《相交线与平行线》 基础知识详解

1、相交线与平行线目录一、相交线，垂线二、同位角、内错角、同旁内角三、平行线及其判定四、平行线的性质及平移一、相交线，垂线基础知识讲解【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角1邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角要点诠释：的是两个角的和为 180(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角(4)邻补角满足的条件：有公共顶点；有一条公共边，另一边互为反向延长线.2. 对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角（2

2、）性质：对顶角相等要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角(2)对顶角满足的条件：相等的两个角；有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.3. 邻补角与对顶角对比：角的名称特征性 质相 同 点不 同 点对顶角两条直线相交形成的角；对顶角相等. 都是两条直线相 有无公共边；交而成的角； 两直线相交都有一个公共顶 点； 2 都 是 成 对 出 现 4 对.有一个公共顶点；没有公共边.邻补角两条直线相交而成；邻补角互补. 的.有一个公共顶点；有一条公共边.知识点二、垂线1垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条

3、直线的垂线，它们的交点叫垂足要点诠释：a b(1)记法：直线 a与 b垂直，记作：；直线 AB 和 CD 垂直于点 O，记作：ABCD 于点 O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： 90CDAB2垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上(2)过直线外一点作

4、已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段3垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短简单说成：垂线段最短要点诠释：只有”说明了垂线的存在性和唯一性（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题4点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离要点诠释：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时

5、，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度初中数学典型题思路分析价格及说明1.全 套资 料共 7 册 14 本（七上九下+综合共 7 册）；每册分 解析 版和原题 版两 本； 有和 教材 同步 的多 个版 本可 选。2.每 册（ 2 本）包邮价 格 60 元；两册及 以上每册 50 元包邮；全 套 7 册（14 本） 300 元包 邮； 已购 买者 需购 买全 套补 尾款 即可。3. 赠送说明：（百度网盘发送，购买全套以下全部赠送）A.全 套初中数学重难点名师精品视频课程（保证全部名师精讲）。B.购 买满 2 册即赠送重点推荐的初中几何解题思路方法培训视频课程。C.基

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7、，直线 AB、CD 与直线 EF 相交(或者说两条直线 AB、CD 被第三条直线 EF 所截)，构 1.图 1要点诠释：两条直线 AB,CD 与同一条直线 EF 相交“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成2. 同位角、内错角、同旁内角的定义在“三线八角”中，如上图 1，（1）同位角：像1与5，这两个角分别在直线 AB、CD的同一方，并且都在直线 EF 的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.（2）内错角：像3与5，这两个角都在直线 AB、CD之间，并且在直线 EF 的两侧，像这样的一对角叫做内错角.（3）同旁内角：像3和6 都在直线 AB、CD之间，并且在直线EF 的同一旁，像

8、这样的一对角叫做同旁内角.要点诠释：(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.(2)“三线八角”中共有 4 对同位角，2 对内错角，2 对同旁内角要点二、同位角、内错角、同旁内角位 置特征及形状特征要点诠释：巧妙识别三线八角的两种方法：(1)巧记口诀来识别： 一看三线，二找截线，三查位置来分辨.(2)借助方位来识别根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2三、平行线及其判定基础知识讲解【要点梳理】要点一、平行线的定义及画法1定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a 与 b 平行，记

9、作ab要点诠释：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系2平行线的画法：用直尺和三角板作平行线的步骤：落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.要点二、平行公理及推论1平行公理：经过直线外一点，有且只

10、有一条直线与这条直线平行2推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质(2（3.要点三、直线平行的判定判定方法 1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： 32 ABCD（同位角相等，两直线平行）判定方法 2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： 12 ABCD（内错角相等，两直线平行）判定方法 3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： 42180 ABCD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.四、平行线的性质及平移基

11、础知识讲解【要点梳理】要点一、平行线的性质性质 1：两直线平行，同位角相等；性质 2：两直线平行，内错角相等；性质 3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1可忽视前提 (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等要点三、

12、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题要点诠释：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.（2.”（3）真命题与假命题：真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.要点诠释：定义、基本事实、定理等.（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一

13、个反例即可要点四、平移1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移要点诠释：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.要点诠释：（1(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平

14、移后的图形上本身存在的.3. 作图：平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”定、找、移、连(1)定：确定平移的方向和距离；(2)找：找出表示图形的关键点；(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；(4)连：按原图形顺次连接对应点【学习目标】1熟练掌握对顶角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念；2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；3. 了解命题的概念及构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；4. 了解平移的概念及性质.【知识网络】【要点梳理】知识点一、相交线1.对顶角、邻补角两直线相交所成的四个角中存在几种不同

15、关系，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系21对顶角相等即1=2对顶角有公共顶点3 与4 有一 邻补角互补即邻补角有公共顶点边互为反向延长线.3+4=180要点诠释：对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线.如果与是对顶角，那么一定有=；反之如果=，那么与不一定是对顶角.如果与互为邻补角，则一定有+=180；反之如果+=180，则与不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.2.垂线及性质、点到直线的距离（1）垂线的定义：

16、当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图 1 ABCD，垂足为 O.要点诠释：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.（2）垂线的性质：垂线性质 1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记).垂线性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图 2：POAB，点 P到直线 AB 的

17、距离是垂线段 PO 的长.要点诠释：垂线段 PO 是点 P 到直线 AB 所有线段中最短的一条.知识点二、平行线1平行线的判定判定方法 1：同位角相等，两直线平行判定方法 2：内错角相等，两直线平行判定方法 3：同旁内角互补，两直线平行要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2平行线的性质性质 1：两直线平行，同位角相等；性质 2：两直线平行，内错角相等；性质 3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直3两条平行线间的距离如图 3，直线 ABC