简单巨系统精品课件

1、简单巨系统第1页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二简单系统与简单巨系统熵简单巨系统的基本概念系统演化的分析方法简单巨系统理论的应用简单巨系统是研究其他巨系统的基础。自组织理论是其研究工具。 2022/9/262第2页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二一、简单系统与简单巨系统 指不需要分层次或仅有一个层次的系统。用牛顿力学理论（叠加原理）来讨论的系统即是简单系统，判断简单系统的主要标准。应着重在以下方面理解简单系统理论： (1) 简单系统是一个模型。可以包括从宇宙天体系统到微观原子系统在内的一大类系统。(2)简单系统看重分析方法与思想。不在于子系统数量的多

2、少。(3)简单系统的子系统与系统之间满足叠加原理。(4)简单系统没有层次概念。 1、简单系统2022/9/263第3页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二现实中简单系统很少。可以简化成简单系统的条件：(1)子系统之间非线性作用微弱；(2)子系统之间关系只发生在两两之间，不涉及第3个子系统。一个简单系统可以得到对系统状态描述完全确定性的结果，不存在演化，是完全静止的。简单巨系统比简单系统复杂，但仍然是一种理论模型。简单巨系统内子系统之间的相互作用通常是已知的、确定的，可以用确定的规律来描述各子系统之间的作用。但各子系统之间的作用规律是非线性的，系统的整体性质不能从子系统叠加得到

3、，会“涌现”新的性质。这是与简单系统的根本差别。2、简单巨系统2022/9/264第4页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二简单巨系统也出现层次的概念。至少可以分成两个层次，即系统层次和子系统层次，两个层次之间不存在叠加原理。不同层次上对系统演化描述是不同的。如热力学系统，在系统层次通常采用温度、压强、体积等物理量，而在子系统层次则用分子的动能、速度等物理量。简单巨系统不再适用叠加原理，其两个层次之间的物理量不能通过叠加原理得出，通常需在各层次上独立分析，得到结果。2022/9/265第5页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二二、熵简单巨系统的基本概念 熵：

4、衡量子系统对系统总体性质的贡献大小的物理量。通过对熵概念发展历史的了解和熵物理量性质的认识，给出简单巨系统熵的定义和性质。在热力学中熵是热力学系统演化过程中不可逆性的一个度量：在孤立的热力学系统(热力学第二定律)中，自发演化过程中熵不可能减少，系统最终达到熵最大的状态。演化中，两个状态之间熵变化的具体数值，由联系两个状态之间可逆等温过程中系统吸收的热量除以温度的商值表示：1、波尔兹曼(L.Boltzman)熵这是熵最初的概念和性质。是描述系统状态的量，以系统状态之间的差值表示。2022/9/266第6页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二 Boltzman在统计物理学中讨论由

5、大量微观粒子组成的系统，通过平衡态的热力学第一定律，在给定了熵的零点值后，得到系统某个宏观状态的熵值S，其表达式为：kB为波尔兹曼常量，W为宏观状态下对应系统的微观状态数。热力学系统的一种微观状态就是分子的一种分布排列。对于系统某一宏观状态而言，其包含的微观状态数量多，系统宏观状态的熵就高，表明其混乱程度大。系统不同的状态对应不同的熵值，熵值大小与演化过程无关。统计物理熵仅适用于平衡态，因平衡态下的物理量如温度、压强等才有意义。2022/9/267第7页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二热力学第一定律也叫能量不灭原理，就是能量守恒定律。表示热能可以从一物体传递给另一物体，也

6、可以与机械能或其他能量相互转换，在传递和转换过程中，能量的总值不变。 表征热力学系统能量的是内能。通过作功和传热，系统与外界交换能量，使内能有所变化。根据普遍的能量守恒定律，系统由初态经过任意过程到达终态后，内能的增量U应等于在此过程中外界对系统传递的热量Q 和系统对外界作功W之差，即 UUUQW （化学中普遍使用） U = Q+ W（这里的W是外界对系统做的功，物理中普遍使用） 如果除作功、传热外，还有因物质从外界进入系统而带入的能量Z，则应为UQWZ。当然，上述U、W、Q、Z均可正可负（使系统能量增加为正、减少为负）。2022/9/268第8页，共34页，2022年，5月20日，5点53分

7、，星期二 一个处在非平衡态的系统，熵等于其各个局部分别处在各自平衡态上的熵之和。 两个要求：(1) 系统的各个局部处在平衡态；(2)系统满足叠加原理，即每个局部在构成系统时满足，而不是子系统满足。信息论将信息概念加以推广，可在一般系统范围内使用。在概率论基础上，将信息熵加以推广，形成概率测度熵。定义：设一样本空间X有n个事件Xi，Xi出现的概率为Pi，存在2、概率测度熵2022/9/269第9页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二若有一函数H(P1,Pn)满足下列条件：(1)对于固定的n, H是P1,Pn的连续函数；(2)若Pi=1/n,则对应的H(1/n,1/n)应是n的单

8、调递增函数；(3)若将一试验分解成多个相继的试验，则原先的H值应为分解后多个试验相应各个H值的加权和（叠加原理）。则H(P1,Pn)为熵。可以证明：一个系统内每一个元素的概率测度，即不确定性为Pi，则整个系统的不确定性程度为H。对于具有n个子系统的系统，其各个子系统的测度Pi(Xi)=1/n时可有： 2022/9/2610第10页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二即，等同于波尔兹曼熵，可以认为波尔兹曼熵是概率测度熵在各子系统出现概率一样的特殊情况。一个包含有N个子系统的系统，系统整体层次的不确定性是由子系统的不确定性造成的。如何衡量系统的整体不确定性？就是要满足概率测度熵的

9、三个条件。如果简单巨系统的一部分具有可加性或具有可加性的物理量，则可以建立熵概念。2022/9/2611第11页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二3、简单巨系统熵的定义简单巨系统熵：对于一个由N个子系统组成的简单巨系统，若系统具有可加性的某性质，其测得总量为X，子系统i的测量值为Xi，对总量的贡献为Pi=Xi/X，则系统关于性质的熵值为：适用范围：(1) 只能衡量满足叠加原理的简单巨系统，或具有可加性性质的整体与局部之间的关系；(2) 同一简单巨系统可以定义多个熵，对应不同具有可加性的性质，讨论不同性质下系统整体与局部的关系。2022/9/2612第12页，共34页，202

10、2年，5月20日，5点53分，星期二4、简单巨系统熵对系统的描述简单巨系统熵可以描述系统的状态，是态函数。其零值也被指定，即当系统该性质数值仅由其中一个确定的子系统提供，其余子系统对该性质的贡献为零时，系统对该性质的熵定为零。简单巨系统熵可以描述系统以该物理量为标志的演化方向。在简单巨系统与外界交流进行演化时，其熵值增加，表示系统向着各子系统对系统该性质均匀进行贡献的方向发展；熵值减少，表示系统向着某一单个子系统对系统该性质主要进行贡献的方向发展。【例】一个由A、B、C三个子系统(工厂)组成的简单巨系统(某个行业)，总生产量为300单位不变，三个子系统生产量不同，系统熵值不同。2022/9/2

11、613第13页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二若三个子系统生产量均匀，此时系统的熵值：若A生产150，B生产100，C生产50，此时系统的熵值：显然H1H2，即均匀贡献的系统熵值大于某个子系统贡献大的系统熵值。2022/9/2614第14页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二三、系统演化的分析方法 简单巨系统的演化性质一般是由非线性微分方程解的特点来反映的，所以主要讨论方程解的性 质，但通常无法给出精确解的解析表达式。现有多种方法来讨论：（1）计算机数值模拟，属于计算数学；（2）微分方程稳定性理论可以定性分析系统性质。本节介绍几种处理无法精确求解微分方程

12、的较常见的数学分析方法。2022/9/2615第15页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二(6-1)1、微扰论渐变分析方法 其中：为小数（0 1）将x写成的幂级数：(6-2) 以振动原理为例：2022/9/2616第16页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二将(6-2)带入(6-1)，按的不同幂次可将(6-1)写成微分方程组：(6-3a)(6-3b)(6-3c)2022/9/2617第17页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二将x0(t)代入（6-3b），带有驱动项的振动方程：（6-3a）为标准简谐振动方程，0为振动频率，解为：(6-4)2

13、022/9/2618第18页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二 此解的第二项随时间增加而无限增大，称为久期项。(6-1)的解应反映系统在有限范围内运动，这里出现矛盾的原因在于解的级数性质。微扰论就是解决久期项使方程解不发散。 从系统演化机制上分析，若外加周期驱动力的频率与系统振动固有频率一致，则振幅不断加大，直至无穷。非线性恢复力的存在使如何判断外界驱动力对系统产生共振作用的部分带来困难。（6-4）方程解为：2022/9/2619第19页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二处理办法： 首先，把系统振动频率也写成幂级数，且当=0时=0； 第二，在具体求解xi

14、中，将驱动力中与固定频率0一样的部分之系数取为零。 令=t，假定系统开始无运动，初速度为零，即t=0，x0(0)=A0，x0(0)=0，按上述方法可求得：2022/9/2620第20页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二 该方法由天文学家林德斯泰特（Lindstedt）于1883年提出，庞加莱于1892年完善。微扰论的Lindstedt-Poincare method 适用于为小量，否则选用的级数不收敛。2、平均值分析变量相关性讨论 按数学理论，可定义一个变量的均值E(X)，涨落Var(X)，以及两个变量的关联Cov(X,Y)。对函数的导数可定义平均数：2022/9/2621

15、第21页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二若演化过程有限，不论t取何值，X值均不会为无穷，则(6-5) （6-5）表明导数平均值为零，可用于讨论一些生物化学系统演化方程的性质。 生物界及经济、社会等领域存在生存竞争现象，可建立相似的生存竞争模型。捕食者被捕食者演化系统为例。 设X表示被捕食者，Y表示捕食者。X的增加依赖于外界食物的供应量A，即A+X2X； 捕食过程，X减少和Y增加的程度与其数量成正比，即X+Y2Y； Y的减少， Y+B2E 。可以看成化学反应，X、Y分别表示反应中的中间产物，每一个式子表示一个反应。2022/9/2622第22页，共34页，2022年，5月2

16、0日，5点53分，星期二 上述三式中，A、B由外界条件控制其浓度变化，X、Y的浓度变化完全依靠系统内的动力学过程。三个反应的速率系数分别为k1、k2、k3，则X增加率：捕食过程：Y减少率：2022/9/2623第23页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二总括两个变量，三步反应，则系统总的演化方程为：经适当变换，标准的洛特卡沃尔泰拉方程：（6-6）2022/9/2624第24页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二 将（6-6）式稍作变化： （1）令aX=I(t)已知的规律变化; （2）被捕食者受环境影响，自身存在死亡率C； （3）捕食者的演化机制不变。（6-7

17、a）（6-7b）2022/9/2625第25页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二 比较上述两式知 Cov(X,Y)=0 ， 表明X、Y之间无关联，各自以自身的规律趋于定态解。由（6-7a）可变化:利用平均值方法对(6-7b)求：（6-8）2022/9/2626第26页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二 由此可知，X、Y变量的均值与I为常数的定态解一样，在I随时间变化时，只需要将I(t)用均值代替即可，其原因是定态解X*、Y*是稳定的。 再进一步分析，可得： （1）X与其增长率I是正相关的 （2）0Cov(Y,I)QVar(Y) 即：外界控制被捕食者X增长

18、的速率函数I与捕食者Y之间如果不是负相关，其关联程度也不可能大于捕食者Y的涨落量与Q的乘积。利用（6-8）可有:2022/9/2627第27页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二四、简单巨系统理论的应用 建立模型需要根据理论的框架和特点，针对实际问题的内容进行分析而建立。 牛顿力学理论研究在外力作用下系统机械运动的规律，对实际问题建立模型时，应着重分析系统受外力情况，并尽量设法描写系统整体的位置和速度。 控制理论研究系统在某些控制参量作用下运动变化的特点，建立模型时一定要选择确定控制参量，并主要分析控制参量与系统状态之间的联系。简单巨系统理论则不同，其子系统数目多，建立系统模

19、型时没有确定的模式或要求，但其演化方程必须是非线性微分方程，具有多个定态解，才能反映系统从无序到有序状态的变化。讨论实际系统的演化性质可分为：建立模型、求解模型、根据解来讨论系统性质等几个步骤。2022/9/2628第28页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二1、建立模型 人口空间分布：研究由于经济发展影响人口迁移造成空间分布上的变化。将人口系统看成由各种不同密度地区的人口（子系统）组成的复杂系统，地区的人口数量是重要的状态变量。 从演化机理上看，经济水平是迁移的主要原因，地区经济的整体水平是重要的状态变量。重点讨论城镇人口的变化。 设某城镇i的总人口为pi，其中在业人口Xi

20、和非在业人口ni，马尔萨斯人口方程：2022/9/2629第29页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二 假定经济仅影响失业人口ni 的迁移， Xi 变化可用逻辑斯谛方程描述：（6-9） 为Xi 增长速度系数，N为环境限制因子，(6-9)表示Xi 增长的最大极限。 Xi增长由二方面描述，Xi本身表明增长的动力，(N-Xi)表明增长的可能和余地。增长的动力由非在业人口ni而来。 非在业人口ni的演化由两部分组成： （1）单纯由出生率、死亡率决定的； （2）由人口迁移而来。2022/9/2630第30页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二用吸引力来描述人口迁移机制：Vij表示i点对j 点的人口吸引力。（6-10）（6-11）（6-12）2022/9/2631第31页，共34页，2022年，5月20日，5点53分，星期二 设Ji表