高中数学优质课课件《任意角》D15

1、人教A版数学必修四第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1 任意角 教学目标教法与学法 教学过程说 背景分析 评价分析说 课 内 容 本节课是人教A版数学必修4第一章三角函数中第一节第一课时内容，也是高中三角函数模块学习的第一课时. 作为章节的起始课，背后蕴含了丰富的数学思想，是培养学生用数学眼光观察世界的数学素养难得的素材. 首先用数学眼光来看生活中大量超出原来认知角的实例，要求我们必须把角的概念推广到任意角，才能解释清楚这些生活现象. 其次通过本节课的学习，使数学抽象、数学建模和逻辑推理等数学核心素养的培养可以得到有效落实. 最后在直角坐标系中表示任意角，会出现不同的角终边重合. 如何

2、区别它们，体现了数学中处理周期现象的一般原则. 这一点对于学生来说是陌生的，理解有一定困难，而突破这一难点对深入学习本章十分重要. 教材的地位和作用 从知识储备上, 学生在小学初中已经接触到角的定义, 所学角的范围仅限于0到360. 这是本节课乃至高中三角函数学习的生长点， 但原有角的认知已经不能完全解释生活中的一些现象，角的范围需要扩充. 在学习本节课之前，学生经历了几次数系的扩充，从自然数到正数，再到有理数，再到实数，每次数系的扩充都是为了满足生活生产的需要. 这是数学学习中的体验，也为本节课角的范围扩充到任意角奠定了坚实的基础. 从学生思维上, 高一学生正经历从形象思维到抽象思维的过渡阶

3、段, 学生具备了一定的抽象逻辑思维能力, 但整体思维水平还比较低, 本节课是提高学生思维水平的良好题材. 学生学情分析 重点: 将 的角的概念推广到任意角 难点: 角的概念的推广； 终边相同的角的表示 教学重难点1. 了解三角函数是刻画周期性变化规律的函数模型，了解任意角和象限角的概念，会在平面直角坐标系中讨论任意角，并能熟练写出与已知角终边相同的角的集合.2. 通过对任意角、象限角和终边相同的角的探究，培养学生思维的严谨性、深刻性, 激发积极探索的欲望. 感受到类比、由特殊到一般、数形结合、归纳总结等常见的数学研究方法.发展了数学抽象、数学建模、逻辑推理等核心素养.3.让学生通过观察生活中的

4、情景，感受角的概念推广的必要性. 理解数学在实际生活中的意义和价值，经历任意角数学表示的过程，体验、感受数学发现和创造的快乐. 教学目标 本节课我采用问题引导探究的教学方式，在课堂教学中始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过试验操作，设置问题串，引导学生思考、交流、讨论（直观感知、操作确认），调动学生参与活动的积极性，经历知识的形成和发展过程. 教法与学法 教学工具多媒体、ppt、几何画板、flash动画：充分发挥它们快捷、生动、直观的特点，有助于加深学生对问题的理解和认识，提高课堂效率.教学流程图尝试练习 引入新课巩固知识 归纳总结 建构概念教学评价 一、

5、创设情境，引入新课情境：播放体操运动的视频.问题1: 首先设置现实问题情境，我和朋友见面迟到了 5分钟， 但我认为我没有迟到，发现手表慢了5分钟, 我该怎么校准？假如手表快了1.25小时, 又该如何校准？校准后, 分针分别沿什么方向旋转了多少度？(教师组织学生进行讨论, 然后学生对不同的回答进行评价, 教师重点让学生关注旋转的方向、旋转量这两个要点.)设计意图：引发学生的认识冲突，说明角的概念扩展的必要性 . 一、创设情境,引发兴趣提问：想想用什么办法才能推广到任意角？结论：关键是用运动的观点来看待角的变化.结论：有必要将角的概念推广到任意角.教师在学生讨论的基础总出结生活中很多实例不在该范围

6、内，例如跳水运动员向内, 向外转体两周半；经过1小时, 秒针、分针各转了多少度？ 一、创设情境，引发兴趣问题2：你还能说出生活中角不在0到360之间的实例吗？（例如：摩天轮、钥匙开门、芭蕾舞旋转等）1. 任意角的定义提出问题：（1）初中是如何定义角的？角的范围是什么？（2）通过前面提到的实际问题，能用学过的角的定义 刻画吗？（3）要刻画这些角的关键是什么？说明：初中定义的概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是0, 360). 这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”. 二、合作探究 ，建构概念设计意图：初中所学的的角已经不能刻画所有的角，引发学生的认知冲突，

7、 感受角的概念推广的必要性，体会需要从旋转量和旋转方向两个角度将角进行推广 .2角的概念的推广“旋转”形成角 如图：一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角 旋转开始时的射线OA叫做角的始边，旋转终止的射线OB叫做角的终边，射线的端点O叫做角的顶点 二、合作探究 ，建构概念设计意图：通过两种角的定义， 让学生知道角可以理解是旋转形成的， 强调高中所学习的角是动态的，而不是静态的图形.并感受到角的三要素.“正角”、“负角”与“零角”我们规定：把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角=210，=150

8、，=660. 二、合作探究 ，建构概念特别地，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角这样零角的始边与终边重合.如果是零角，那么= 0. 角的记法：角或可以简记成. 二、合作探究，建构概念提问：角的概念扩展的意义是什么？ （用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了.）说明：正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样提问（1）手表慢了5分钟,手表快了1.25小时，分针旋转时形成了多少度角？ （2）正常情况下，如果以零时为起始位置，那么钟表的时针或分针在 旋转时所形成角总是什么角？（用正角或负角选择.）设

9、计意图：引导学生类比正负数的规定及数的扩充，建构任意角的概念，培养学生思维的深刻性和严谨性，发展学生数学抽象的核心素养。通过自主发现问题、自主探究问题和解决策略，让学生在“情”中求“理”，让数学概念在自然中生成. 活动一：请每个学生画一个 的角，并收集 几个同学画的结果进行展示.提出问题：（1）为什么同样是画150的角，大家画出 的图形位置不同呢？ （2）如何对角统一进行研究呢？ （3）固定了顶点和始边后，再画同一个角时 图形还会不会不一致？ 二、合作探究，建构概念结论：为了研究方便，我们往往在平面直角坐标 系中来讨论角. 3.象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合. 那么，角

10、的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 二、合作探究，建构概念提问：直角坐标系中研究角有什么好处？设计意图：为了提醒学生,在同一参照系下,可以使角的讨论得到简化,还能有效地表现出角的终边位置周而复始的现象.为本节课难点终边相同的角提供图形支撑,也让学生感受直角坐标系下表示角的必要性,并为下一步研究三角函数奠定基础.练习：30、390、330、 60、270都是象限角 吗？如果是，分别是第几象限角？ 其中30、390、330角的终边有何特点？ （角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限, 称之为轴线角.） 二、合作探究，建构概念活动二：将角按照上述方法放在直角坐标系中后给定一个角,

11、 都有唯一的一条终边与之对应.反之, 对于直角坐标系内任意一条射线, 以它为终边的角是否唯一？如果不唯一, 那么终边相同的角有什么关系？提问：（1）作图观察：390，330角, 它们的终边都与30角的终边有什么 关系？ （2）提问并探究：终边相同的角之间的大小有什么关系？ （3）提问：都有哪些角的终边与 32角的终边相同？ （用几何画板将学生讲出来的角画出来.） 终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与 k(kZ)个周角的和.问题： 330=30+ k 360(k=_); 30=30+ k 360 (k=_) ; 390=30+ k 360 (k=_); 750=30+ k 360(k=_

12、); 1110=30+ k 360 (k=_) . 则与30终边相同的角可以怎么表示？4终边相同的角 设计意图：先抛出问题，让学生尝试回答，可能产生疑惑，然后引导学生先从熟悉能画出的角自己操作，猜想结论，再通过非特殊角用几何画板直观感受，将数和形联系起来，使角的几何表示和集合表示相结合，从而归纳出一般形式. 二、合作探究，建构概念结论： 所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合： | =+k360(kZ)即：任何一个与角终边相同的角, 都可以表示成角与整数个周角的和.引导注意以下三点：（1） kZ； （2）是任意角；（3）终边相同的角不一定相等, 但相等的角, 终边一定相同, 终边相同的角有

13、无数多个,它们相差360的整数倍.设计意图：告诉学生数学概念是严谨的,加深对概念的理解.学生通过具体的问题的探究，归纳总结得到与终边相同角的集合形式，提升学生的数学建模素养. 二、合作探究 ，建构概念例1 在0到360范围内, 找出与下列各角终边相同的角, 并判断它是哪个象限的角.(1) 120；(2) 640；(3) 95012. 三、例题讲解，巩固知识设计意图：(1)(2)小题让学生独立完成， 第（3）小题先引导学生估计其大致是360的多少倍， 体现数据分析的核心素养. 并为以后证明恒等式、化简以及利用诱导公式求三角函数的值等奠定基础.例2 （1）写出终边在y轴非负半轴上角的集合？ （2）

14、写出终边在y轴非正半轴上角的集合？ （3）写出终边在y轴上角的集合？设计意图：让学生理解终边在坐标轴上的角的表示, 巩固终边相同角的表示, 体会表示方法不唯一, 要注意采用简约的形式. 三、例题讲解，巩固知识例3 写出终边在直线 y=x 上的角的集合S , 并把S中适合不等式 -360 720的元素写出来.设计意图：让学生表示终边在已知直线的的角, 再次巩固终边相同角的表示, 涉及与集合知识和集合运算, 体验知识交汇的重要性. 三、例题讲解，巩固知识1.锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于 90的角是锐角吗？2.已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在x轴的正半轴上, 作出下列各角

15、,并指出它们是哪个象限的角？ (1)420 ,(2) 75 ,(3)855 ,(4) 5103. 写出终边在x轴上角的集合？ 四、分组训练，尝试练习 设计意图：巩固本节课对象限角的理解, 以及所学知识, 学会类比的数学方法.（1）小结与反思1.任意角 的概念正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线不作旋转形成的角 置角的顶点于原点 始边重合于x轴的非负半轴2.象限角 终边落在第几象限就是第几象限角4 .反思学习任意角有何意义.3 . 终边与 角相同的角 五、总结反思，布置作业设计意图：通过引导学生从两方面进行小结，突出重点，让学生对所学知识有一个清晰、完整的认识，

16、学会解决问题的思想和方法，同时培养学生的概括能力、表达能力和自我获取知识的能力.（2）作业布置 五、总结反思，布置作业必做题：习题1.1 A组第1、2题, B组第1题.选做题：1.已知, 角的终边相同, 那么的终边在（ ） A x轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上2.终边与坐标轴重合的角的集合是（ ） A |=k360 (kZ) B |=k180 (kZ) C |=k90 (kZ) D |=k180+90 (kZ)3.若角的终边在第一象限, 则角2和角/2的终边在第几象限？设计意图：有弹性地布置作业, 避免一刀切, 体现分层教学，发挥学有余力的学生的探索、创造能力. 使得人人都有收获,不同的人有不同收获.板书设计 任意角1、任意角的概念 例1 正角 负角 零角2、象限角 例23、终边相同的角 例3 本节课始终贯彻以学生发展为中心的教育理念，关注学生的认知过程，重视学生的合作与交流，使学生始终处于问题探索之中