3.1.1 函数的概念（含2课时）-2022-2023学年高一数学课件人教A版2019必修第一册

1、章导语天宫二号离发射点的距离与时间的关系；蓄水池使用时水面高度与使用时间的关系；高铁票价与路程的关系；炮弹的射高与时间的关系；受台风影响的面积与半径的关系；变量间的对应关系函数模型把握研究对象的运动变化规律已学的函数模型：必修第一册第三章 函数的概念与性质3.1.1函数的概念(1)一、回顾与思考一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，就说y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。1.初中学习的函数概念是什么？如：正方形的周长l与边长x的关系式是l=4x， 对于每一个确定的x，都有唯一的l与之对应，l是x的函数.变量间的依赖关系集合与对应

2、关系二、剖析实例 抽象函数概念问题1.某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内,列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t(单位:h)的关系可以表示为S=350t.思考1.1:有人说“根据对应关系S=350t,这趟列车加速到350km/h后,每运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗?t和S是两个变量，且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，故S是t的函数此说法错误。理由：没有注意t的变化范围。根据问题1的条件,不能判断列车以350km/h运行半小时后的情况.思考1.2:如何用更精确的语言来描述列车行进路程S与运行时间t的关系？二、剖析实

3、例 类比归纳问题1.某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内,列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t(单位:h)的关系可以表示为S=350t.t和S是两个变量，且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，故S是t的函数思考1.2:如何用更精确的语言来描述列车行进路程S与运行时间t的关系？对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系，在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应S与t的关系是：S=350t 其中，t的变化范围是数集A1=t|0t0.5， S的变化范围是数集B1=S|0S175.二、剖析实例 类比归纳问题2.某电气维修公司要求工人每周工作至少1

4、天,至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元,而且每周付一次工资,那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资?一个工人的工资w(单位:元)是他工作天数d的函数吗?则工资w是一周工作天数d的函数,其对应关系是_ 其中，d的变化范围是数集A2=_， w的变化范围是数集B2=_.且对于数集A2中的任一个工作天数d ，按照对应关系，在数集B2中都有唯一确定的工资w和它对应w=350d1,2,3,4,5,6350,700,1050,1400,1750,2100二、剖析实例 类比归纳S与t的关系是：S=350t t的变化范围是数集A1=t|0t0.5,S的变化范围是数集B1=S|0S175.w

5、与d的关系是：w=350d d的变化范围是数集A2=1,2,3,4,5,6,w的变化范围是数集B2=350,700,1050,1400,1750,2100.思考2：问题1、2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗?为什么?S=350t和w=350d不是同一个函数，因为t与d的取值集合不同.二、剖析实例 类比归纳问题3.下图是北京市某日的空气质量指数(简称AQI)变化图.思考3.1：如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数的值I?思考3.2：你能根据该图找到中午8时的 AQI的值吗?思考3.3：你认为这里的I是t的函数吗？t=8时,I=50对于数集A3=_的任一时刻t，按

6、照图中曲线给定的对应关系，在数集B3=_中都有唯一确定的工资w和它对应故I是t的函数.I|0I150t|0t24二、剖析实例 类比归纳问题4.国际上常用恩格尔系数r(r=食物支出金额/总支出金额)反映一个地区人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况,从中可看出该省城镇居民生活质量越来越高.对于数集A4=_的任一年份y，按照表格给定的对应关系，在数集B4=_中都有唯一确定的工资w和它对应故r是y的函数.年份y2006200720082009201020112012201320142015恩格尔系数r(%)36.6936.8138.1735.693

7、5.1533.5333.8728.8929.3528.57思考5：你认为按上表给出的对应关系,恩格尔系数r是年份y的函数吗?如果是,你会用怎样的语言来刻画这个函数?yZ|2006y2015r|00， f：x y=|x| （2）A=Z，B=Z， f：x y=x2（3）A=Z，B=Z， f：x （4）A=Z，B=Z， f：x （5）A=R，B=0， f：x y=0 y=|x|B=x|x0值域为Nx=0 x=2六、概念辨析函数的概念(定义法)【例2】判断下列式子能否表示y是x的函数.y=|x| |y|=x y=x2 y2=x x2+y2=1 x=1,y=1x=0,y=1x=1,y=1六、概念辨析函数

8、的概念(平移法)0 xy2210 xy21210 xy2120 xy2121【例3】设A=x|0 x2, B=y|1y2.下图表示从A到B的函数是( )ADCBD【例4】下列图象具有函数关系的是_和_.AEoxyACBExyoD1-1oxy1xo1oxy六、概念辨析函数的概念P64定义域为1,2,3,4,5值域为2,3,4,5对应关系f如Venn图所示七、函数的统一性和多样性y=kxs=vtm=Vl=2r实际问题函数模型抽象还原函数的发展历程Eluer(欧拉)1748一个变量的函数是由这个变量和一些数以任何方式组成的解析式。在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值

9、可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。Cauchy(柯西)解析式定义变量间的依赖关系只须有一个法则存在，以使得这个函数取值范围中的每一个值，都只有一个确定的值和它对应。Dirichlet(狄利克雷)集合和对应的观点函数：清代数学家李善兰、翻译代数学时把“function”译为“函数”.“凡式中含天,为天之函数”天、地、人、物表示4个不同的未知数或变量。即:凡式中含有变量x,则该式叫做x的函数”小结1.函数概念：设A、B为非空实数集，若对于A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在B中都有唯一确定的数y和它对应，则称 f :AB为从集合A到集合B的一个函数，记作： y

10、=f (x), xA.“f (x)”可以表示函数值，也可以表示函数.f (3)=1f (x)=x+1 函数的三要素：定义域、对应关系、值域.若两个函数的_相同，则它们为同一个函数.定义域、对应关系、值域引例已知f(x)=x2+1, x2,+)，则值域必为_ 已知g(t)=t2+1, x2,+)，则值域必为_5,+)5,+)值域由定义域、对应关系唯一确定.应用：判断函数相等求函数值求函数的定义域求函数的值域3.1.1函数的概念(2)一、求函数值(一)求函数值“由里往外”逐层求值.(一)求函数值(二)函数相等若两个函数的定义域和对应关系相同，则它们为同一个函数.(两个函数相等)(与字母无关)对应关

11、系相同,定义域不同思考：定义域和值域都相同的两个函数是否一定相等？如：“y=x+1”与“y=2x”的定义域、值域均为R，但对应关系不同.对应关系相同,定义域不同2,+)(-,-22,+)Rx|x0(二)函数相等 f (x)=xx|x0f(x)=xy|y0Rf(u)=uRRg(x)=|x|y|y0n|n0f(n)=nm|m0不是是不是不是(三)求函数的定义域(具体函数)R(-,-22,+)x|x2x|x2x|x0且x-2多个区间用“”连接若已给出函数解析式但无指明其定义域，则定义域默认为使解析式有意义的自变量的取值集合。不能先约分若a0，则a0=1x|x-2或x2(-,-2)(-2,0)(0,+

12、)(三)求函数的定义域(具体函数)注：若f(x)由几部分的式子构成，则其定义域为使各部分同时有意义的数的集合。(即求交集) 若f(x)为实际问题中的函数，则定义域要符合实际意义。 (如：大于0，取整数)函数f(x)所含结构求定义域时注意事项举例整式或奇次根式分式偶次根式零次幂g(x)0(2x+1)0见函数先求定义域！定义域通常为R分母不为0不可先约分后求定义域根号内大于等于0g(x)0【例】(单位:cm)设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积S关于x的函数解析式，并写出定义域. (三)求函数的定义域(具体函数)(三)求函数的定义域(抽象函数)a0,4t+10,4t-1,3同一题目中,

13、同一对应关系f作用的整个对象的取值范围相同.a-20,4任何函数的定义域均指自变量的取值范围.引例中, f(x)的定义域是指x的范围； f(x+1)的定义域是指x的范围. f(a-2)的定义域是指a的范围.只是用同一字母来表示两个函数的自变量，范围可能不同.两个“x”不同x-1,3a2,6x+10,4f作用对象的范围：函数的定义域：(三)求函数的定义域(抽象函数)f(x)f(x+1)定义域(自变量的范围)同一f作用对象的范围0 x10 x10 x+111x0-1,0例解:f(x)的定义域为0,1,即0 x1；对于f(x+1)有0 x+11,解得1x0.f(x+1)的定义域为1,0变式4已知f(x)的定义域为-2,4，则g(x)=f(x)+f(-x)的定义域是_.22,3-2,-1+-2,-1)-2,2Key：同一f作用对象的范围(四)求函数值域的方法1.观察法(四)求函数值域的方法2.配方法(二次函数型)(四)求函数值域的方法3.分离常数法1.适用于分子分母均含变量的分式2