张晓峒1讲-季节ARIMA模型

1、PAGE 2PAGE 32第1讲 季节时间序列（SARIMA）模型1时间序列（ARIMA）模型回顾时间序列分析方方法由Boxx-Jenkkins (1976) 年提出。它它适用于各种种领域的时间间序列分析。时间序列模型不不同于经济计计量模型的两两个特点是：（1）这种建模模方法不以经经济理论为依依据，而是依依据变量自身身的变化规律律，利用外推推机制描述时时间序列的变变化。（2）明确考虑虑时间序列的的非平稳性。如如果时间序列列非平稳，建建立模型之前前应先通过差差分把它变换换成平稳的时时间序列，再再考虑建模问问题。时间序列模型的的应用：（1）研究时间间序列本身的的变化规律（何何种结构，建建立模型，有

2、有无确定性趋趋势，有无单单位根，有无无季节性成分分）。（2）在回归模模型的预测中中首先预测解解释变量的值值。（3）非经典经经济计量学的的基础知识之之一。滞后算子与差分分算子滞后算子：表示示时间滞后的的算子，常用用L或B表示。例，Lxt = xt- 1，Ln xt = xt- n 。差分：时间序列列变量的本期期值与其滞后后值相减的运运算叫差分。表表示差分运算算的算子称作作差分算子，常常用或D表示。差分分为一阶差差分和高阶差差分，一次差分和高次差分。例，一阶差分 xt = xt - xt -1 = xt - L xt = (1- L) xt。例，高阶差分kk xt = xt - xt -k = x

3、t Lk xt = (1- Lk ) xt。 例，二二次差分xt = (1- L ) 2 xt = (1 2L + L 2 ) xt = xt 2 xt-1+ xt2。高阶差分常用于于季节性数据据的差分，如如季度数据的的4阶差分、月度度数据的122阶差分等。滞后算子与差分分算子可以直直接参与运算算。滞后算子有如下下性质。（1）常数与滞滞后算子相乘乘等于常数。Lc = c（2）滞后算子子适用于分配配律。(Li + Lj) xt = Li xt + Lj xt = xt -i+ xt j（3）滞后算子子适用于结合合律。Li Lj xt = Li+ j xt = xt -ij, (Lj)2xt =

4、Lj Lj xt = L2 j xt = xt2 j（4）滞后算子子的零次方等等于1。L0 xt = xt（5）滞后算子子的负整数次方意味着超前。L-i xt = xt+i中文对时间前后后的描述混乱乱。 以前，从前前，前年，滞滞后 现在在 以后，今今后，后年，超超前 时时间 baackwarrd, lagg, now, leaad, forwaard,几种典型的随机机过程1白噪声（wwhite noisee）过程对于随机过程 xt , tT , 如如果E(xt) = 00, Varr (xt) = 22 , tT; Covv (xt, xt + k) = 0, (tt + k ) T , k

5、0 , 则称xt为白噪声过过程。2随机游走（rrandomm walkk）过程对于下面的表达达式 xt = xt -1 + ut 如果ut 为白白噪声过程，则则称xt 为随机游走走（随机游动动、随机漫游游）过程。3自回归过程程，AR(p)如果一个剔出均均值和确定性性成分的线性性过程可表达达为 xt = 1xt-1 + 2 xt-2 + + pp xt-p + ut , 其中i, i = 1, p 是自回归参数数，ut 是白噪声过过程，则称xxt为p阶自回归过过程，用AR(p)表示。xt是由它的p个滞后变量量的加权和以以及ut相加而成。4移动平均过过程，MA(q)如果一个剔出均均值和确定性性成分

6、的线性性随机过程可可用下式表达达xt = utt + 1 ut 1 + 2 ut -2 + + q ut q = (11 + 1L + 2 L2 + + q Lq) ut = L) ut其中 1, 2, , q是移动平均参数数，ut为白噪声过过程，则上式式称为q阶移动平均均过程，记为为MA(q) 。之所以以称“移动平均”，是因为xt是由q +1个ut和ut滞后项的加加权和构造而而成。“移动”指t的变化，“平均”指加权和。5自回归移动动平均过程，ARMA(p, q)由自回归和移动动平均两部分分共同构成的的随机过程称称为自回归移移动平均过程程，记为ARRMA(p, q), 其中p, q分别表示自自

7、回归和移动动平均部分的的最大阶数。ARMA(p, q) 的一般表达式是 xt = 1xt-1 + 2xt-2 + p xt-p + ut + 1ut-1 + 2 ut-2 + .+ q ut-q 即 (1 - 1L - 2 L2 - - p Lp ) xt = (1 + 1 L + 2 L2+ + q Lq ) ut或 (L) xt = (L) ut 其中 (L) 和 (L) 分别表示L的p, q阶特征多项项式。ARMA(p, q) 过程的平平稳性只依赖赖于其自回归归部分，即 (L) = 0的全全部根取值在在单位圆之外外（绝对值大大于1）。其其可逆性则只只依赖于移动动平均部分，即即 (L) =

8、 0的根根取值应在单单位圆之外。6单整（单积积）自回归移移动平均过程程，ARIMMA (p, d, q)考虑如下模型 (LL)d yt = (L) ut 其中(L) 是是一个平稳的的自回归算子子。即 (L) = 0 的根都都大于1。 (L)表示可逆的的移动平均算算子。 (L) = 0 的根都都大于1。则则称yt 为（p, d, q）阶单整(单积)自回归移动动平均过程，记记为ARIMMA (p, d, q)。其中 (L) d称为广义自回回归算子。Wold分解定定理：任何协协方差平稳过过程xt，都可以被被表示为xt - - dt = ut + 1 ut-1+ 2 ut-2 + + = 其中 表示x

9、tt的期望。dt 表示xt的线性确定定性成分，如如周期性成分分、时间t的多项式和和指数形式，虚虚拟变量等，可可以直接用xxt的滞后值预预测。0 = 1， 。ut为白噪声过过程。ut表示用xt的滞后项预预测xt时的误差。ut = xtt - E(xt xt-1, xt-2 , )称为xt的线性性非确定性成成分。当dt = 0时，称称xt为纯线性非确确定性过程。 对于一一般的（漂移移项非零）AARMA(pp,q)过程程， (L) xt = + (L) ut （11）xt的期望是E(xt) = E() +E(ut) = = 这就是漂移项与与均值的关系系所以（1）式也也可以写为， (L) (xt -)

10、 = (L) ut （2）任何漂移项非零零（含有确定定性成分）的的平稳过程都都可以通过对对该序列先退退均值（退确确定性成分）再再研究。均值值的大小并不不影响模型的的结构。所以以以零均值过过程研究模型型类型具有代代表性。2季节时间序序列模型在某些时间序列列中，存在明明显的周期性性变化。这种种周期是由于于季节性变化化（包括季度度、月度、周周度等变化）或或其他一些固固有因素引起起的。这类序序列称为季节节性序列。比比如一个地区区的气温值序序列（每隔一一小时取一个个观测值）中中除了含有以以天为周期的的变化，还含含有以年为周周期的变化。在在经济领域中中，季节性序序列更是随处处可见。如季季度时间序列列、月度

11、时间间序列、周度度时间序列等等。处理季节节性时间序列列只用以上介介绍的方法是是不够的。描描述这类序列列的模型之一一是季节时间间序列模型(seasoonal AARIMA modell)，用SARRIMA表示示。较早文献献也称其为乘乘积季节模型型（multtipliccativee seassonal modell）。设季节性序列（月月度、季度、周周度等序列都都包括其中）的的变化周期为为s，即时间间间隔为s的观测值有有相似之处。首首先用季节差差分的方法消消除周期性变变化。季节差差分算子定义义为， s = 1- Ls 若季节性时间序序列用yt表示，则一一次季节差分分表示为 s yt = (1- L

12、s) yt = yt - yt - s 对于非平稳季节节性时间序列列，有时需要要进行D次季节差分分之后才能转转换为平稳的的序列。在此此基础上可以以建立关于周周期为s的P阶自回归Q阶移动平均均季节时间序序列模型（注注意P、Q等于2时，滞滞后算子应为为(Ls)2 = L2s。 P (Ls) sDyt = Q (Ls) ut (22.60)对于上述模型，相相当于假定uut是平稳的、非非自相关的。当ut非平稳且且存在ARMMA成分时，则则可以把ut描述为 p (L) dut = q (L) vt (2.61)其中vt为白噪噪声过程，pp, q分别表示非非季节自回归归、移动平均算算子的最大阶阶数，d表示

13、ut的一阶（非非季节）差分分次数。由上上式得ut = p-1(L) -d q (L) vt (2.62)把 (2.622) 式代入 (2.60) 式，于是是得到季节时时间序列模型型的一般表达达式。 p(L) P(Ls) (dsDyt) = q(L) Q(Ls) vt (2.633)其中下标P, Q, p, q分别表示季季节与非季节节自回归、移动平均算算子的最大滞滞后阶数，dd, D分别表示非非季节和季节节性差分次数数。上式称作作 (p, d, q) (P, D, Q)s 阶季节时间间序列模型或或乘积季节模模型。保证（dsDyyt）具有平稳稳性的条件是是p(L)P(Ls) = 0的的根在单位圆圆

14、外；保证（dsDyt）具有可逆性的条件是q (L)Q (Ls) = 0的根在单位圆外。当P = D = Q = 0时时，SARIMAA模型退化为为ARIMAA模型；从这个个意义上说，ARIMA模型是SARIMA模型的特例。当P = D = Q = p = q = d = 0时，SARIMA模型退化为白噪声模型。 (1, 1, 11) (11, 1, 1)12 阶月度SARIMAA模型表达为为 (1- 1 L) (1- 1 L12) 12 yt = (1+1 L) (1+1 L12) vt 12 yt具具有平稳性的的条件是 1 1， 1 1， 12 yt具有可逆性性的条件是 1 1， 1 1。设

15、log(Ytt) = yt，变量 12 yt在EViewws中用DLOGG(Y,1,12)表示示（这样表示示的好处是EEViewss可以直接预预测到Y），上式的的EViewws估计命令令是 DLOG(YY,1,122) AR(1) SAR(112) MA(11) SMA(112) (0, 1, 11) (0, 1, 1)12 阶月度SARIMAA模型表达为为 12 yt = (1+ 1 L) (1+ 1 L12) vt (2.64)(2.64) 式的EViiews估计计命令是 DLOGG(Y,1,12) MA(11) SMA(12) 由(22.64) 式得 112 yt = (1+1 L) (

16、1+1 L12 ) vt = vt +1 L vt +1 L12vt + 1 1 L13vt = vvt +1 vt 1 +1 vt 12 + 1 1 vt 13 上式对应的EVViews估估计命令是DLOG(Y,1,12) MA(11) MA(122) MA(133)模型表达式是 12 yt = vt +1 vt 1 +12 vt 12 + 13 vt 13这是一个非季节节模型表达式式。以上两个个EViewws估计命令令是等价的，都都是估计MAA(13)模模型。注意：唯一不同同点是上式对对vt 13的系数13没有约束束，而对季节节模型来说，相相当于增加了了一个约束条条件，13 =1 1。进一

17、步化简 (yt yt - 12) = vt +1 vt 1 +1 vt 12 + 1 1 vt 13 yt yt - 12 = vt +1 vt 1 +1 vt 12 + 1 1 vt 13用于预测的模型型型式是 yt = yt -1 + yt - 12 yt 13 + vt +1 vt 1 +1 vt 12 + 1 1 vt 13 (2.655) 由季节节时间序列模模型的一般表表达式。 p(L) P(Ls) (dsDyt) = q(L) Q(Ls) vt (22.63)可写为 p(L) P(Ls) sD (dyt) = q(L) Q(Ls) vt *(L) dyt = *(L) vt 其中，

18、*(L) = p(L) P(Ls) sD，*(L) = q(L) Q(Ls)。从上式可以以看出SARIMAA模型(2.63)可以展开为为ARIMAA(p+PS+DS, d, q+QS) 模型。 对乘积积季节模型的的季节阶数，即即周期长度ss的识别可以以通过对实际际问题的分析析、时间序列列图以及时间间序列的相关关图和偏相关关图分析得到到。以相关图和偏相相关图为例，如如果相关图和和偏相关图不不是呈线性衰衰减趋势，而而是在变化周周期的整倍数数时点上出现现绝对值相当当大的峰值并并呈振荡式变变化，就可以以认为该时间间序列可以用用SARIMAA模型描述。 建立SSARIMAA模型，（1）首先要确确定d,

19、D。通过差分分和季节差分分把原序列变变换为一个平平稳的序列。令令 xt = dsD yt （2）然后用xxt 建立 p (L) P (Ls) xt = q (L) Q (Ls) vt模型。注意：（1）用对数的的季节时间序序列数据建模模时通常D不会大于11，P和Q不会大于33。（2）乘积季节节模型参数的的估计、检验验与前面介绍绍的估计、检检验方法相同同。利用乘积积季节模型预预测也与上面面介绍的预测测方法类似。3季节时间序序列建模案例例 案例11：（文件名：5b2c3）北京市1978:111989:12社会商商品零售额月月度数据（yyt，单位：亿元元人民币）曲曲线见图2.32，数据据见表2.33。

20、yt与时间呈指指数关系且存存在递增型异异方差。对数数的社会商品品零售额月度度数据（Lnn yt）曲线见图图2.33。Lnyyt与时间近似似呈线性关系系（异方差问问题也得到抑抑制）。 图2.32 yt 图2.33 LLnyt通过Lnyt的的相关图和偏偏相关图（见见图2.34）可以以看到Lnyyt是一个非平平稳序列（相相关图衰减很很慢）且Lnnyt与其12倍倍数的滞后期期存在自回归归关系。图2.34 LLnyt的相关图（下下）和偏相关关图（上）对Lnyt进行行一阶差分，得得Lnyt（图2.355）。图2.336是对Lnnyt进行2次一一阶差分的结结果，序列22Ln yt是过度差分序序列。从 Lny

21、t的相关图和和偏相关图（图2.37）可以看到，通过差分 Lnyt的平稳性得到很大改进，但与其12倍数的滞后期存在显著的自相关关系。 图2.35 Ln yt 图2.36 2Ln yt图2.37 Lnyt的相关图（下下）和偏相关关图（上）对Lnyt进行行一次季节性差分分（或12阶阶差分），得得 12 Lnyyt（图2.388）。从 122 Lnyt的相关图和和偏相关图（图2.39）可以看到 12 Lnyt仍然是非平稳的。 图2.38 12 Lnyyt，（EViiews：DDLOG(YY,0,12)） 图2.39 112 Lnyt的相关图（下下）和偏相关关图（上） 对Lnyt进行行一阶差分和和一阶季

22、节性性差分，得112 Lnyyt（见图2.40）。从xt 的相关图图和偏相关图图（见图2.41）可以看到122 Lnyt近似为一个个平稳过程。图2.40 12 Lnyyt = xt，（EViiews：DDLOG(YY,1,122)）图2.41 12 Lnyyt的相关图（下下）和偏相关关图（上） 建模11：用1978:111989:11期间数数据，估计yt 的 (1, 1, 1) (1, 11, 0)12阶季节时时间序列模型型，得结果如如下： (1+ 0.5924 L) (1 + 0.40933 L12) 12Lnyt = (1+0.47344 L) vt (2.666)(4.5) (5.4)

23、(1.9)R2 = 0.33, s.e. = 0.146, Q(36) = 15.5, 20.05(36-2-1) = 44EViews估估计命令是DLOG(Y,1,12) AR(1) SAR(122) MA(1)EViews输输出结果见图图2.42。注意：（1）仔细对照照（2.666）式和图22.42输出出结果，不要要把自回归系系数估计值的的符号写错。通通过自回归特特征根倒数-0.59可知，把表表达式中的算算子写作(1+ 0.5924 L)是正确的。通通过移动平均均特征根倒数数-0.47可知知，把表达式式中的算子写写作(1+0.47344 L) 是正确的的。（2）表达式中中，季节和非非季节因

24、子（特特征多项式）之之间是相乘关关系。 （3）在在EViewws估计命令令中把变量写写作DLOGG(Y,1,12)的好好处是可以直直接对yt和12 Lnyt预测。（4）以上EVViews估估计命令为例例，如果命令令中没有ARR(1)项，那那么SAR(12) 项项的输出结果果将变为ARR(12)，为为什么？模型残差序列的的相关与偏相相关图如图22.43。图2.42 EViewws估计结果果 图22.43模型型残差序列的的相关与偏相相关图对于12 Lnnyt来，模型参参数全部有显显著性，Q(36) = 15.5 20.05(36-2-1) = 44。两两种检验通过过。见输出结结果（2.442），对

25、于于12 Lnyt，模型共有有14个特征征根。 图2.44 DD12DLnyyt的实际与静态态预测序列 图2.445 yt的实际与静态态预测序列 图2.44 DD12DLnyyt的实际与动动态预测序列列 图22.45 yt的实际与动动态预测序列列对1989年第第12月份yyt进行样本外外1期预测，结结果如图2.46。 图2.466 EViiews预测测结果 图图2.47 19899年第12月月份（样本外外1期）预测测评价预测误差是 = 0.076建模2：进一步步分析12 Lnyt的相关图和和偏相关图，也也可以建立成成一个纯季节节移动平均模模型。用1978:111989:12期间数数据得(0,

26、1, 1) (0, 1, 1)12 季节乘积模型型EViewws估计结果果如下，图2.41 12 Lnyyt的相关图（下下）和偏相关关图（上） 12 Lnyt = (1- 0.355 L) (1 - 0.661 L12) vt (22.67)(- 4.4) (- 9.1) R2 = 0.36, DDW = 11.86, F = 711.9, ss.e. = 0.0338, Q(36) = 21.888, 20.05 (366-2) = 44模型参数全部有有显著性，QQ(36) = 21.88 20.05 (36-22) = 44。两两种检验通过过。上式变换换为， Ln yyt Lnnyt -

27、12 = vt - 0.335 vt 1 - 0.61 vt 12 + 0.2135 vt 13 Lnyt = Lnyt -1 +Ln yyt - 12 Lnyt 13 + vt - 0.335 vt 1 - 0.61 vt 12 + 0.2135 vt 13 (2.68)（2.67）式式也是一个可可以选用的模模型。 表2.3 北京京市社会商品品零售额（yyt）月度数据据（单位：亿亿元人民币，1978:11989:12）年：月yt年：月yt年：月yt年：月yt年：月yt1978:011134.31980:066168.21982:111205.81985:044343.41987:099499

28、.51978:022119.41980:077163.51982:122248.21985:055341.21987:100505.21978:033128.31980:088161.61983:011243.21985:066346.01987:111518.71978:044126.41980:099172.91983:022217.51985:077329.91987:122617.91978:055128.81980:100166.51983:033226.21985:088328.11988:011570.71978:066127.81980:111175.21983:044223.

29、51985:099358.21988:022561.31978:077121.11980:122197.71983:055221.01985:100358.41988:033570.41978:088118.41981:011212.11983:066220.51985:111376.61988:044567.91978:099125.71981:022177.91983:077205.81985:122451.01988:055570.91978:100123.61981:033182.91983:088206.91986:011412.01988:066603.91978:111128.5

30、1981:044184.21983:099218.81986:022374.51988:077591.81978:122145.21981:055184.01983:100216.01986:033390.01988:088636.21979:011164.71981:066182.41983:111235.01986:044387.01988:099674.51979:022126.21981:077175.61983:122282.01986:055389.81988:100647.71979:033143.71981:088172.01984:011268.41986:066397.71

31、988:111640.51979:044143.71981:099184.91984:022227.61986:077381.41988:122804.21979:055145.51981:100184.71984:033248.61986:088386.91989:011694.31979:066143.71981:111195.11984:044247.01986:099429.81989:022673.81979:077138.41981:122224.81984:055249.91986:100428.81989:033718.71979:088136.71982:011233.619

32、84:066253.11986:111444.41989:044690.31979:099145.51982:022182.01984:077245.51986:122527.71989:055676.61979:100150.71982:033206.61984:088249.61987:011478.31989:066665.81979:111149.01982:044202.21984:099272.31987:022442.41989:077642.21979:122164.71982:055201.71984:100278.71987:033461.41989:088638.9198

33、0:011190.31982:066202.61984:111299.41987:044458.21989:099674.11980:022174.91982:077192.81984:122366.31987:055458.21989:100652.71980:033163.21982:088186.21985:011364.81987:066468.51989:111641.91980:044168.41982:099199.31985:022349.11987:077454.51989:122734.11980:055168.61982:100198.21985:033359.11987

34、:088458.9 案例22 香港季节节GDPt数据的拟合合（季节时间间序列模型，ffile：HHongKoong）1980:12002:4年香港季度GDPt序列曲线见图图2.27（数数据见表2.4，单位：港元）。198019997年GDPt随时间呈指数数增长。19997年由于于遭受东南亚亚金融危机的的影响，经济济发展处于停停滞状态，119982002年底GDPt总量几乎没没有增长。另另一个特征是是GDPt随时间呈递增增型异方差。所所以，用对数数的季度GDPt数据（LnGDPt，曲线见图图2.48）建立季节节时间序列模模型。 图2.47 GDPt 图2.488 LnGDDPt通过LnGDPPt

35、的相关图和和偏相关图（图图2.49）可以看看到LnGDPt是一个非平平稳序列（相相关图衰减得得很慢）。图2.49 LnGDPPt的相关图和和偏相关图对LnGDPtt进行一阶差差分，得 DDLnGDPt（见图2.50）。DLnGDPt的平稳性得得到很大改进进，但其季节节因素影响还还很大。从 DLnGDPt的相关图和和偏相关图（图图2.51）也也可以明显地地看到这个特特征。若对LLnGDPt直接进行一一次季节差分分（四阶差分分），得D4LnGDPt见图2.52。其其波动性也很很大。相关图图和偏相关图图见图2.53。D2LnGDPt显然是过度度差分序列（图图2.54）。 图2.50 DLnGDDPt

36、 ,（s.d. = 0.0622） 图2.51 DDLnGDPPt的相关图和和偏相关图 图2.552 D4LnGDPPt,（s.dd. = 00.076） 图2.53 D4LnGDPt的相关图和偏相关图 图2.54 D2LnGDPPt ,（s.d. = 0.0622） 在DLnGDPPt的基础上进进行一阶季节节差分，或在在D4LnGDPt基础上进行行一阶非季节节差分，得 D4DLnGDPt（图2.55）。其其相关图和偏偏相关图见图图2.56。D4DLnGDPt中已经基本本消除了季节节变化因素。在在D4DLnGDPt的基础上建建立时间序列列模型。 图2.55 D4DLnGDDPt,（s.dd.

37、= 00.029） 图22.56 D4DLnGDDPt的相关和偏偏相关图通过对D4DLLnGDPtt的相关和偏偏相关图分析析，应该建立立(2, 1,2) (1, 1, 11)4 模型。理由如如下。因为相相关图和偏相相关图都呈欠欠阻尼衰减特特征，说明至至少存在非季季节2阶自回回归和非季节节2阶移动平平均成分。从从图中看出季季节特征仍然然存在，当然然，不容易判判断是1阶季季节自回归成成分和1阶季季节移动平均均成分都有，还还是只有1阶阶季节自回归归成分，或者者只有1阶季季节移动平均均成分。可以以都加上，也也可以只加一一个1阶季节节自回归，或或者1阶季节节移动平均。估估计结果显示示1阶季节自自回归成分

38、和和1阶季节移移动平均成分分都应该加在在模型里。EViews估估计命令是DLOG(GDDP,1,4) C AR(1) AR(2) SAR(4) MA(1) MA(2) SMA(4)用1980:112002:3的数据得得估计结果如如下（EViiews输出出结果如图22.57）：D4DLnGDDPt = - 0.0023 + ut （1980:12002:3） (-2.4)(1-1.200 L+0.66 L2) (1 - 0.33 L4) ut = (1 - 1.16 L+ 0.97 L2) (1 - 0.95 L4) vt (2.69) (114.4) (-88.8) (2.8) (55.9)

39、(86.1) (-32.8) R2 = 0.57, DW = 2.0, F = 16.1, Q(36) = 19.3, 20.05 (36-3-3) = 43.8图2.57 EViewws估计结果果 图22.57模型型(2.99)误差项的相相关和偏相关关图注意：（1）不要把自自回归系数估估计值的符号号写错。不要要把均值（- 0.0023）项项表达错。EEViews仍仍然是对(DD4DLnGDDPt + 0.0023)建立(2, 1, 2) (1, 1, 11)4 阶季节时时间序列模型型，而不是对对D4DLnGDDPt建立季节时间间序列模型。（2）季节和非非季节因子之之间是相乘关关系。 （3）在

40、在EViewws估计命令令中把变量写写作DLOGG(GDP,1,4)，好处是预预测时可直接接预测GDPPt，也可以预预测D4DLnGDDPt。模型参数全部有有显著性，QQ(36) = 19.6 20.05 (36-3-3) = 43.8。两种种检验通过。依依据输出结果果，对于D4DLnGDDPt，模型共有有12个特征征根。4个实实根，8个复复根。 图2.58 DD4DLnGDDPt的实际与静态态预测序列 图2.559 GDPPt的实际与静态态预测序列 图2.58 DD4DLnGDDPt的实际与动动态预测序列列 图22.59 GGDPt的实际与动动态预测序列列对2002年第第4季度GDDPt进行样本外外1期预测，结结果如下：图2.60 样样本外1期（22002年第第4季度）GGDPt预测预测误差是 = 0.006样本内及样本外外1期预测评评价：图2.61 样样本内与样本本外1期（22002年第第4季度）GGDPt预测评价表2.4 香港港季度GDPt数据（1980:12002:4，单