有时被简称为薛定谔表象。绘景与表象是两个不同的概念，在早期的国外量子力学教材中经常 混用，近期的教材都已加以明确区分。5坐标和动量作为算符，在能量表象中有确定的表示式吗？ 答：坐标与动量算符在能量表象中没有确定的表示式，因为能量表 象不是一种确定的表象。不同体系因其哈密顿量H不同，各有自己 的能量表象。它们的的矩阵元取决于能量的本

6、征函数，而能量本征 函数又由外势场决定。6力学量的矩阵对角化含义是什么？答：如果力学量F的矩阵F是非对角矩阵，则说明不是在其自身表 象中的表示,而是在某个其他表象G中的表示（表象G以力学量G的 本征矢为基矢）所谓将矩阵对角化，也就是将F转换到起自身的表 象中来，这样做的目的是求矩阵的本征值。7有人认为：粒子数确定，能量也就确定。因此，能量表象与粒 子数表象是一回事？对不对？答：有的书将一维谐振子的能量表象成为粒子粒表象或占有数表 象。那不是因为“粒子数确定、能量也确定”，一维谐振子只有一个 粒子，谈不上粒子数，所以有此称呼是因为今后可以用此表象研究 多光子系统。所谓粒子数是指那时的光子数。8狄

7、拉克符号中，引入了右矢| ，为什么又引入左矢，右矢和 左矢能够相加吗？解答：在量子力学中，态空间是具有内积的矢量空间，类似于希尔伯 特空间波函数申和屮的内积(Q，屮)叩dT，|申和|屮的内积记为 ，)+ =九|屮如” 是F的本征矢，则 屮 | F = F n |的物理意义是什么？公式工| n. 方向的投影矢量，P | A=| n = A l n ； 且nnP 2 =| n nnnn是投影数值。公式工| n. 组成正交、归n一、完备系，任意态矢均可按n 唯一展开| A =工 A | n =工 | n ， 由 于 | A 为 任 意 态 矢 ， 故 得 到n工P二Y|nn|二1，此式可作为完全集的定义式，称为封闭性关系。nnn10.若总哈密顿量H在H0表象中为非对角矩阵，物理上意味着什么？ 若H在H 0表象中为对角矩阵，又意味着什么？