近世代数课程归纳总结

1、文档编码 : CG7F6T9G10E5 HF9C6O3P2B7 ZZ7J7G5D9A10近世代数基础学习报告 现代数学 现代数学的主要争辩方向为结构数学 , 结构反映事物构成部分之间的关系, 部分与整体的关系 ,或几种事物间的相互组成联系；现代数学的基础是集合,在 集合上附加代数结构,分析结构和拓扑结构或集合结构得到数学的各种分支； 本门课程的主要学习内容就是以集合理论为基础而逐步开放的； 群论是在集 合上赐予运算法就,形成群,环,域等基本的运算系统；流形同样是在集合上赋 予相应的结构而形成具有特殊性质的数学争辩对象； 这些抽象的理论往往会在实 际系统中得到应用,用集合的思想去解决问题往往会提

2、升效率； 一 抽象代数 1.1 群 定义 群是特殊的集合,它是一个包含了二元运算法就并中意确定条件的集合；一 般说来,群 G 是指对于某种运算法就 中意以下四个条件的集合： 1 封闭性：如 a,b G ,就存在唯独确定的 c G 使得 a b c ； 2 结合律成立：任意 a,b, c G ,有 a b c a b c ； 3 单位元存在：存在 e G 对任意 a G ,中意 aeea a ； 第 1 页,共 5 页4 逆元存在：对任意 a G ,存在唯独确定的 b G 使得 a bba e ； 如群仍中意交换律,就成为交换群或者阿贝尔群； 如群 G 中元素个数有限,就 G 为有限群；否就称为

3、无限群；有限群的元素个 数称为有限群的阶； 子群 对于群 G ,如集合 H G 对于群 G 上定义的二元运算构成一个群, 就称 H 是 G 的子群,记做 H G ； 小结 在群论的争辩中,我们需要关怀的是个元素之间的运算关系,即群的结构, 而不用去管某个元素的详细含义是什么； 1.2 环 当在一个集合上附加两种代数运算,而这两种运算是有机集合,可得到所谓 的环； 定义 设 R 是一个非空集合, 其上定义了两种二元运算, 通常表示为加法 +和乘法 , 如1 R, 是交换群 2 R, 是半群 3 乘法对加法中意支配律 就称 R 为一个环；环也是一种群； 子环 环 R 的一个非空子集 S ,如对于

4、R 的两种运算构成一个环,就称 S 为 R 的子 第 2 页,共 5 页环； 整环 设 R 为含单位的环,且 1 0 ；如 R 为没有零因子的交换环,就称 R 为整环； 1.3 域 域也是一种环, 要求 要中意交换律, 除了有 +的单位元仍要有 的单位元 二 者不等 ,除了 +的单位元外其他元素都有 的逆元； 1.4 群的应用 群是刻画事物对称性的有效工具,比如图形的对称,函数的对称等； 二 微分几何 微分几何学是运用数学分析的理论争辩曲线或曲面上一点的邻域的性质, 即 争辩一般曲线或曲面在小范畴上的性质； 它主要包含曲线论和曲面论； 曲线论主 要就是 Frenet 公式,曲面论主要是从曲面上

5、曲线的弧长公式推出曲面的第一基 本形式（等距变换,保角变换,内蕴量的性质） ,从曲面与切平面间的有向距离 推出其次基本形式, 而曲率的推导次序是： 曲面上曲线的曲率, 法曲率,主曲率, 高斯曲率和平均曲率； 微分几何有两个特殊重要的基础： 坐标变换和求导的技巧； 在学习微分几何之前需要娴熟运用这两个部分； 标架 标架,这一概念在张量分析的学习中曾经涉及到； 张量可以看作一个实体 （几 何体,几何量）,这个实体由这组重量和重量所对应的基共同构成；通常说的张 第 3 页,共 5 页量是不依靠于坐标系的, 而观看者和标架是等同的； 用一个坐标系来充当观看者, 再配上时间坐标,标架成为四维的；坐标系和

6、标架（或者观看者）是不同的,同 一个标架下可以观看到多个“坐标系”； 测地线 曲面上测地曲率恒等于零的曲线,称为测地线；平面上的测地线就是直线； 测地线的概念就是平面上直线的概念在曲面上的推广； 曲面上的曲线, 当且仅当 它是直线或者它的主法向量到处是曲线的法向量时, 它才是测地线； 旋转面上的 经线是测地线,球面上的大圆周是测地线； 距离最短的曲线在相对论中的专业术语是测地线,事实上,相应于速度小于 C,等于 c,大于 c 的三种测地线分别称为类时测地线,类光测地线和类空测地 线； 三 微分流形 微分流形的数学定义 n 维流形就是一个 Hausdorff 空间,它的每一点有开邻域与 n 维欧式空间的 开集同胚； 微分流形是一类重要的拓扑空间, 它除了具有通常的拓扑结构外, 仍 添加上了微分结构, 因而可以应用微积分学, 从而就能建立一些微分几何的性质； 流形描述 流形（ Manifold ）,是局部具有欧几里得空间性质的空间；流形在数学中用 于描述几何形体, 它们供应了争辩可微性的自然的舞台； 物理上, 经典力学的相 空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎