1991全国高考理科数学试题

1、(理工农医类)考生注意：这份试卷共三道大题(26个小题)满分120分一、选择题：本大题共15小题；每题3分，共45分在每题给出的四个选项中，只有一项是吻合题目要求的把所选项前的字母填在题后括号内(1)已知sin=4，并且是第二象限的角，那么tg的值等于()5(A)43(C)343(B)4(D)43(2)焦点在(1，0)，极点在(1，0)的抛物线方程是()(A)y2=8(x+1)(B)y2=8(x+1)(C)y2=8(x1)(D)y2=8(x1)(3)函数y=cos4xsin4x的最小正周期是()(A)2(B)(C)2(D)4若是把两条异面直线看作“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面

2、直线共有()(A)12对(B)24对(C)36对(D)48对(5)函数y=sin(2x+5)的图像的一条对称轴的方程是()2(A)x=(B)x=24(C)x(D)x548若是三棱锥SABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且极点S在底面的射影O在ABC内，那么O是ABC的()(A)垂心(B)重心(C)外心(D)内心(7)已知an是等比数列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于()(A)5(B)10(C)15(D)20(8)若是圆锥曲线的极坐标方程为=16，那么它的焦点的极坐标为()53cos(A)（0，0），（6，）(B)(3，0)，(3，0

3、)(C)（0，0），（3，0）(D)(0，0)，(6，0)(9)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中最少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同样的取法共有()(A)140种(B)84种(C)70种(D)35种(10)若是AC0且BC0，那么直线Ax+By+C=0不经过()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限设甲、乙、丙是三个命题若是甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么()丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件丙是甲的充要条件丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件(12)limn(1111)(11的值等于()(1)

4、(1)n345n2(A)0(B)1(C)2(D)3(13)若是奇函数f(x)在区间3，7上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间7，3上是()(A)增函数且最小值为5(B)增函数且最大值为5(C)减函数且最小值为5(D)减函数且最大值为5(14)圆x2+2x+y2+4y3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点共有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个(15)设全集为R，f(x)=sinx，g(x)=cosx，M=x|f(x)0，N=x|g(x)0，那么会集x|f(x)g(x)=0等于()(A)MN(B)MN(C)MN(D)MN二、填空题：本大题共5小题；每题3分，共15分把答案填在题

5、中横线上(16)arctg1+arctg1的值是_322不等式6xx21，那么a=在球面上有四个点P、A、B、C，若是PA、PB、PC两两互相垂直，且PAPBPCa那么这个球面的面积是三、解答题：本大题共6小题；共60分(本小题满分8分)求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的会集(本小题满分8分)已知复数z=1i,求复数z23z6的模和辐角的主值z1(本小题满分10分)已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC2求点B到平面EFG的距离(本小题满分10分)依照函数单调性的定义，证明函数

6、f(x)=x3+1在(，+)上是减函数(本小题满分12分)已知n为自然数，实数a1，解关于x的不等式logaxlog2x12loga3xn(n2)n1loganx1(2)nloga(x2a)a3(26)(本小题满分12分)双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为3的直线交双5曲线于P、Q两点若OPOQ，|PQ|=4，求双曲线的方程1991年一般高等学校招生全国一致考试数学试题(理工农医类)参照解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题所要观察的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常有的解法，若是考生的解法与本解答不同样，可依照试题的主要观察内容参照评分标准拟定相应评分细则

7、二、每题都要评阅终究，不要由于考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，若是该步今后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后边部分的给分，但不得超过后边部分应给分数的一半；若是这一步今后的解答有较严重的错误，就不给分三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，赞同考生在解题过程中合理省略非要点性的推导步骤四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数五、只给整数分数一、选择题本题观察基本知识和基本运算每题3分，满分45分(1)A(2)D(3)B(4)B(5)A(6)D(7)A(8)D(9)C(10)C(11)A(1

8、2)C(13)B(14)C(15)D二、填空题本题观察基本知识和基本运算每题(16)(17)14x|2x1(18)43三、解答题3分，满分15分(19)1+10(20)3a25(21)本小题观察三角函数式的恒等变形及三角函数的性质满分8分解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2xcos2x)2sinxcosx+2cos2x1分=1sin2x(1cos2x)3分=2sin2x+cos2x=2+2sin(2x+)5分4当sin(2x+)=1时y获取最小值226分4使y取最小值的x的会集为x|x=k3，kZ8分8(22)本小题观察复数基本看法和运算能力满分8分解：z23z6=

9、(1i)23(1i)6z11i13i2分=i2=1i4分1i的模r=12(1)2=2由于1i对应的点在第四象限且辐角的正切tg=1，所以辐角的主值=78分4本小题观察直线与直线，直线与平面，平面与平面的地址关系，以及逻辑推理和空间想象能力满分10分解：如图，连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O由于ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EFBD，H为AO的中点BD不在平面EFG上否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾由直线和平面平行的判判定理知BD平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离4分BDAC

10、，EFHCGC平面ABCD，EFGC，EF平面HCG平面EFG平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线6分作OKHG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离8分正方形ABCD的边长为4，GC=2，AC=42，HO=2，HC=32在RtHCG中，HG=3222222由于RtHKO和RtHCG有一个锐角是公共的，故RtHKOHCGOK=HOGC22211HG2211即点B到平面EFG的距离为21110分11注：未证明“不在平面上”不扣分BDEFG(24)本小题观察函数单调性的看法，不等式的证明，以及逻辑推理能力满分10分证法一：在(，+)上任取

11、x1，x2且121分xx则f(x2)f(x1)=x13x23=(x1x2)(x12x1x2x22)3分x1x2，x1x204分当x1x20；6分当x1x20时，有x12x1x2x220；f(x)f(x)=(2x1x2221128分即f(x2)f(x1)所以，函数f(x)=x3+1在(，+)上是减函数10分证法二：在(，+)上任取x1，x2，且x1x2，1分则f(x2)f(x1)=x13x23=(x1x2)(x12x1x2x22)3分12，xx1204分xx0又x12x221(x12x22)|x1x2|x1x22x12x1x2x220，f(x)f(x)=(xx)2112(x12x1x2x22)0

12、8分即f(x2)1(2)nloga(x2a)33当n为奇数时，1(2)n0，不等式等价于3logaa2xlog(xa)由于a1，式等价于x0 x2a0 xx2a0ax2xa0 xa114a114a2x2由于114a4a=a，222所以，不等式的解集为x|ax114a2当n为偶数时，1(2)nloga(x2a)由于a1，式等价于x0 x2a0 xx2a0ax2xa0 xaxa114a或114a10分xx22由于114a114a4aa，12分20，22所以，不等式的解集为x|x114a2综合得：当n为奇数时，原不等式的解集是x|a114ax2；当n为偶数时，原不等式的解集是x|x114a2本小题观

13、察双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合解析能力满分12分解法一：设双曲线的方程为x2y2a2b2=1依题意知，点P，Q的坐标满足方程组x2y21a2b2y3xc其中ca2b25将式代入式，整理得(5b23a2)x2+6a2cx(3a2c2+5a2b2)=03分设方程的两个根为x，x，若22b3，即直线与双曲线的两条125渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以依照根与系数的关系，有x1x26a2c23a25bx1x23a2c25a2b25b23a2由于P、Q在直线y=3(xc)上，可记为5P(x1，3(x1c)，Q(x2，3(x2c

14、)553(x1c)3(x2c)由OPOQ得55=1，x1x2整理得3c(x1+x2)8x1x23c2=0将，式及c2=a2+b2代入式，并整理得3a4+8a2b23b4=0，(a2+3b2)(3a2b2)=0由于a2+3b20，解得b2=3a2，所以c=22ab=2a由|PQ|=4，得(x23c)3c)22212155整理得(x1+x2)24x1x210=0将，式及b2=3a2，c=2a代入式，解得a2=1将a2=1代入b2=3a2得b2=3故所求双曲线方程为x2y2=13解法二：式以上同解法一5b23a206分8分10分12分4分解方程得x1=3a2c40ab2，x2=3a2c40ab26分5b23a25b23a2由于P、Q在直线y=3(xc)上，可记为P(x1，3(x1c)，Q(x2，3(x2c)5