东北师大附属中学高三一轮导学案：推理与证明【A】

1、推理与证明学案A一、知识梳理1.合情推理包括 和 ； 归纳推理：从个别事实中推演出 ，这样的推理通常称为归纳推理；归纳推理的思维过程是： 、 、 .类比推理：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也 或 ，这样的推理称为类比推理，类比推理的思维过程是： 、 、 .2.演绎推理：演绎推理是 ，按照严格的逻辑法则得到的 推理过程；三段论常用格式为：M是P， ，S是P；其中是 ，它提供了一个个一般性原理；是 ，它指出了一个个特殊对象；是 ，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断.合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的

2、经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的思维方法；在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有得于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程3直接证明与间接证明（1）.直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明；直接证明的两种基本方法分析法和综合法 综合法 ；分析法 ；（2）. 间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法；反证法即从 开始，经过正确的推理，说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（归谬法）.4

3、数学归纳法：（理科内容）(1).归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法特点：特殊一般.(2).不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法 (3).完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法HYPERLINK /wxc/.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法(4).数学归纳法:对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然

4、后假设当(，)时命题成立，证明当命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.(5).数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当(，)时，命题成立HYPERLINK /wxc/.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，命题都成立HYPERLINK /wxc/.(6).用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：.证明：当取第一个值结论正确；.假设当(，)时结论正确，证明当时结论也正确由、可知，命题对于从开始的所有正整数都正确.数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳

5、假设要用到，结论写明莫忘掉.(7).用数学归纳法证题时，两步缺一不可；.证题时要注意两凑：一凑归纳假设，二凑目标. 二、题型探究题型一：合情推理与类比推理应用例1. 已知：； 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：_=（ * ）并给出（ * ）式的证明.解：一般形式: 证明：左边 = = = = = （将一般形式写成 等均正确。）变式训练1：设，nN，则 解：，由归纳推理可知其周期是4例2. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLM

6、N，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .解：。变式训练2：在ABC中，若C=90，AC=b,BC=a，则ABC的外接圆的半径，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。答案：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形，所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体ABCD，且AB=a，AC=b，AD=c，则此三棱锥的外接球的半径是。例3. 请你把不等式“若是正实数，则有”推广到一般情形，并证明你的结论。答案： 推广的结论：若 都是正数， 证明： 都是正数 ，变式训练3：观察式子：，则可归纳出式子为（ ）

7、A、 B、C、 D、答案：C。解析：用n=2代入选项判断。探究二 演绎推理的应用例4. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误答案：A。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。变式训练4：“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。答案：菱形对角线互相垂直且平分探究三直接证明与间接证明例1若均为实数，且。求证：中至少有一个大于0。答案：（用反证法）假设都不大于0，即，则

8、有，而 =均大于或等于0，这与假设矛盾，故中至少有一个大于0。变式训练1：用反证法证明命题“可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除。”那么假设的内容是 答案：a,b中没有一个能被5整除。解析：“至少有n个”的否定是“最多有n-1个”。例2. ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：。答案：证明：要证，即需证。即证。又需证，需证ABC三个内角A、B、C成等差数列。B=60。由余弦定理，有，即。成立，命题得证。变式训练2：用分析法证明：若a0，则。答案：证明：要证，只需证。a0，两边均大于零，因此只需证只需证，只需证，只需证，即证，它显然成立。原不等式成立。探究四数学归纳法例1已知数列，记求

9、证：当时，（1）；（2）；（3）。解：（1）证明：用数学归纳法证明当时，因为是方程的正根，所以假设当时，因为 ，所以即当时，也成立根据和，可知对任何都成立（2）证明：由，（），得因为，所以由及得，所以（3）证明：由，得所以，于是，故当时，又因为，所以三、方法提升：四、反思感悟 五、课时作业：推理与证明测试题1.考察下列一组不等式： .将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推式可以是 .已知数列满足，（），则的值为 ， 的值为 3. 已知 ，猜想的表达式为（ ）A.； B.； C.； D.4. 某纺织厂的一个车间有技术工人名（），编号分别为1、2、3、，有台（）织布机，编号分别为1、2、3

10、、，定义记号：若第名工人操作了第号织布机，规定，否则，则等式的实际意义是（ ）A、第4名工人操作了3台织布机； B、第4名工人操作了台织布机；C、第3名工人操作了4台织布机； D、第3名工人操作了台织布机.5. 已知，计算得，由此推测：当时，有 6. 观察下图中各正方形图案，每条边上有个圆圈，每个图案中圆圈的总数是，按此规律推出：当时，与的关系式 观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，则可得出一般结论： .8.函数由下表定义：若，则 9.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如

11、图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_颗珠宝;则前件首饰所用珠宝总数为_ 颗.(结果用表示)图1图2图1图2图3图4第1列第2列第3列第4列第5列第1行1357第2行1513119第3行171921232725那么2003应该在第 行，第 列。如右上图，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，一直数到

12、2008时，对应的指头是 (填指头的名称). 12.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，中，第25项为_13观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有 个小正方形.14同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖_块（用含n的代数式表示）15.如图所示，面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则.类比以上性质,体积为的三棱锥的第个面的面积记为, 此三棱锥内任一点到第个面的距离记为,若, 则 ( B ) A. B. C. D. 16.设O是 QUOTE 内一点，三边上的高分别为，O到三边的距离依次为，则_

13、_，类比到空间，O是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别为，O到这四个面的距离依次为，则有_ _ 17在中，两直角边分别为、，设为斜边上的高，则，由此类比：三棱锥中的三条侧棱、两两垂直，且长度分别为、，设棱锥底面上的高为，则 18、若数列是等差数列，对于，则数列也是等差数列。类比上述性质，若数列是各项都为正数的等比数列，对于，则= 时，数列也是等比数列。19已知ABC三边a，b，c的长都是整数，且，如果bm（mN*），则这样的三角形共有 个（用m表示）20如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n2)行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加则第n行(n2)

14、中第2个数是_（用n表示）.21在ABC中，判断ABC的形状并证明.22已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.应假设 23.中，已知，且，求证：为等边三角形。 24如图，、 是曲线：上的个点，点（）在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）（1）写出、；（2）求出点（）的横坐标关于的表达式并证明.推理与证明测试题答案23. B.4. A 5.6. 7. 9. 10.251,3 11、食指 12.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，中，第25项为_7_1314 15、

15、B提示:平面面积法类比到空间体积法1. 提示：平面面积法类比到空间体积法1718、提示：等差数列类比到等比数列，算术平均数类比到几何平均数19 2021解: 所以三角形ABC是直角三角形22 三个方程中都没有两个相异实根 证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，则1=4b24ac0，2=4c24ab0，3=4a24bc0.相加有a22ab+b2+b22bc+c2+c22ac+a20，（ab）2+（bc）2+（ca）20. 由题意a、b、c互不相等，式不能成立.假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.方法总结：反证法步骤假设结论不成立推出矛盾假设不成立.凡是“至少”、“唯一”或含有

16、否定词的命题适宜用反证法.23.解: 分析：由 由 所以为等边三角形24.如图，、 是曲线：上的个点，点（）在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）（1）写出、；（2）求出点（）的横坐标关于的表达式并证明.解:（）.6分（2）依题意，得，由此及得，即由（）可猜想：下面用数学归纳法予以证明：（1）当时，命题显然成立；（2）假定当时命题成立，即有，则当时，由归纳假设及得，即，解之得（不合题意，舍去），即当时，命题成立 由（1）、（2）知：命题成立.10分数学学归纳法及其应用举例一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1若f（n）1 （nN*），则当n1时，f（n）为A1B C1 D非以

17、上答案2用数学归纳法证明1aa2an1（a1，nN*），在验证n1成立时，左边计算所得的项是A1B1aC1aa2D1aa2a33某个命题与自然数n有关，如果当nk（kN*）时，该命题成立，那么可推得当nk1时命题也成立现在已知当n5时，该命题不成立，那么可推得A当n6时该命题不成立；B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立D当n4时该命题成立4如果命题P（n）对nk成立，则对nk2也成立，又若P（n）对n2成立，则下列结论正确的是AP（n）对所有自然数n成立BP（n）对所有正偶数n成立CP（n）对所有正奇数n成立DP（n）对所有大于1的自然数n成立5已知数列an中，a11，a22，an12a

18、nan1（nN*），用数学归纳法证明a4n能被4整除，假设a4k能被4整除，应证Aa4k1能被4整除Ba4k2能被4整除；Ca4k3能被4整除Da4k4能被4整除6用数学归纳法证明，“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”时，第2步归纳假设应写成A假设n2k1（kN*）时正确，再推证n2k3时正确B假设n2k1（kN*）时正确，再推论n2k1时正确C假设nk（k1）时正确，再推论nk2时正确D假设nk（k1）时正确，再推论nk2时正确二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）7连续两个自然数之积一定能被2整除，连续三个自然数之积一定能被_整除；连续四个自然数之积一定能被_整除8a1，a

19、n1，猜想an_9已知数列，计算得S1，S2，S3，由此可猜测：Sn_10用数学归纳法证明“对一切正整数n，都有2n2n2”这一命题时，证明过程中的第（1）步，n应该验证_11用数学归纳法证明命题：当nN时，11n2122n1能被133整除，假设nk， kN*时命题成立，推论nk1时命题也成立，应添加的辅助项为_三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）12用数学归纳法证明（3n1）7n1能被9整除（nN*）13是否存在常数a、b使等式对一切nN*都成立14已知正数数列an（nN*）中，前n项和为Sn，且2Snan，用数学归纳法证明：an参考答案一、1C2C3C4B5D6B二、7624

20、89 10n1，2，3时命题成立1111122k111122k1或14411k214411k2三、12证明：（1）n1时，47127能被9整除（2）假设nk（kN*），（3k1）7k1能被9整除那么，当nk1时，3（k1）17k11（3k1）3（16）7k1（3k1）7k1（3k1）67k217k（3k1）7k1（3k67k）（621）7k以上三式均能被9整除，则nk1时，命题成立据（1）（2）可知，命题对一切正整数n都成立13证明：令n1，2，得现用数学归纳法证明对nN*，都有证明：（1）当n1时，由上可知等式成立（2）假设nk时，（kN*），等式成立即成立当nk1时nk1时，等式成立，由（

21、1）（2）知对一切nN*，等式都成立14证明：（1）当n1时a1S1a121（an0）a11，又1n1时，结论成立（2）假设nk时，（kN*），结论成立，即ak当nk1时，ak1Sk1Skak122ak110解得ak1（an0）nk1时，结论成立由（1）（2）可知，对nN*都有an数学归纳法测评一、选择题1.用数学归纳法证明“”从到左端需增乘的代数式为（ ）A B C D2.凸边形有条对角线，则凸边形的对角线的条数为（ ）ABCD3.已知，则（ ）A BC D4.如果命题对成立，那么它对也成立，又若对成立，则下列结论正确的是（ ）A对所有自然数成立 B对所有正偶数成立C对所有正奇数成立 D对所有大于1的自然数成立5.用数学归纳法证明，“当为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成（ ）A假设时正确，再推证正确B假设时正确，再推证正确C假设的正确，再推证正确D假设时正确，再推证正确6.用数学归纳法证明不等式时，不等式在时的形式是（ ）ABCD7.用数学归纳法证明能被8整除时，当时，对于可变形为（）8.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（）19.已