高等数学方明亮43分部积分法课件

1、新课引入(Introduction)在前一节，我们利用复合函数的求到法则得到了“换元积分法” 。但是，对于形如的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算. 注意到，这些积分的被积函数都有共同的特点都是两种不同类型函数的乘积。这就启发我们把两个这就是另一个基本的积分方法：分部积分法. 函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，9/26/20221新课引入(Introduction)在前一节，我们利用复合函积分得:分部积分公式或1) v 容易求得 ;容易计算 .由导数乘法公式：9/26/20222积分得:分部积分公式或1) v 容易求得 ;容易计算 .由第三节 分部积分法 第四章 （Integra

2、tion by Parts）例1 求解: 令则 原式另解: 令则 原式9/26/20223第三节 分部积分法 第四章 （Integration b解: 令则原式 =例2 求（课本 例3）9/26/20224解: 令则原式 =例2 求（课本 例3）9/24/202解: 令则 原式例3 求（课本例4）9/26/20225解: 令则 原式例3 求（课本例4）9/24/202解: 令, 则 原式再令, 则故 原式 =说明: 也可设为三角函数 , 但两次所设类型必须一致 . 例4 求（课本例7）9/26/20226解: 令, 则 原式再令, 则故 原式 =说把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指

3、三” 的顺序,前者为 后者为例5（补充题）求解: 令, 则原式 =反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数解题技巧:（自学课本例56）9/26/20227把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的顺序,解: 令, 则原式 =例6（补充题）求9/26/20228解: 令, 则原式 =例6（补充题）求9/24/20228解: 令则原式令例7（课本 例10）求9/26/20229解: 令则原式令例7（课本 例10）求9/24/20229解: 令则得递推公式例8 求（课本 例9）9/26/202210解: 令则得递推公式例8 求（课本 例9）9/24/202递

4、推公式已知利用递推公式可求得例如,说明:9/26/202211递推公式已知利用递推公式可求得例如,说明:9/24/2022分部积分题目的类型:1) 直接分部化简积分 ;2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C )例43) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .说明:9/26/202212分部积分题目的类型:1) 直接分部化简积分 ;2) 分部的一个原函数是求解:说明: 此题若先求出再求积分反而复杂.例9 已知（补充题）9/26/202213的一个原函数是求解:说明: 此题若先求出再求积分反而复杂.解法

5、1 先换元后分部令即则故例10 求（补充题）9/26/202214解法1 先换元后分部令即则故例10 求（补充题）9/解法2 用分部积分法9/26/202215解法2 用分部积分法9/24/202215本节小结分部积分公式1. 使用原则 :易求出,易积分2. 使用经验 :“反对幂指三” , 前 u 后3. 题目类型 :分部化简 ;循环解出;递推公式9/26/202216本节小结分部积分公式1. 使用原则 :易求出,易积分2. 使课后练习习题4-3 （偶数题）思考与练习1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?得 0 = 1答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .9/26/202217课后练习习题4-3 （偶数题）思考与练习1. 下述运2. 求不定积分解：方法1(先分部 , 再换元)令则9/26/2022182. 求不定积分解：方法1(先分部 , 再换元)令则9/24方法2(先换元,再分部)令则故9/26/202219方法2(先换元,再分部)令则故9/24/2022193