山东省2018年冬季普通高中学业水平学业水平试数学试题(解析)

1、山东省2018年冬季2017级普通髙中学业水平合格考试数学试题参考公式：锥体的体积公式：V = Sh.其中S为锥体的底面积，A为锥体的卨，球的表面积公式：S = R2,其中为球的半径.一、选择题：本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目耍求的.己知集合M =1,3,5,/V = 2,3,5,则MuN=（）A. 3,5B. 1,2,3C. 2,3,5D. l,2,3.5【答案】D【解析】【分析】根据并集定义可直接求解得到结果.【详解】由并集定义得：MU7V = 1.2,3,5故选：D【点睛】本题考査集合运算屮的并集运算，属于基础题.函数） = cos

2、2x的最小正周期为（）D. 4/rA. -B.C. D. 4/r2【答案】B【解析】【分析】根据余弦型函数最小正周期的求法即可求得结果.【详解】y = cos2x最小正周期r=y=故选：B【点睛】本题考査余弦型函数最小正周期的求解，属于基础题.下列函数中，定义域为/?的函数是（b. y = igx【答案】D【解析】【分析】根据初等函数定义域依次判断各个选项即可得到结果.【详解】y=-定义域为小类0，A错误；y = igv定义域为（0，+力，错误；y = V定义域为0，+4，C错误：y = 2定义域为/?，0正确.故选：D【点睛】本题考査初等函数定义域的判断.属于基础题.己知一正方体的棱长为2,

3、则该正方体内切球的表而积为（）4/rA.B. C. 4/rD. 16/r3【答案】C【解析】【分析】根据正方体内切球半径为梭长的一半可得球的半径，代入球的表面积公式即可. 【详解】正方体内切球半径为棱长的一半.即R = 1所求内切球的表而积5 = 4ttR2 = 4 故选：C【点睛】本题考查正方体内切球表而积的求解，关键是明确正方体内切球半径为棱长的 一半，属于基础题.抛掷一颗骰子，观察向上的点数，下列每对事件相互对立的是（）A. “点数为2”与“点数为3”B. “点数小于4”与“点数大于4”C. “点数为奇数”与“点数为偶数”D. “点数小于4”与“点数大于2”【答案】C【解析】【分析】根据

4、对立事件的定义依次判断各个选项即可得到结果.【详解】若事件九B为对立事件，则九S必有一个且仅有一个发生A中，“点数为2”和“点数为3”不是必有一个发生的事件，A错误；B中，“点数小于4”与“点数大于4”不是必有一个发生的事件，#在“点数等于4”，B错误；C中，“点数为奇数”与“点数为偶数”必有一个且仅有一个发生，符合对立事件定义，C正确：D中，“点数小于4”与“点数大于2”可冋时发生，即“点数等于3”，D错误.故选：C【点睛】本题考查对立事件的判断，关键是明确对立事件的定义，即事件A5为对立事 件，则A，B必有一个且仅有一个发生.如图所示，在正方体ABCD-AC.D,中，下列直线与戽M垂直的是

5、（）A. BC,C. ACD. A. BC,C. ACD. BC【答案】C 【解析】 分析】由平行关系可确定孕M的垂线即为的垂线，由此可确定结果.【详解】四边形ABCD为正方形.AC上BD/:.AC 丄 故选：c 【点睛】本题考查异而直线垂直的判断，关键是明确通过平行关系将异面直线所成角的 问题转化为相交直线所成角的问题.cos 210 =(1D1D. Ic-【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式将原式化简为-cos30S根裾特殊角三角函数值求得结果.【详解】cos210 = cos(180 +30 ) = -cos30 =-y故选：4【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值的问题，属于基础题

6、.8.在中.D是5C的中点，则AB + AC=()A. cbB. 2CBC. ADD- 2AD【答案】D【解析】【分析】根据平而向最线性运算法则即可得到结果.【详解】故选：D【详解】故选：DXC1 - 2+1 - 2IIIAD. AB + AC = 2AD【点睛】本题考査平而叫景的线性运算，属于基础题.下列数值大于1的是()A. 1.7。：B. 0.7L3C. Ig2D. ln0.5【答案】A【解析】【分析】根据指数函数和对数函数申调性依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】1.721.7=1，A正确:0.7130.7 = 1，衫错误； lg2lgl0 = l，C错误：lnO.5lne = l

7、, D错误.故选：4【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数羊调性比较大小的问题，属于基础题.袋中装有质地、形状和大小完全相冋五个小球，其中黑球、红球、黄球各一个.白球W个.从屮任取一个球，“取出的球是白球或黑球”的概率为()B.B.【答案】C【解析】【分析】先确定基本事件总数和满足题意的基本事件个数.进而根据古典概型概率公式求得结 果.【详解】从袋中任取一个球共有5种结果，取出的球是白球或黒球共有3种结果-所求概率P = |故选：C【点睛】本题考査古典概型概率问题的求解，属于基础题.函数=+ 图象的一条对称轴为（）【答案】B【解析】【分析】令=可求得函数的对称轴方程.进而验证得到选项.D 2【

8、详解】令 x+ = - + k7r t kcZ ,解得：x = - + k, keZ 623.y = sin.y = sin的对称轴方程为x = +kf keZ当灸=0时，-v = -故选：B【点睛】本题考查正弦型函数对称轴的求解问题，关键是熟练嗲握整体对疢的方式.结 合正弦函数的性质求得对称轴方程.12.已知向景 = =（24）,若向景占十/与垂直，则实数川的值为（）A. -3B. 3C. -D.-2 2【答案】A【解析】【分析】由景垂直关系得到（d+b-b = 0t根据平面向景的坐标运算可构造方程求得结果.【详解】-a+b与&垂直.和5).“0又5 + f = (l.n + l).-.(d

9、 + /i)- = 2xl+lx(w + l) = 0,解得：m = -3故选：4【点睛】本题考査向量垂直的坐标表示，关键是明确W向量垂直，则数量积为零.13.菜学校随机抽取100名学生，调査其平均一周使用互联网的时间(申.位：小时)，根 据调查结果制成了如图所示的频率分布直方图，其中使用时间的范围是0.16,样本数 据分组区间为0,4),4,8),8,12).l2J6.|g据直方图，这100名学生中平均一周使ffl互联 M的时间不少于12小时的人数为()【答案】C【解析】【分析】利用频率分布直方图可求得平均一周使用互联网的吋间不少于12小时的频率.根据频率 和频数、总数之间的关系可求得结果.

10、【详解】由频率分布直方图知：平均一周使用互联网的吋间不少于12小时的频率为0.05x4 = 0.2.-平均一周使用互联网的时间不少于12小时的人数为100 x 0.2 = 20人故选：C【点睛】本题考查利用频率分布直方图求解频率、频数的问题，关键是明确在频率分布 直方图屮，每组数据对应的频率即为对应矩形的而积.14.函数f(x) = lnx+x-2零点所在区间为()A. (-hO)B. (0.1)C. (1.2)D. (Z3)【答案】C【_干】【分析】依次判断各个区间端点处函数值的符号，根据零点存在定理可判断得到结果. 【详解】由题意得：/(*)定义域为(0，+w),且在定义域上为增函数，故至

11、多一个零点，/(1) = -10；./(1)./(2)0且#1）的阁象如图所示，其中a,办为常数.下列结论正确的是A. al，一 1厶l，OZ?lC. 0a 1，一 1 Z?0D. 0al，0Z?l又函数在）轴截距在（0J）之间.-.0aQ+bl:.-Kb0故选：4【点睛】本题考查根据指数型函数的图象判断参数范围的问题，关键是能够熟练应用函 数的单调性和截距来得到参数所满足的不等关系.在空间中，设/是一条直线，a./?是两个不同的平面.下列结论正确的是（）A.若U/ajnpt 则a/fB.若/丄a./丄/?，则a/?C.若 lct、aP，则/?D.若 U/a.a，则 / 丄夕【答案】B【解析】

12、【分析】在正方体中可依次找到A.C.D的反例，flf除掉A.C.D-根据平行与垂直关系相关定理 可确定?正确.【详解】【详解】在如图所示的正方体中:平面ABCD，DJ/平面BCC1BJ,此时平面ABCDC平面BCC此=BC，可知A错误;DJI平面ABCD，平面ABCZ)/平面，此时c平面，可知C错误:W 平面ABCD.平面ABCD丄平面BCC ,此时A.DJ!平面BCC凡，可知D错误;垂直于同一直线的两平面互扣平行，可知S正确.故选：B【点睛】本题考査空间屮线而关系、面而关系相关命题 辨析，关键是熟练箏握空间屮的平行与垂直关系相关定理.下列函数中，使得函数/(x) = sin.v+g(A)在区

13、间-$，芋上羊调递増的是(B. g(x) = cosxA. B. g(x) = cosxC. g(x) = suixDC. g(x) = suix【答案】A【解析】【分析】利用辅助角公式化简中的/(x),利用代入检验的方法可知A正确、B错误：报据正弦函数的单调性可确定错误.【详解】A 中，/(x) = smx-cosx = V2sm-7T 37T4 T时，7T n22k -4，此时7T 37T4 T时，7T n22k -4，此时/(.v)单调递增，4正确;B 中， /(x) = smx+cosx = sinf x+-当当je时，x + JgO.,此时不单调.fl错误:C中，f(x)=2sinx

14、C中，f(x)=2sinx9 当xe时，/b)不单调，c错误:D中，/(x) = smx+l,当xe -，字时，/(义)不单调，D错误. 故选：4【点睛】本题考査正弦型函数单调性的求解问题，涉及到辅助角公式化简三角函数的问 题：关键是能够熟练举握代入检验的方法，根据整体对应的情况，结合正弦函数性质求 得结果.己知函数/(是定义在/?上的奇函数，且在O.+oo上单调递减.若/(2)= 0,则使f log 0成立的X的取值范围是()U I 1/ 1 -4U(4/(tUOU I 1/ 1 -4U(4/(tUO、 /1 - 4*O【答案】B【解析】【分析】根据奇偶性和(0，+力上的单调性得到/(.t)

15、在(AO)上的单调性，同时得到/(-2) = 0； 利用单调性可将所求不等式转化为-2log1A2t由对数函数单调性可解 22得结果.【详解】v/(-v)在(O.+扣)上单调递减且为奇函数.-./(X)在(-A0)上单调递减乂/CO 定义域为/?/(0) = 0.(-2) = -/(2)./(-2) = 0X由 / logl 0 得：-2log，2,解得：!J4sJcOxl T224- f- f log/ 0的解集为(tU I 1 - 4 O故选：B【点睛】本题考査利用申.调性和奇偶性求解函数不等式的问题，涉及到对数不等式的求 解：关键是能够通过奇偶性得到对称区间的单调性，进而利用单调性将函数

16、值的大小关 系转变为自变景的大小关系.二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，满分15分，将答案填在答题纸上己知向量3和5满足H = |5| = 2, J与5的夹角为专，则M的值为.【答案】2【解析】【分析】根据数量积的定义运算即可得到结果.【详解】a-B = a- b cos =2x2cosy = 2故答案为：2【点睛】本题考査平而叫最数景积的运算，厲于基础题.若a为钝角：且sma = j，则sin2a的値为 .【答案】-尝【解析】【分析】根据冋角三角函数平方关系可求得cosa，利用二倍角公式可求得结果.【详解】为钝角 . cosa = -/l-sm:a【点睛】本题考査利用二倍角公式求值的问

17、题，涉及到同角三角函数平方关系的应用. 易错点是忽略角所处的范围，造成三角函数值符号求解错误.己知函数/(x)= 2则/(l) + /(-2)的值为.【答案】1【解析】【分析】根据解析式可分别求得/(I)和/(-2),从而得到结果.【详解】v/(l) = 21=2, /(一2) = -2+1 = -1./(1)+/(-2) = 2-1 = 1故答案为：i【点睛】本题考査分段函数的函数值的求解问题，属于基础题.九章算术中有文：今有鳖臑，下广五尺，无袤，上袤四尺，无广，高七尺，问积 几何？文中所述鱉臑是指四个面皆为直角三角形的三棱锥.在如图所示的A-BCD中，若AB=BD = CD = 1，则该鳖

18、臑的体积为【解析】【分析】根据垂直关系可确定为A-BCD的卨，根据棱锥体积公式可求得结果. 【详解】四个面均为直角三角形且AB = BD = CD = 1/.似丄平面BCD且BDLCD.AB为繁臑A-BCD的髙.AB = BD CD AB = 55 2o故答案为：70【点睛】本题考査三棱维体积的求解问题，关键是能够根据垂直关系确定三梭锥的髙. 属f基础题.25.在AAfiC中，角A,B,C的对边分別为a,b.c ,c2 =(a + by-4,C = -,则崖C的面 积为 【答案】V3【解析】【分析】利用己知等式和余弦定理可构造方程求得ab .代入三角形而积公式可求得结果.【详解】.r2 =（a

19、 +办）-4 = a: + 2a/?+/?2-4. cosC =门 + （ = _lablab解得：ab = 4SBC = absinC =解得：ab = 4故答案为：Ji【点睛】本题考查解三角形的相关问题的求解，涉及到余弦定理和三角形面积公式的应 用；关键是能够将通过己知等式配凑出余弦定理的形式，从而构造方程求得两边之积.三、解答题：本大题共3小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.如图，在四棱柱ABCD-WA中，底面ABCD为平行四边形，E为棱的中点.求证：BDJ/平面【答案】证明见解析【解析】【分析】连接交AC于点6?,连接EO,根据三角形中位线性质可得EOHBD,根据线

20、而平行判定定理可证得结论.【详解】连接交v4C于点（7,连接EOVV四边形ABCD为平行四边形aO为5D的中点，又F为的中点.- EO 为 BDkD 的中位线 :.EOHBD/BD, z平面 ACE,平面ACE.价）/平面 ACT【点睛】本题考查线面平行关系的证明，涉及到三角形中位线的性质，关键是熟练掌握 线面平行的判定定理.菜班有男生27名，女生18名，用分层抽样的方法从该班中抽取5名学生去敬老院参 加献爱心活动.1）求从该班男生、女生中分別抽取的人数：（2）为协助敬老院做好卫生清扫工作，从参加活动的5名学生屮随机抽取2名，求这2 名学生均为女生的概率.【答案】（1）从该班男生、女生中抽取的

21、人数分別为3, 2 2）【解析】【分析】（1）根据分层抽样的基本原则可计算求得结果：2）列举出随机抽取2名学生的所有基本事件，从中找到2名学生均为女生的基本事件 个数，报据古典概型概率公式可求得结果.【详解】（1）设从该班男生、女生中抽取的人数分别为*，）.则a = Ax27 = 3, 43y = x 18 = 245.从该班男生、女生中抽取的人数分别为3, 2（2）记参加活动的3名男生分别为2名女生分别为 则随机抽取2名学生的所有基本事件为：（02），（62），（03），（4），（么，&2），共 10 个 记“2名学生均为女生”为事件A，则事件A包含的基本事件只有I个：（A.b2）【点睛】本题考查分层抽样、古典概型概率问题的求解；解决古典概型的常用方法为列 举法，通过列举得到所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，进而根据古典概型概率公式求得结果.己知函数/*(x) =