数学建模A题系泊系统设计

1、系泊系统的设计纲要本题要求观察近海观察网的构成，成立模型对此中系泊系统进行设计，在不一样风速和水流的状况下确立锚链，重物球，钢管及浮标等的状态，进而使通信设施的工作效果最正确。求解的详细流程以下：针对问题一，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行剖析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运使劲矩均衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。对于锚链，将其等效为悬链线模型，依据风速不一样判断锚链的状态，进而求出结果。针对问题二，需要调理重物球的质量，使通信设施在36?时能够正常工作。为了确立重物球的质量，第一将实质风速与临界风速进行比较，判断此时系统中各物体的状态，与题目中已知数据进行比较。在钢桶倾斜

2、角度达来临界角度时，计算锚链与海床的夹角并于题中数据进行比较，计算重物球的质量。在浮标完整没入海面时，计算相应条件下重物球的质量，进而确立知足条件的重物球的质量范围。针对问题三，要求在不一样条件下，求出系泊系统中各物体的状态。以型号I锚链为例，当水流方向与风速方向同样时，系统条件最差，剖析在不一样水深条件下的系泊系统设计。由题中已知条件确立系统设计的限制条件，对系统各物体进行受力剖析，以使整体结果最小，即可得出最优的系泊系统设计。重点词：悬链线多目标非线性规划一、问题重述近浅海观察网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通信系统构成（如图1所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2

3、m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚构成。锚的质量为600kg，锚链采用无档一般链环，近浅海观察网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链尾端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超出16度，不然锚会被拖行，以致节点移位丢掉。水声通信系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设施和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通信设施的工作成效最正确。若钢桶倾斜，则影响设施的工作成效。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超出5度时，设

4、施的工作成效较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。系泊系统的设计问题就是确立锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动地区及钢桶的倾斜角度尽可能小。问题1某型传输节点采用II型电焊锚链，采用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平展、海水密度为103kg/m3的海疆。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动地区。问题2在问题1的假定下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动地区。请调理重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超出

5、5度，锚链在锚点与海床的夹角不超出16度。问题3因为潮汐等要素的影响，布放海疆的实测水深介于16m20m之间。布放点的海水速度最大可达到s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，剖析不一样状况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动地区。二、模型假定不考虑流体对锚链的作用，忽视锚链自己的伸长，锚链沿长度平均散布；假定风是二维的，只存在平行于水平面的风速，不存在垂直方向上的重量；三、符号说明符号F浮0F浮F浮1F浮2F风?0?1?2?0?1?2?3r浮h含义浮标的浮力钢管的浮力钢桶的浮力重物球的浮力近海风荷载浮标近海水流力钢桶近海水流力重物球近

6、海水流力浮标重力钢管重力钢桶重力重物球重力锚链重力浮标游动地区浮标吃水深度四、问题剖析问题一剖析问题一对于系泊系统的受力物体进行剖析，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行剖析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运使劲矩均衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。对于锚链，将其等效为悬链线模型，依据风速不一样判断锚链的状态，进而求出结果。问题二剖析问题二需要调理重物球的质量，使通信设施在36?时能够正常工作。为了确立重物球的质量，第一将实质风速与临界风速进行比较，判断此时系统中各物体的状态，并与已知数据进行比较。在钢桶倾斜角度达来临界角度时，计算锚链与海床的夹角并与题目要求进行比较，计算重物球的

7、质量。在浮标完整没入海面时，计算相应条件下重物球的质量，综合确立知足条件的重物球的质量范围。4.3问题三剖析问题三要求在不一样条件下，求出系泊系统中各物体的状态。以型号I锚链为例，当水流方向与风速方向同样时，系统条件最差，剖析在不一样水深条件下的系泊系统设计。由题中已知条件确立系统设计的限制条件，对系统各物体进行受力剖析，以使整体结果最小，即可得出最优的系泊系统设计。五、模型成立与求解问题一模型问题剖析问题一,系泊系统整体受力均衡，浮标遇到恒定风力时，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行剖析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运使劲矩均衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。对于锚链，将其等

8、效为悬链线模型，依据风速不同判断锚链的状态，最后利使劲矩均衡求出钢管与钢桶的倾斜角度,进而求出结果。模型成立Step1.系泊系统受力剖析对于浮标，它遇到水的浮力，自己重力，风载荷及第一根钢管对浮标的力。本题中海水静止，故所有近海水流力为0。将钢管对浮标的力在分别水平方向和竖直方向长进行分解，详细受力以下图，由浮标所受的力均衡获得：图浮标受力剖析图?,=?风+?0（水平方向）?0?,=?浮0-?0（竖直方向）?0式中，?,0、?,0分别为钢管对浮标的力再水平方向和竖直方向的分立。对于钢管，将第一节钢管对浮标的力设为?0，后续第k+1节钢管对第k节钢管的力为F?，将钢管的力进行分解，钢管的受力状况

9、以下图，所以：图钢管受力剖析图?,?=?,?+1+?（水平方向）?,?+?=?,?+1+?（竖直方向）浮式中，F为钢管收到的浮力，因为钢管体积较小，在水中钢管的浮力与重力对比浮很小，可忽视不计；?,?，?,?分别为第k跟钢管对前一根钢管在水平方向和竖直方向的分力。对于钢桶，它遇到第四根钢管的力，水的浮力，自己重力以及锚链的拉力和重物球的拉力，详细受力以下图，则：图钢桶受力剖析图?,?+1=?,?+?1（水平方向）?浮1+?浮2+?=?,?+1+?1+?2（竖直方向）?,?式中，F?,?+1和F?,?+1分别表示锚链的拉力在水平方向和竖直方向上的分力。对于系泊系统，由浮标、钢管和钢桶得水平受力剖

10、析可得：?风=?=?,1=?,2=?,3=?,4=?,5=0.625?2?,0此中，S为物体在风向法平面的投影面积，v为风速。由竖直方向受力剖析得：?,0=?浮0-?0?,0=?,1+?,1=?,2+?,2=?,3+?,3=?,4+?浮1+?浮2+?=?,5+?1+?2?,4设浮标的吃水深度为h，则：?浮0=?2?0=?0?=?2=?2?浮1=?22?0?2?=?浮2?重此中，?为海水密度，题中为1.025103?；?为重力加快度，本题取9.8m；?3?2?为浮标底面积半径，本题中为1m；?0为浮标质量，为1000kg；?为每节钢管的质量，为10kg；?2为重物球的质量，本题中为1200kg，

11、?2为钢桶底面半径，?0为钢桶的长度，钢管长度与钢桶相等。将重物球看作铁球办理，则重物球的密度为3?3，由题中已?知条件可知，能够递推出：?,0=?2?-1000?,1=?2?-1010?,2=?2?-1020?,3=?2?-1030?,4=?2?-1040?,5=?2?-1140?-?2?+?2+?22?0?重Step2.悬链线模型对于锚链，假定其质量散布平均，能够将锚链作为悬链线办理，进而做出以下剖析,由静力学均衡条件可知，在座标系中，锚链水均分立和垂直分力的代数和为0，能够获得：?=?3+?=?图锚链受力剖析图式中，?表示锚链对钢桶的拉力，?、?分别表示锚链的水均分力与竖直分力，?3表示

12、锚链的重力，?为锚链任一点与水平方向的夹角。所以，可推导出：?=?+?=?表示锚链单位长度的质量，即线密度；?为锚链在水中未触碰海底的长度。由曲线几何关系和力学关系及悬链线模型可求得，导线任一点的斜率为：?+?=?=?1?=?1+(?+?2?)?+?=?1+(?+?2?)式中,x、y分别表示锚链在水平方向和竖直方向的投影长度。对两式分别进行积分，并用临界点数据(?=0?0来确立积分常数，则可得，,=)?=?1?+?0?1sh-)-?(?12?+?=?(+(?)-1)+?2?进一步可求得方程：?sh(?)-?=?=?0?(?0+?1)+?2此中?0=?1=?-1(?)?2=-?0?(?1)Ste

13、p3.力矩剖析均衡对于钢管，因为钢管的力矩均衡，能够获得：?0?0?(?,?+?,?+1+?水)?(?,?+?,?+1)=22?,此中，?表示分别表示第k根钢管的倾斜角度，?,水为水流对钢管的力，则：?,?+?,?+1+?,水?=即为：?,?+?,?+1?,0+?,1+?1,水?1=?,0+?,1?,1+?,2+?2,水?2=?,1+?,2?,2+?,3+?3,水?3=?,2+?,3?,3+?,4+?4,水?4=?,3+?,4式中，?分别是钢管的倾斜角度（k取1，2，3，4），依据题中的数值，能够获得以下公式：?风?1=?2?-1005?风?2=?2?-1015?风?3=?2?-1025?风?

14、4=?2?-1035?代入数值后可求出钢管相应的倾斜角度。对于钢桶，由钢桶的力矩均衡，能够获得：?0?5(?,?+?,?+1+?2-F浮2)=?0?5(?,?+?,?+1+?,水)2此中，?5表示分别表示钢桶的倾斜角度，于是：?,4+?,5+?1?5=?,4+?,5+?2-F浮2带入数值得：?风?5=?100?+?2?-?2+?22?0重式中，?5是钢桶的倾斜角度，由题中给出的数据能够计算出钢桶的倾斜角度。模型求解求解不一样风速条件下系泊系统的状态，需要先求出系统的临界条件，即锚链与海床相切时的风速，而后将此临界风速与题目中所给风速进行比较，判断锚链的状态，最后求出不一样风速下系泊系统的状态。

15、Step1.临界条件当系统处于临界状态时，锚链与海床底部相切，此时，锚链所有抬起且对锚无拉力，=22.05?。取锚链以上的部分进行受力剖析，设锚链以上部分竖直高度为?，由受力剖析模型得：=?+?0?1+?0?2+?0?3+?0?4?0?5由模型中的公式能够获得，此式是对于临界风速v0的表达式。设锚链的竖直高度为y，能够获得：=?2+(?)2-?由题中已知条件可知，水深为18?,则：?+?=18取锚以上部分进行剖析，由系统受力均衡可得，锚以上部分重力与浮力相等，由此可得：?0+4?+?1+?2+?3=?浮0+?浮1+?浮2将题中各数值代入公式，编程可求得v0=23.985984?。Step2.风

16、速为?时因为风速v1=12?小于临界速度v0=23.985984?的值，所以当风速为12?时，锚链与海底接触。此时，竖直方向上的受力?=0，能够获得：=?-?+?2?由悬链线模型能够获得，?,5?=?,5?-1?=?(?)-?0?1?解得：?222340?+?+?22?-?重?0?=?所以：?=2?2?-?+(?)由题中已知条件可知，水深为18?,则：+?=18由锚链与海底深度的关系，编程求得浮标吃水深度h=。浮标的游动地区由锚链在水平方向的投影长度，以及钢管和钢桶在水方向的投影长度能共同决定，设浮标游动地区为r浮则能够获得：?浮=?+?0?1+?0?2+?0?3+?0?4+?0?5由锚链在水

17、平方向的投影长度及钢管、钢桶的倾斜角度能够求得，浮标游动地区大小r浮=14.354904。由钢管与钢桶的受力剖析能够求得，四节钢管与钢桶的倾斜角度分别如表所示。表12m/s时钢管及钢桶倾斜角度物体倾斜角度第一节钢管第二节钢管第三节钢管第四节钢管钢桶?Step3.风速为?时23985984?的值，所以当风速为因为风速v2=24?大于临界速度v0=.24?时，锚链完整倾斜。此时，锚链倾斜的长度?=22.05?。由临界条件中锚以上部分重力与浮力相等，即：?0+4?+?1+?2+?3=?0+?+?浮浮1浮2代入数值得：?21000?+40?+100?+1200?+?=?2?+?2?0+?2?重可求得?

18、的值。由浮标，钢桶，钢管水平受力剖析可得：?=?0625?2风=.由悬链线模型可得：?-1?+?0?1?=?(?)-?+?2?=?(1+(?)-1)+?2?由题中已知条件可知，水深为18?,则：+y=18由锚链与海底深度的关系，编程求得浮标吃水深度h=。浮标的游动地区由锚链在水平方向的投影长度，以及钢管和钢桶在水方向的投影长度能共同决定，设浮标游动地区为r浮则能够获得：?浮=?+?0?1+?0?2+?0?3+?0?4+?0?5由锚链在水平方向的投影长度及钢管、钢桶的倾斜角度能够求得，浮标游动地区大小you=。钢管与钢桶的受力剖析能够求得，四节钢管与钢桶的倾斜角度分别如表所示。表24m/s时钢管

19、及钢桶倾斜角度物体倾斜角度第一节钢管第二节钢管第三节钢管第四节钢管钢桶问题二模型问题剖析问题二需要调理重物球的质量，使通信设施在36?时能够正常工作。为了确立重物球的质量，第一将实质风速与临界风速进行比较，判断此时系统中各物体的状态，与题目中已知数据进行比较。在钢桶倾斜角度达来临界角度时，计算锚链与海床的夹角并于题中数据进行比较，计算重物球的质量。在浮标完整没入海面时，计算相应条件下重物球的质量，进而确立知足条件的重物球的质量范围。模型成立Step1.受力剖析与数据因为风速v2=36?大于临界速度v0=23.985984?的值，所以当风速为36?时，锚链完整倾斜，锚链倾斜的长度?=22.05?

20、。此时，钢管和钢桶的倾斜角度，锚链形状，浮标的吃水深度以及游动地区都能够经过问题一中的模型计算。本题中海水静止，故所有近海水流力为0。Step2.重物球质量求解模型（1）钢桶倾斜角度为临界角度时?当浮筒倾斜角度?5=5时，由悬链线模型能够获得：?5=?=?5?由问题一剖析可得:?5=?,4+?,5+?1?,4+?,5+?2-F浮2代入数值获得：?风=?5?5=?2?-1090?+?22?0可解得浮标吃水深度。?2表示重物球质量，本题中未知。由浮标，钢桶，钢管水平受力剖析可得：?=?风=0.625?2由临界条件中锚以上部分重力与浮力相等，即：?0+4?+?1+?2+?3=?浮0+?浮1+?浮2则

21、：?=?2?+?2+?22?0-1000?-40?-100?-?2?重由悬链线模型可得：=?-1(?+?)-?0?1?+?2?=?(1+(?)-1)+?2由题中已知条件可知，水深为18?,则：?+?=18依据浮标的吃水深度，由二分法可求出重物球的质量。（2）浮标没入海面时当浮标完整没入海面时，风荷载对浮标无作使劲，系泊系统水平方向不受力，则钢管与钢桶，锚链均呈竖直状态，倾斜角度为0，即：?=?风=0此时浮标的吃水深度即为圆柱体的高度：?=2?锚链以上部分的竖直高度为：=?+5?0=7?由题中已知条件可知，水深为18?,则：+?=18能够求得，锚链在水中的部分长度为：=11?取锚以上部分进行剖析

22、，由系统受力均衡可得，锚以上部分重力与浮力相等，由此可得：?0+4?+?1+?2+?3=?浮0+?浮1+?浮2则重物球的重力为：?2=?+?1+?-?0-4?-?1-?3浮0浮浮2代入数据得：1140?-?2?-?22?0?2=?-?重模型求解Step1.计算?时物体的状态当风速为v3=36?时，由锚链与海底深度的关系，编程求得浮标吃水深度h=。浮标的游动地区由锚链在水平方向的投影长度，以及钢管和钢桶在水方向的投影长度能共同决定，设浮标游动地区为r浮则能够获得：?浮=?+?0?1+?0?2+?0?3+?0?4+?0?5由锚链在水平方向的投影长度及钢管、钢桶的倾斜角度能够求得，浮标游动地区大小r

23、=18.788076?。钢管与钢桶的受力剖析能够求得，四节钢管与钢桶的倾斜角度分浮别如表所示。表36m/s时钢管及钢桶倾斜角度物体倾斜角度第一节钢管第二节钢管第三节钢管第四节钢管钢桶锚链在锚点与海床的夹角由题中已知数据，钢桶的倾斜角度不超出5度，锚链在锚点与海床的夹角不超出度，计算结果均大于题目要求，故应调整重物球的质量。Step2.计算重物球的质量范围当钢桶的倾斜角度为5度时，由模型可求得：?2=2046.135147kg由题中已知条件可知，水深为18?,则：+?=18由锚链与海底深度的关系，编程求得浮标吃水深度?=0.920915m。锚链在锚点与?海床的夹角=14.605990。?2114

24、0?-?2?-?22?06089881909=?-?=.?重所以，重物球的质量范围为2046.135147，6089.881909。明显，由题意可知，跟侧重物球质量的增大，钢管与钢桶的倾斜角度和锚链在海床的夹角都不停减小。所以，假定锚链在锚点与海床的夹角=16?，重物球的质量小于钢桶倾斜角度为5度时重物球的最小质量，此时钢桶倾斜角度大于5度，假定不可立。能够得出，题中所求重物球的质量范围是重物球的最大质量范围。问题三模型问题剖析问题三要求在不一样条件下，求出系泊系统中各物体的状态。以型号I锚链为例，当水流方向与风速方向同样时，系统条件最差，剖析在不一样水深条件下的系泊系统设计。由题中已知条件确

25、立系统设计的限制条件，对系统各物体进行受力剖析，以使整体结果最小，即可得出最优的系泊系统设计。模型成立Step1.系统受力剖析本题中，系统收到近海风荷载与近海水流力两个外力，且外力随风速大小与水流速大小的变化而变化。系统中各物体受力状况与模型一同样，联合已知条件，可判断设计系泊系统。Step2.确立目标函数依据题中要求，为了使通信设施成效最好，浮标吃水深度，游动地区与钢桶倾斜角度应当最小，故本文中确立的优化目标为三个。（1）浮标吃水深度?（2）浮标游动地区?+?0?1+?0?2+?0?3+?0?4+?0?5（3）钢桶倾斜角度?5?,4+?,5+?1?5=?,4+?,5+?2-F浮2Step3.

26、确立限制条件模型求解正文六、模型评论（长处与弊端）七、参照文件qq-pf-to=，2017年8月16日2夏运强,浮筒式防风单点系泊系统研究与应用,2007年6月1日34附录一三角函数值表角度正弦值（sin）正切值(cos)1?2?3?4?5?6?7?8?9?10?11?12?13?14?15?附录二临界速度程序p=1025;g=;s=;L=(1000+40+1300+*7-120/786*2*p*pi)/(pi*p);syms?v;fx=*(2-L)*v*v;a=pi*p*g*L;f0=a-1000*g;f1=a-1010*g;f2=a-1020*g;f3=a-1030*g;f4=a-1040

27、*g;f5=a-2340*g+120/786*p*g+2*pi*g*p;%F=f0,f1,f2,f3,f4,f5;tan1=fx/(a-1005*g);cos1=sqrt(1/(1+tan12);sin1=sqrt(tan12/(1+tan12);tan2=fx/(a-1015*g);cos2=sqrt(1/(1+tan22);sin2=sqrt(tan12/(1+tan12);tan3=fx/(a-1025*g);cos3=sqrt(1/(1+tan32);sin3=sqrt(tan12/(1+tan12);tan4=fx/(a-1035*g);cos4=sqrt(1/(1+tan42);s

28、in4=sqrt(tan12/(1+tan12);tan5=fx/(a-1090*g+60/786*p*g+*2*pi*g*p);cos5=sqrt(1/(1+tan52);sin5=sqrt(tan12/(1+tan12);fL=L+cos1+cos2+cos3+cos4+cos5;x=fx/(7*g)*asinh(s*7*g/fx);y=sqrt(s2+(fx/(7*g)2)-fx/(7*g);ff=y+fL-18;%fplot(ff,23,25);g=matlabFunction(ff);v,k=eff(g,23,25)附录二风速为?时p=1025;g=;v=12;syms?L;fx=*

29、(2-L)*v*v;a=pi*p*g*L;f0=a-1000*g;f1=a-1010*g;f2=a-1020*g;f3=a-1030*g;f4=a-1040*g;f5=a-2340*g+120/786*p*g+2*pi*g*p;%F=f0,f1,f2,f3,f4,f5;tan1=fx/(a-1005*g);cos1=sqrt(1/(1+tan12);sin1=sqrt(tan12/(1+tan12);tan2=fx/(a-1015*g);cos2=sqrt(1/(1+tan22);sin2=sqrt(tan12/(1+tan12);tan3=fx/(a-1025*g);cos3=sqrt(1/

30、(1+tan32);sin3=sqrt(tan12/(1+tan12);tan4=fx/(a-1035*g);cos4=sqrt(1/(1+tan42);sin4=sqrt(tan12/(1+tan12);tan5=fx/(a-1090*g+60/786*p*g+*2*pi*g*p);cos5=sqrt(1/(1+tan52);sin5=sqrt(tan12/(1+tan12);fL=L+cos1+cos2+cos3+cos4+cos5;s=f5/(7*g);x=fx/(7*g)*asinh(s*7*g/fx);y=sqrt(s2+(fx/(7*g)2)-fx/(7*g);ff=y+fL-18

31、;fplot(ff,);g=matlabFunction(ff);%h,k=eff(g,?%结果是，带入求得s为负值，舍去h,k=eff(g,;x=vpa(subs(x,h);s=vpa(subs(s,h);y=vpa(subs(y,h);fL=vpa(subs(fL,h);%vpa(subs(F,h)tan1=(subs(tan1,h);a1=vpa(atan(tan1);tan2=subs(tan2,h);a2=vpa(asin(tan2);tan3=subs(tan3,h);a3=vpa(asin(tan3);tan4=subs(tan4,h);a4=vpa(asin(tan4);tan

32、5=subs(tan5,h);a5=vpa(asin(tan5);ha=vpa(a1,a2,a3,a4,a5*180/pi)you=+x+vpa(subs(sin1+sin2+sin3+sin4+sin5,h)附录三风速为?时p=1025;g=;v=36;s=;syms?L;fx=*(2-L)*v*v;a=pi*p*g*L;f0=a-1000*g;f1=a-1010*g;f2=a-1020*g;f3=a-1030*g;f4=a-1040*g;f5=a-2340*g+120/786*p*g+2*pi*g*p;tan1=fx/(a-1005*g);cos1=sqrt(1/(1+tan12);sin

33、1=sqrt(tan12/(1+tan12);tan2=fx/(a-1015*g);cos2=sqrt(1/(1+tan22);sin2=sqrt(tan12/(1+tan12);tan3=fx/(a-1025*g);cos3=sqrt(1/(1+tan32);sin3=sqrt(tan12/(1+tan12);tan4=fx/(a-1035*g);cos4=sqrt(1/(1+tan42);sin4=sqrt(tan12/(1+tan12);tan5=fx/(a-1090*g+60/786*p*g+*2*pi*g*p);cos5=sqrt(1/(1+tan52);sin5=sqrt(tan12/(1+tan12);