不等式证明的基本方法专题

1、不等式和绝对值不等式一、不等式1、不等式的基本性质：、对称性：abba传递性：a,cac、ab,cR,a+cb+c、ab,c0,那么acbc；ab,c0，那么acb0,cd0那么，acbd、ab0,那么anbn.（条件nN，n2）、ab0那么（条件nN,n2）2、基本不等式定理1如果a,bR,那么a2+b2三2ab.当且仅当a=b时等号成立。定理2（基本不等式）如果a，b0，那么a2bOob当且仅当a=b时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均数。结论：已知x,y都是正数。（1）如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2Q；1（2）如果和x+y是定值s，那么当x=y时

2、，积xy有最大124小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时，一定要满足“一正二定三相等，的条件。3、三个正数的算术-几何平均不等式定理3如果a,b,cR.，那么abCVObC当且仅当abc时，等号成立。即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。把基本不等式推广到一般情形：对于个正数，1a，,a,它们的算术平均不小于它们的几何平均，2n即：aa|a.-2nn：aaa,n112n当且仅当aa时，等号成立。12n二、绝对值不等式1、绝对值三角不等式实数a的绝对值lai的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，

3、那么la-bl的几何意义是A、B两点间的距离。定理1如果a,b是实数，则la+bIWIal+lbl,当且仅当abN0时，等号成立。(绝对值三角不等式)如果a,b是实数，那么lal-IbIWIabIWIal+Ibl定理2如果a,b,c是实数，那么la-cIWIa-bl+Ib-cI,当且仅当(a-b)(b-c)三0时，等号成立。2、绝对值不等式的解法(1)lax+blWc和原+旧三0)型不等式的解法：换元法：令t=ax+b,转化为ltlWc和ltlNc型不等式，然后再求x,得原不等式的解集。分段讨论法：Oxb0IOxlib0laxblBc(c0).或*xbc|paxlib)claxb0廿laxli

4、b0laxblBc(c0).或laxbc|paxlib)c不等式证明的基本方法比较法是证明不等式的最基本最常用的方法，可分为作差比较法和作商比较法。1、作差比较法常用于多项式大小的比较，通过作差变形(分解因式、配方、拆、拼项等).判断符号(判断差与0的大小关系)-得结论(确定被减式与减式的大小.理论依据：门一上00门&；门一BOo仃cb；门一七二00口=小一般步骤：第一步：作差；第二步：变形；常采用配方、因式分解等恒等变形手段；第三步：判断差的符号；就是确定差是大于零，还是等于零，小于零如果差的符号无法确定，应根据题目的要求分类讨论.第四步：得出结论。注意：其中判断差的符号是目的，变形是关键。

5、2、作商比较法常用于单项式大小的比较，当两式同为正时，通过作商7变形(约分、化简)7判断商与1的大小得结论(确定被除式与除式的大小).理论依据：“法；“法；基本步骤:第一步：判定要比较两式子的符号第二步：作商第三步：变形；常采用约分、化简等变形手段；第四步：判定商式大于1或等于1或小于1。如果商与1的大小关系无法确定,应根据题目的要求分类讨论.第五步：得出结论。注意：作商比较法一般适合含“幂”、“指数”的式子比较大小。知识点二：分析法分析法是从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立，或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的

6、一种方法.思维过程：“执果索因”.证明格式：要证，只需证，只需证，因为成立，所以原不等式得证。适用题型：当所证的不等式的结论与所给条件间联系不明确，常常采用分析法证明不等式。知识点三：综合法综合法是从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题。思维过程：“执因索果”适用题型：当所证的不等式的条件形式或不等式两端的形式与不等式的性质、定理有直接联系时，常常采用综合法证明不等式.知识点四：反证法反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设

7、的结论不成立，从而原来的结论正确。适用题型：适合证明“存在性问题、唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.理论依据：命题“p”与命题“非p”一真、一假。注意：反证法解题的实质是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确。在否定结论时，其反面要找对、找全.知识点五：放缩法放缩法是指在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当的放大（或缩小），以此来简化不等式，达到证明的目的。理论依据：不等式的传递性：ab,bc=ac，找到不等号的两边的中间量，从而使不等式成立。注意：应用放缩法时，放大（缩小）一定要适当。规律方法指导|1、不等式证明的常用方法：比较法，综合法，分析法，反

8、证法，放缩法，换元法等。、反证法的证明步骤：否定结论：假设命题的结论不成立，即结论的反面成立；推出矛盾：由结论反面成立出发，通过一系列正确的推理，导出矛盾;否定假设：由正确的推导导出了矛盾，说明假设不成立；肯定结论：原命题正确。、放缩法的常用技巧：在恒等式中舍掉或者加进一些项；在分式中放大或缩小分子或分母；例如：XkE应用函数的单调性、有界性等性质进行放缩；例如：f(x)为增函数，则f(x-1)f(x)+白二b均为正数，且aWb)思路点拨：(1)中不等号两边是关于a,b,c的多项式，作差后因式分解的前途不大光明，但注意到如a2,b2,ab这样的结构，考虑配方来说明符号；(2)中作差后重新分组进

9、行因式分解。证明：(1)(婿+-=+2e2-2ah-2be-2ac)=y+卡+已5W0当且仅当a=b=c时等号成立，/+*+1兰区+加+.(当且仅当a=b=c取等号).(2)二十西)=d-a2b)+(b3-ab2)=-口)=g-b2)=g+切g,/a0,b0,aWb,.a+b0,(a-b)20,，总结升华：作差，变形(分解因式、配方等)，判断差的符号，这是作差比较法证明不等式的常用方法。举一反三：【变式1】证明下列不等式：(1)a2+b2+2三2(a+b)(2)a2+b2+c2+3三2(a+b+c)(3)a2+b2三ab+a+b-1【答案】(a2+b2+2)-2(a+b)=(a2-2a+1)+

10、(b2-2b+1)=(a-1)2+(b-1)2三0a2+b2+2三2(a+b)(2)证法同(1)2(a2+b2)-2(ab+a+b-1)=(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2三0.2(a2+b2)三2(ab+a+b-1),即a2+b2三ab+a+b-1【变式2】已知a,b*,x,y*，且a+b=1,求证：ax2+by2三(ax+by)2【答案】ax2+by2-(ax+by)2=ax2+by2-a2x2-b2y2-2abxy=a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy=abx2+aby2-2abxy=ab(x-y)2三0ax

11、2+by2三(ax+by)22、用作商比较法证明下列不等式：(1)厘+处”(a,b均为正实数，且aWb),、a4bbcc(abc)3,+厂一十(2)(a,b,c，且a,b,c互不相等)证明：(1)Va3+b30,a2b+ab20.31+iab，31+iab，：a,b为不等正数，白5三+占,一（3启+方。（章一占尸+（35+ababa3+七三a2b-Vab2（2）证明：不妨设abc,则x-I.（2）证明：不妨设abc,则x-I.1.-X所以，总结升华：当不等号两边均是正数乘积或指数式时，常用这种方法，目的是约分化简.作商比较法的基本步骤:判定式子的符号并作商.变形判定商式大于1或等于1或小于17

12、结论。举一反三：【变式1】已知a2，b2，求证：a+b2,b2111111r,-i-1.a2b2,ababab1BPa-l-b0,b0,.aabb与abba均为正，.分尸,分类讨论可知（分ab0,a=b0,0a1当且仅当a=b1当且仅当a=b等号成立，；.aabbNabba.3、a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc证明：法一：由b2+c2三2bc,20,得a(b2+c2)三2abc,同理b(c2+a2)三2abc,c(a2+b2)三2abca,b,c不全相等，.上述三个等号不同时成立，三式相加有：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(

13、a2+b2)6abc.法二：二飞，b,c是不全相等的正数，/.a(b2+c2),b(c2+a2),c(a2+b2)均为正数，由三个数的平均不等式得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)+c2yb(c2+b2)3a(2hc)h(2cayc(2ah)=3(2abc)3=3-2abe=不等式成立.总结升华：综合法是由因导果，从已知出发，根据已有的定义、定理，逐步推出欲证的不等式成立。举一反三：am【变式1】a,b,m区+,且ab,求证：十命【答案】0a0,/.ambm,；.am+abbm+ab,即a(b+m)0,.【变式2】求证lg9,lg110,lg110,上Ed,口1=等W7ig

14、5-gni,Alg9-lg113.a十3.,4一(a-b)b4、右ab0,求证：思路点拨：不等号左边是一个各项皆正的“和的形式”，但左侧是两项而右侧都出现了特征数“3”.因此启发我们将左侧拆成3项的和利用平均值定理.,(ah)h,ab0,Z.a-b0,b0,(ab)b叶”(ab)b叶”=3a4-3ah=h=(abb(ab)h(当且仅当，即a=2,b=1的等号成立)举一反三:【变式】x,y,z【变式】x,y,zR+,求证:工+331xyz0证明：:x,y,zR+,Z同理同理之33平丝=95、已知a,b05、已知a,b0,且2ca+b,求证：、十口口-Vc2-abac+Vc2-ab证明：要证小、T

15、-Jc2-aba-cJc2-ab只需证：a-cyicas即证：,a2-2ac+c2c2-ab,即证a2+ab0,只需证a+ba2b+ab2(a,b均为正数，且aWb)【答案】要证a3+b3a2b+ab2，即证(a+b)(a2+b2-ab)三ab(a+b)a+b0只需证a2+b2-ab三ab,只需证a2+b2三2ab只需证(a-b)2三0,V(a-b)20显然成立所以原不等式成立。aam【变式2】a,b,mR+,且a0且b+m0,aam.&b+mab+hmambm由已知a.ambm,.成立【变式3】求证：而十石【答案】要证有十62#,只需证1O+ZJ万20,只需证2#T1,b1,c1,ab=10

16、求证：logac+logbC4lg【答案】管十费以要证logac+logbc三4lgc,只需证1只需证电皿，只需证CW.U-3)ig-4“成立.U-3)ig-4“成立所以原不等式成立【变式5】设x0,y0,xWy,求证:(k32-l-y2)2Cx3H-y5V2+y2-)证明：要证，只需证审寸口*/十2一寸)口只需证23(x-y)2-Mxy0只需证因x0,y0,乂丫，所以x2y23(x-y)2+4xy0成立g、|恒.后苗货户所以TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark108 6、已知a,b,c(0,1),求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,至少有一个不大于

17、。二-思路点拨：此题目若直接证，从何处入手？对于这样正面情况较为复杂的问题，可以考虑使用反证法。证明：假设原结论不成立，即44，口一疗415纭(1一司色则三式相乘有：84口41加。-？+方=) HYPERLINK l bookmark112 又.0a,b,c0，ab+bc+ca0，abc0，求证：a,b,c0【答案】假设aW0若aO,Abc0,则b+c-a0；.ab+bc+ca=a(b+c)+bc0矛盾，必有a0同理可证：b0,c07、若a,b,c,deR+,求证：It7、若a,b,c,deR+,求证：Itabcd11+m+=2a+ba+bc+d.d+c1m2,即原式成立。a亡aH-c总结升华

18、：证后半部分，还可用“糖水公式”，即+da+b+日十0进行放缩。常用的放缩技巧主要有：f(x)为增函数，则f(x-1)f(x)f(x+1)；分式放缩如网H)/根式放缩如而后工点+i举一反三：111十一十HTTOC o 1-5 h z【变式1】求证：1/3【答案】1111II211(111)11111 HYPERLINK l bookmark116 U=-一II211(111)111111+1+-T+=22时，求证：logn(n-1)logn(n+1)2,Alogn(n-1)0,logn(n+1)0,logn(n-l)lognCn+l)它log”(口-1)+13+1)产/.n2时，logn(n-1)logn(n+1)2,b2,求证：a+bab匠证明：令y=f(a)=a+b-ab=(1-b)a+b,1-b2时，f(a)f(2)=2-b0；.a+bab总结升华：不等式证明方法很灵活。分析不等式的结构特点，构造函数，借助函