数理方程课件

1、第二章 分离变量法一、有界弦的自由振动二、有限长杆上的热传导三、拉普拉斯方程的定解问题四、非齐次方程的解法五、非齐次边界条件的处理六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论2022/9/261第二章 分离变量法一、有界弦的自由振动二、有限长杆上的热传基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。2022/9/262基本思想：适用范围：特点：2022/9/242

2、令带入方程：令带入边界条件1 求两端固定的弦自由振动的规律一 有界弦的自由振动2022/9/263令带入方程：令带入边界条件1 求两端固定的弦自由振动的规律一特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条 件下的求解问题特征（固有）值：使方程有非零解的常数值特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解分情况讨论：1）2）3） 令 ， 为非零实数 2022/9/264特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条 件下的2022/9/2652022/9/2452022/9/2662022/9/246分离变量求特征值和特征函数求另一个函数求通解确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏

3、微分方程。 2022/9/267分离变量求特征值和特征函数求另一个函数求通解确定常2 解的性质 x=x0时：其中：驻波法 t=t0时：2022/9/2682 解的性质 x=x0时：其中：驻波法 t=t0时：202例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。解：2022/9/269例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移2022/9/26102022/9/24102022/9/26112022/9/24112022/9/26122022/9/2412弦的振动振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,3时的驻波。202

4、2/9/2613弦的振动振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,解：例2求下列定解问题2022/9/2614解：例2求下列定解问题2022/9/24142022/9/26152022/9/24152022/9/26162022/9/2416初始条件2022/9/2617初始条件2022/9/2417若l=1,a=10时的震动。2022/9/2618若l=1,a=10时的震动。2022/9/2418例3 求下列定解问题解：2022/9/2619例3 求下列定解问题解：2022/9/24192022/9/26202022/9/24202022/9/26212022/9/24212022

5、/9/26222022/9/2422例4 求下列定解问题令带入方程：解：2022/9/2623例4 求下列定解问题令带入方程：解：2022/9/24232022/9/26242022/9/24242022/9/26252022/9/24252022/9/26262022/9/24262022/9/26272022/9/2427二 有限长杆上的热传导令带入方程：解：2022/9/2628二 有限长杆上的热传导令带入方程：解：2022/9/242022/9/26292022/9/24292022/9/26302022/9/2430令2022/9/2631令2022/9/2431令带入方程：令例5

6、求下列定解问题解：2022/9/2632令带入方程：令例5 求下列定解问题解：2022/9/2432022/9/26332022/9/24332022/9/26342022/9/2434例6 求下列定解问题解：2022/9/2635例6 求下列定解问题解：2022/9/24352022/9/26362022/9/2436么么么么方面Sds绝对是假的么么么么方面Sds绝对是假的2022/9/26382022/9/2438若 则u为多少？为什么会出现这样的现象？思考2022/9/2639若 则u为多少？为什么会出现这样的现象？思若有界杆上的热传导（杆的两端绝热）2022/9/2640若有界杆上的热

7、传导（杆的两端绝热）2022/9/2440分离变量流程图2022/9/2641分离变量流程图2022/9/2441三 拉普拉斯方程的定解问题1 直角坐标系下的拉普拉斯问题解：2022/9/2642三 拉普拉斯方程的定解问题1 直角坐标系下的拉普拉斯问2022/9/26432022/9/24432022/9/26442022/9/24442022/9/26452022/9/2445例7 求下列定解问题解：2022/9/2646例7 求下列定解问题解：2022/9/24462022/9/26472022/9/24472022/9/26482022/9/24482022/9/26492022/9/2

8、449例8 求下列定解问题解：2022/9/2650例8 求下列定解问题解：2022/9/24502022/9/26512022/9/24512022/9/26522022/9/24522 圆域内的拉普拉斯问题2022/9/26532 圆域内的拉普拉斯问题2022/9/2453欧拉方程例9 求下列定解问题解：2022/9/2654欧拉方程例9 求下列定解问题解：2022/9/2454欧拉方程 令2022/9/2655欧拉方程 令2022/9/24552022/9/26562022/9/2456例10 求下列定解问题解：2022/9/2657例10 求下列定解问题解：2022/9/2457欧拉方

9、程 令2022/9/2658欧拉方程 令2022/9/2458其它为零2022/9/2659其它为零2022/9/2459例12 求下列定解问题解：2022/9/2660例12 求下列定解问题解：2022/9/24602022/9/26612022/9/2461欧拉方程 2022/9/2662欧拉方程 2022/9/2462其他为零2022/9/2663其他为零2022/9/2463例13 求下列定解问题解：2022/9/2664例13 求下列定解问题解：2022/9/24642022/9/26652022/9/24652022/9/26662022/9/2466例13 求下列定解问题解：2022/9/2667例13 求下列定解问题解：2022/9/24672022/9/26682022/9/24682022/9/26692022/9/2469例14 求下列定解问题解法一：令2022/9/2670例14