级数的收敛性精品课件

1、级数的收敛性第1页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二1 级数的收敛性第十二章 数项级数第2页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二1. 计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积一、问题的提出第3页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二1. 无穷级数的定义设有数列un:u1, u2, , un, , 则称表达示为一个无穷级数，简称为级数. 其中， un称为级数的一般项或通项.无穷级数的概念第4页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二若级数的每一个项un均为常数，则称该级数为常数项级数；若级数的每一项均为同一个变量的

2、函数un = un(x), 则称级数为函数项级数.第5页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二例1. 下列各式均为常数项级数第6页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二例2. 下列各式均为函数项级数第7页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二2. 级数的敛散性定义无穷级数的前n项之和：称为级数的部分和.若存在，则称级数收敛，S称为级数的和：第8页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二若不存在(包括为)，则称级数发散.第9页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推播放第10页，共96

3、页，2022年，5月20日，9点54分，星期二观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推第11页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推第12页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推第13页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推第14页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推第15页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推第16页，共96页，2022

4、年，5月20日，9点54分，星期二周长为面积为第 次分叉：第17页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二于是有结论：雪花的周长是无界的，而面积有界雪花的面积存在极限（收敛）第18页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二例3. 讨论等比级数的敛散性.解：等比级数的部分和为：当公比 | r |1时，当公比 r =1时，当公比 r = 1时，Sn=a, n为奇数0, n为偶数, 故不存在. 综上所述，当公比| r |1时, 等比级数收敛；当公比| r |1时，等比级数发散.第20页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二例4. 讨论级数的敛散性.解：第2

5、1页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二而故，即该级数收敛.第22页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二3. 收敛级数的余项收敛级数称为收敛级数的余项，记为的和S与其部分和Sn的差SSn显然第23页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二二、级数收敛的必要条件定理：若级数收敛，则必有证 设第24页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二例5. 判别的敛散性.解：由于故该级数发散.第25页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二例6. 证明调和级数是发散的.证 调和级数的部分和有：第26页，共96页，2022年，5月2

6、0日，9点54分，星期二第27页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二由数学归纳法，得 k=0, 1, 2, 而故 不存在，即调和级数发散. 第28页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二若c0为常数，则有相同的敛散性，且三、无穷级数的性质性质1第29页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二证的部分和为的部分和为故从而同时收敛或同时发散.第30页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二若其和分别为S1和S2，则级数且性质2第31页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二证的部分和为：故第32页，共96页，2022年，5

7、月20日，9点54分，星期二即 级数收敛，且第33页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二例7. 因为等比级数所以级数第34页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二例8. 问题(1) 一个收敛级数与一个发散级数的和是收敛的还是发散的？答：是发散的.问题(2) 两个发散的级数之和是收敛的还是发散的？答：不一定.第35页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二 在一个级数的前面加上或者去掉有限项后，所得到的新的级数与原级数的敛散性相同. (但对收敛级数来说，它的和将改变.)性质3第36页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二证 设级数的

8、部分和为Sn,去掉级数的前面m项后得到的级数的部分和为S k:第37页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二由于Sm当m固定时为一常数，所以故 级数与级数第38页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二 对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍然收敛，且其和不变. 性质4第39页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二例9. 考虑一下几个问题：(1) 收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？答：不一定.(2) 发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？答：不一定发散.(3) 如果加括号后的级数仍发散，原级数是否也发散？答：原级数也发散.第40页，共96页，

9、2022年，5月20日，9点54分，星期二证明 四、级数收敛的必要条件：第41页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; 发散2.必要条件不充分.第42页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二讨论第43页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二8项4项2项2项 项由性质4推论,调和级数发散.第44页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二五、小结常数项级数的基本概念基本审敛法第45页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二思考题第46页，共96页，2022年，5月20日，9点5

10、4分，星期二思考题解答能由柯西审敛原理即知第47页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二练习题第48页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二第49页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二练习题答案第50页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二2 正项级数第十二章 数项级数第51页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二正项级数及其审敛法1.定义:这种级数称为正项级数.2.正项级数收敛的充要条件:定理部分和数列 为单调增加数列.第52页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二证明即部分和数列有界3.比较审

11、敛法第53页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二不是有界数列定理证毕.比较审敛法的不便:须有参考级数. 第54页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二解由图可知第55页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.第56页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二证明第57页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二4.比较审敛法的极限形式:设=1nnu与=1nnv都是正项级数,如果则(1) 当时,二级数有相同的敛散性; (2) 当时，若收敛,则收敛; (3) 当时, 若=1nn

12、v发散,则=1nnu发散;第58页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二证明由比较审敛法的推论, 得证.第59页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二第60页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二解原级数发散.故原级数收敛.第61页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二证明第62页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二收敛发散第63页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二比值审敛法的优点:不必找参考级数. 两点注意:第64页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二第65页，共96页，2

13、022年，5月20日，9点54分，星期二解第66页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二比值审敛法失效, 改用比较审敛法第67页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二级数收敛.第68页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二思考题第69页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二思考题解答由比较审敛法知 收敛.反之不成立.例如：收敛,发散.第70页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二练 习 题第71页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二第72页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二练习

14、题答案第73页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二3 一般项级数第十二章 数项级数第74页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二任意项级数的敛散性1. 交错级数及其敛散性 交错级数是各项正负相间的一种级数，它的一般形式为或其中，un0 (n=1, 2, )第75页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二定理(莱布尼兹判别法) 若交错级数满足条件(1) (2) unun+1 (n=1, 2, ) 则交错级数收敛，且其和S的值小于u1.(级数收敛的必要条件) 第76页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二证 只需证明级数部分和Sn当n

15、时的极限存在.1) 取交错级前2m项之和由条件(2)： unun+1，un0, 得S2m以及 由极限存在准则：第77页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二2) 取交错级数的前2m+1项之和由条件1):综上所述，有第78页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二例1. 讨论级数的敛散性.解：这是一个交错级数，又由莱布尼兹判别法，该级数是收敛.第79页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二例2. 判别级数的敛散性.解：这是一个交错级数，又令x2, +)，则x2, +)，故 f (x) 2, +)，即有unun+1成立，由莱布尼兹判别法，该级数收敛.第

16、80页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二解原级数收敛.第81页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二2. 任意项级数及其敛散性(1) 级数的绝对敛和条件收敛定义：若级数对收敛的；若级数但级数第82页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二定理：若(即绝对收敛的级数必定收敛)证： un |un|从而第83页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二上定理的作用：任意项级数正项级数第84页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二解故由定理知原级数绝对收敛.第85页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二定理

17、(达朗贝尔判别法) 设有级数若(1) 1 (包括= )时，级数发散；(3) =1时，不能由此断定级数的敛散性.第86页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二例5. 判别级数的敛散性.解：由P一级数的敛散性，即原级数绝对收敛.第87页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二例6. 判别的敛散性，其中，x1为常数.解：记第88页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二当|x|1时，=|x|1时，=1, 此时不能判断其敛散性.由达朗贝尔判别法：但|x|1时，从而，原级数发散.第89页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二例6. 级数是否绝对

18、收敛?解：由调和级数的发散性可知，故发散.但原级数是一个收敛的交错级数：故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的.第90页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二(2) 绝对收敛级数的性质 性质1. 任意交换绝对敛级数中各项的位置，其敛散性不变，其和也不变. 性质2. 两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对收敛的级数，且其和等于原来两个级数的和之积.第91页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星期二(3) 任意项级数敛散性的一个判别法定理(迪利赫勒判别法) 设有级数任意的 n 1 , 有un un+1, 且又n=1, 2, , M 0为与n无关的常数，则级数若对收敛.第92页，共96页，2022年，5月20日，9点54分，星