含参变量的积分

1、. z.12.3 .含参变量的积分教学目的 掌握含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参变量正常积分的求导法则教学要求(1)了解含参变量积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参变量正常积分的导数的计算公式(2)掌握含参变量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明一、含参变量的有限积分设二元函数在矩形域有定义，一元函数在可积，即积分存在.都对应唯一一个确定的积分值.于是，积分是定义在区间的函数，表为称为含参变量的有限积分，称为参变量.定理1.假设函数在矩形域连续，则函数在区间也连续.*说明：假设函数满足定理1的条件，积分与极限可以交换次序.定理2 .假设函数与在矩形域连续

2、，则函数在区间可导，且，有，或.简称积分号下可微分.*说明：假设函数满足定理2的条件，导数与积分可以交换次序.定理3 .假设函数在矩形域连续，则函数在区间可积，且.简称积分号下可积分.*说明：假设函数满足定理3的条件，关于不同变数的积分可以交换次序.一般情况，含参变量的有限积分，除被积函数含有参变量外，积分上、下限也含有参变量，即.但，对应唯一一个积分值，它仍是区间的函数，设 . 下面给出函数在区间的可微性.定理4.假设函数与在矩形域连续，而函数与在区间可导，有，则函数在区间可导，且二、例I例1. 求函数的导数解：，暂时固定，使，显然，被积函数与在矩形域都连续，根据定理2，有.因为使，所以，有

3、.例2 .求.解：，暂时固定，使，显然，被积函数及其关于r的偏导数，即与在矩形区域连续，根据定理2 ，有=设万能换元，有=从而，.于是， 3又有.将在做连续开拓.令函数在区间连续，对等式3等号两端求不定积分，有.，有.于是 ， .例3 .证明：假设函数在区间连续，则函数是微分方程的解，并满足条件.证明： 逐次应用定理4，求函数的n阶导数，有=，即函数是微分方程的解，显然，当时，.例4. 证明：假设函数存在二阶导数，函数存在连续导数，则函数是弦振动方程的解.证明：根据定理4，有于是，即是弦振动方程的解例5 .求积分.解法一 应用积分号下积分法.解： 函数的原函数不是初等函数，函数在0与1没定义，

4、却有极限.将函数在0与1作连续开拓，即从而，函数在区间连续.而函数在闭矩形域连续，根据定理3，有.解法二 应用积分号下微分法.解： 设 根据定理2，有.两端求不定积分，有令 ，有，即 于是， 令 ，有三、含参变量的无穷积分设二元函数在区域有定义。，无穷积分都收敛，即都对应唯一一个无穷积分值.于是，是区间的函数，表为，称为含参变量的无穷积分，有时也简称无穷积分，是参变量.定义 设，无穷积分收敛，假设有则称无穷积分在区间I一致收敛。例6 .证明：无穷积分在区间a,b(a0)一致收敛.证明：设,求无穷积分将u看做常数设有有使不等式成立，解得。取于是，有即无穷积分在区间一致收敛.定理5 柯西一致收敛准

5、则无穷积分在区间I一致收敛，有.定理6 .假设有 ，且无穷积分收敛，则无穷积分在区间一致收敛。例7.证明：无穷积分在区间一致收敛证明：有 无穷积分收敛，根据定理6，则无穷积分在区间一致收敛.例8.证明： 无穷积分在R一致收敛证明：，有.无穷积分，则无穷积分在R一致收敛。定理7 .假设函数在区域(a0)，连续且在D有界，即，有则当时，无穷积分在区间I一致收敛.例9 .证明：无穷积分在区间一致收敛。证明： 因为有，所以0不是被积函数的瑕点，因此将被积函数在0作连续开拓。首先证明无穷积分在区间一致收敛由7.2例6 ，有,有于是，函数在区域D有界，根据定理7，无穷积分在区间一致收敛，再根据柯西一致收敛

6、准则，无穷积分在区间一致收敛.定理8. 假设函数在区域，连续且无穷积分在区间一致收敛。则函数在区间连续。定理9 .假设函数在区域，连续且无穷积分在区间一致收敛，则函数在区间可积，且，即.简称积分号下可积分.定理10.假设函数与在区域，连续且无穷积分在区间收敛，而无穷积分在区间一致收敛，则函数在区间可导，且即 .简称积分号下可微分.四、例II例10 .证明：证明：将被积函数表积分，即-.有 而无穷积分收敛。根据定理6，无穷积分在区间一致收敛，根据定理9，交换积分次序，有例11.求无穷积分解：12.1例11证明了无穷积分收敛条件收敛因为被积函数不存在初等函数的原函数，所以不能直接求这个无穷积分，为

7、此在被积函数中引入一个收敛因子，讨论无穷积分显然，。无穷积分的被积函数及其关于的偏导数，即与在区域连续连续开拓，无穷积分在区间一致收敛见例，下面证明。，无穷积分在区间一致收敛，事实上有无穷积分收敛，由定理，无穷积分在区间一致收敛，根据定理10，有从而下面确定常数C，等式8都成立，有即，对等式8等号两端取极限，有即或，于是.下面证明函数在右连续，事实上，无穷积分7在区间一致收敛，根据定理8，函数在在右连续，对等式9等号两端取极限,有，即 .于是 例12. 求无穷积分解：显然，y=0时，=0当，设由例11，有于是，例13 .求无穷积分解： 被积函数是偶函数，有由分布公式与例12，有五、函数和B函数一 函数函数称为函数函数的两个性质：1、函数在区间连续2、递推公式 有二函数函数称为函数的性质1.对称性2.递推公式有即3、事实上，设，有 11由公式11，在下面有几个简单公式：，有 12在公式12中，令与，有 13在公式13中，令，有或，即六、例III 例14.求概率积分与.解：设有于是例