数学建模五步法与灵敏度分析

1、简介：研究与剖析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或四周条件变化的敏感程度的方法。在最优化方法中常常利用敏捷度剖析来研究原始数据不正确或发生变化时最优解的稳固性。经过敏捷度剖析还能够决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。所以，敏捷度剖析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各样方案进行评论时都是很重要的。用途：主要用于模型查验和推行。简单来说就是改变模型原有的假定条件以后，所获取的结果会发生多大的变化。举例（建模五步法）：一头猪重200磅，每日增重5磅，饲养每日需花销45美分。猪的市场价钱为每磅65美分，但每日降落1美分，求销售猪的最正确时间。成立数学模型的五个步骤：提出问题选择建模方法推

2、到模型的数学表达式求解模型回答下列问题第一步：提出问题将问题用数学语言表达。例子中包含以下变量：猪的重量w（磅），从此刻到销售猪时期经历的时间t（天），t天内饲养猪的花销C（美元），猪的市场价格p（美元/磅），销售生猪所获取的利润R（美元），我们最后要获取的净利润P（美元）。还有一些其余量，如猪的初始重量200磅。（建议先写不言而喻的部分）猪从200磅按每日5磅增添（w磅）=（200磅）+（5磅/天）*（t天）饲养每日花销45美分（C美元）=（美元/天）*（t天）价钱65美分按每日1美分降落（p美元/磅）=（美元/磅）-（美元/磅）*（t天）生猪利润（R美元）=（p美元/磅）*（w磅）净利润（

3、P美元）=（R美元）-（C美元）用数学语言总结和表达以下：参数设定：t=时间（天）w=猪的重量（磅）p=猪的价钱（美元/磅）C=饲养t天的花销（美元）R=销售猪的利润（美元）P=净利润（美元）假定：w=200+5tC=p=目标：求P的最大值第二步：选择建模方法本例采纳单变量最优化问题或极大极小化问题第三步：推导模型的数学表达式子P=R-C（1）R=p*w（2）C=（3）获取R=p*p=（4）w=200+5t（5）获取P=（令y=P是需最大化的目标变量，x=t是自变量，此刻我们将问题转变为会合S=x:x=0上求函数的最大值：y=f（x）=（1-1）第四步：求解模型用第二步中确立的数学方法解出步骤

4、三。例子中，要求（1-1）式中定义的y=f（x）在区间x=0上求最大值。下列图给出了（1-1）的图像和导数（应用几何画板绘制）。在x=8为全局极大值点，此时f（8）=。所以（8，）为f在整个实轴上的全局极大值点，同时也是区间x=0上的最大值点。第五步：回答下列问题依据第四步，8天后销售生猪的净利润最大，能够获取净利润美元。只需第一步中的假定成立，这一结果正确。数学建模五步方法总结：第一步：提出问题1）列出问题中波及的变量，包含适合的单位；2）注意不要混杂变量和常量；3）列出你对变量所做的所有假定，包含等式和不等式；4）检查单位进而保证你的假定存心义；5）用正确的数学术语给出问题的目标。第二步：

5、选择建模方法1）选择解决问题的一个一般的求解方法；2）一般地，这一步的成功需要经验，技巧和熟习有关文件。第三步：推导模型的数学表达式1）将第一步中获取的问题从头表完成第二步选定的建模方法所需要的形式；2）将第一步中的一些变量名改成与第二步所用的记号一致；3）记下任何增补假定，这些假定是为了使第一步中描绘的问题与第二步中选定的数学构造相适应而做出的。第四步：求解模型1）将第二步中所采纳的一般求解过程应用于第三步获取表达式的特定问题；2）注意你的数学推导，检查能否有错误，你的答案能否存心义；3）采纳适合的技术，计算机代数系统，图形工具，数值计算的软件等，都能扩大你能解决问题的范围，并能减少计算错误

6、。第五步：回答下列问题1）用非技术性的语言将第四步的结果从头表述；2）防止数学符号和术语；3）能理解出处提出的问题的人就应当能理解你给出的答案。敏捷度剖析数据是由丈量，察看有时甚至完整猜想获取的，所以，我们要考虑数据不正确的可能性。上例中，生猪此刻的重量，此刻的价钱，每日饲养花销都很简单丈量，并且有相当大确实定性。可是猪的生长率则不那么确立，而价钱的降落率则确立性更低，记r为价钱的降落率，此刻假定r的实质值不一样，对几个不一样的r值重复前面的求解过程，我们会对问题的解对于r的敏感程度有所认识。下表给出了几个不一样r值求出的计算结果。依据表格绘制图形，我们能够看到售猪的最优时间对参数r很敏感。r

7、（美元/天）x（天）对敏捷度的更系统的剖析是将r视为未知参数，按前面的步骤求解，写出p=。获取y=f（x）=（）（200+5x）。使得导数为0，获取x=（7-500r）/25r，当x=0时，只需0r=0时，获取g=。我们将敏捷度数据用相对改变量表示，比如：r降落10%以致了x增添了39%，而g降落了10%以致了x降落了34%。假如x的改变量x，则x/x表示相对改变量。假如r改变了r，以致了x有x的改变量，则相对改变量的比值为（x/x）/（r/r），令r0，我们有（x/x）/（r/r）（dx/dr）*（r/x）。我们称这个极限值为x对r的敏捷度，即为S（x，r）。在售猪问题中，r=和x=8获取d

8、x/dr=-7/25r2=-2800，所以S（x，r）=(dx/dr)*(r/x)=-2800*8)=-7/2，即若r增添2%，则x降落7%。因为dx/dg=245/2g2=,我们有S（x，g）=(dx/dg)*(g/x)=*（5/8）=。于是猪的生长率增添1%，会以致大概等候3%的时间再将猪售出。敏捷度剖析的成功应用要有较好的判断力，往常即不行能对模型中的每个参数都计算敏捷度剖析，也没有特其余要求。我们需要选择那些有较大不确立性的参数进行敏捷度剖析。对敏捷度系数的解说还要依靠与参数的不确立程度，主要问题是数据的不确立程度影响答案的置信度。在这个问题中，我们往常以为猪的生长率g比价钱降落率r更

9、靠谱。假如我们察看了猪或许其余近似动物在过去的生长状况，则g有25%的偏差会是很不平常的，但对r的预计有25%的偏差则不以为奇。数学模型的稳重性一个数学模型称为稳重的，是指即便这个模型不完整精准，由其导出的结果也是正确的。在实质问题中，我们不会有绝瞄正确的信息，即便能够成立一个完满的精准模型，我们也可能采纳较为简单和易于办理的方法。出于数学办理的方便和简化的目的，常常要做一些假定，建模者有责任要观察这些假定能否太特别，以致使模型的结果无效。上例中我们主假如假定猪的重量和每磅的价钱都是时间线性函数。假定一年后，猪的重量为200+5*365=2025磅，卖出利润为美元/磅。一个更加实质的模型应当考虑到这些函数的非线性性，又考虑到跟着时间的推移不确立性的增添。观察售猪问题中的线性假定。基本方程为P=。假如模型初始数据和假定没有与实质相差太远，则售猪的最正确时间应当有令P求导为0获取。计算后有pw+pw=，获取只需猪价比饲养的花费增添快，就应临时不卖出。此中，pw为价钱降落带来的损失，pw为猪增重而增添的价值。考虑更一般的模型的状况，猪的将来增添和价钱的将来变化其实不确立。假定