初中数学三角形相似模型含

1、初中数学三角形相像模型含答案初中数学三角形相像模型含答案15/15初中数学三角形相像模型含答案三角形相像模型知识框架相像模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型AEFDADFEBGCBGCADAEDEAF；ABACBCAG：AF2:AG2SADESABC所谓的相像三角形，就是形状相同，大小不一样样的三角形(只需其形状不改变，无论大小如何改变它们都相像)，与相像三角形有关的常用的性质及定理以下：相像三角形的全部对应线段的长度成比率，而且这个比率等于它们的相像比；相像三角形的面积比等于它们相像比的平方；连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半

2、相像三角形模型，给我们供给了三角形之间的边与面积关系互相转变的工具在小学奥数里，出现最多的状况是因为两条平行线而出现的相像三角形例题精讲一、沙漏模型【例1】四边形ABCD被AC和DB分红甲乙丙丁4个三角形，已知BE=80,CE=60,DE=40,AE=30,问：丙、丁两个三角形之和是甲乙两个三角形面积之和的多少倍？【考点】沙漏模型【难度】1星【题型】解答【解析】因为AE:CE=BE:DE=1:2，所以ADBC，即ABCD为梯形，而且三角形AED与三角形BEC相像。所以SAED:SAEB:SCED:SCEB1:2:2:4。故(S甲S乙):(S丙S丁)(22):(41)4:5五年级奥数.几何.三角

3、形相像模型（A级）.教师版Page1of14【答案】5。4【坚固】梯形ABCD的上底长为3厘米，下底长为9厘米，而三角形ABO的面积为12平方厘米。则整个梯形的面积为多少？【考点】沙漏模型【难度】1星【题型】解答【解析】同上题，AOD与BOC形状相同，大小成比率，这个比率为：AD：BC1：3，所以它们的面积比为1：9。而AOB的面积则是两者之间的过渡量，即比率中的3份。把AOB的面积看作3份，那么1份是：1234（平方厘米）。这样AOD、BOC和COD的面积分别是1份、9份、3份；梯形ABCD的面积为：4（3193）64（平方厘米）。【答案】64平方厘米。【例2】如图，在平行四边形ABCD中，

4、AB=16，AD=10，BE=4，那么FC的长度是多少?【考点】沙漏模型【难度】2星【题型】解答【解析】方法一：因为有CB平行与DA。有EBFB,有FBEBDA4102,所以EADAEA416CF=CB-FB=10-2=8方法二：如上图所示，连结DB，CE有DC：BE=4:l所以DFC与FBE的面积比为16:1，有SDCFSFBESDBFSCEF,又SDFBSCFE所以DCF，FBE，DBF，CEF的面积为16:1:4:1，即SDCF:SDFB16:44:1，有DCF，DFB同高,面积比为底的比，即CF：BF=4:l，而CF，BF的长度和为10，有FC484BC1【答案】8。【坚固】如图，已知

5、正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中点，E是DC边上的点，且DE：EC=1:3，AF与BE订交于点G，求SABG.五年级奥数.几何.三角形相像模型（A级）.教师版Page2of14【考点】沙漏模型【难度】2星【题型】解答【解析】法一：连结AE，延伸AF，DC两条线交于点M，结构出两个沙漏，所以有AB:CMBF:FC1:1,所以CM4,据题意有CE=3，再据沙漏有GB:GE=AB:EM=4:7，所以SABG4SABE4232444.71111法二：连结AE、AF，SABF4224,SAEF4441232247，所以SABG4SABE44432.4112711【答案】32。11【例3】如图AB

6、CD是梯形，BD是对角线，E为BD上一点，EF是三角形AED的高，EG是三角形BCE的高。假如三角形ABE和三角形BCE的面积分别为6和10平方厘米，EF：EG=7:4,那么求梯形ABCD的面积。AFDEOBGC【考点】沙漏模型【难度】3星【题型】解答【解析】因为三角形BEG与三角形DEF相像，所以BEED=GEEF=47。所以三角形AED的面积=647=10.5（平方厘米）所以三角形CED的面积=1047=17.5(平方厘米)所以梯形ABCD的面积=6+10.5+10+17.5=44(平方厘米)【答案】44平方厘米。【坚固】如图，ABC中AE=1AB，AD=144AC，ED与BC平行，EOD

7、的面积是1平方厘米。那么五年级奥数.几何.三角形相像模型（A级）.教师版Page3of14AED的面积是平方厘米。ADOBC【考点】沙漏模型【难度】3星【题型】解答【解析】因为AE=11AC，ED与BCABC=4S4415（平方厘EOD=4；则SCDE=4+1=5；又因为SAEDSCDE=ADDC=13,所以SAED=5=33【答案】米）。5。【例4】如图，平行四边形ABCD的面积是12，DE1AD，AC与BE的交点为F，那么图中暗影部分3面积是_；AEDFBC【考点】沙漏模型【难度】3星【题型】解答【解析】利用沙漏定理，AE/BC=AF/CF=2/3，三角形ACD面积是12/2=6，连结CE

8、，三角形CED面积是6/3=2，三角形ACE面积是4，又AF/CF=2/3，所以CEF面积是43/5=2.4，暗影部分面积为2+2.4=4.4。【答案】4.4。【坚固】长方形ABCD的面积是12平方厘米，2AFFD，2CEED，G是BC的中点暗影部分的面积是_平方厘米；【考点】沙漏模型【难度】3星【题型】解答【解析】设BD、FG交点为O，BE、FG交点为M.五年级奥数.几何.三角形相像模型（A级）.教师版Page4of14OMFDDO2:14，先求出三角形BOG的面积，显然FBG面积为跟依据沙漏定理获得BGBO323123924，所以BOG面积为37。三角形BDE的面积为64,我们只需求出三角

9、373形BMO的面积即可。连结CM，设三角形BMG的面积为1份，CMG为1份，BMC为2份，依据燕尾定理，SBDMDE2，所以S为4份，又DO4，所以SEC1BMCBMDBO3S312份，故SBMO12,S91210810825。BOM47BMO，S阴=4-=377SBMG719133133133【答案】325。133【例5】(2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD和CGEF是两个正方形，AG和CF订交于H，已知CH等于CF的三分之一，三角形CHG的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF的面积FEFEADADHHBCGBCG【考点】沙漏模型【难度】3星【题型】解答【解析】连结AC、GF，因

10、为AC与GF平行，可知四边形ACGF组成一个梯形因为HCG面积为6平方厘米，且CH等于CF的三分之一，所以CH等于FH的1，依据梯形2蝴蝶定理或相像三角形性质，可知FHG的面积为12平方厘米，AHF的面积为6平方厘米，AHC的面积为3平方厘米那么正方形CGEF的面积为612236平方厘米，所以其边长为6厘米又AFC的面积为639平方厘米，所以AD9263(厘米)，即正方形ABCD的边长为3厘米那么，五边形ABGEF的面积为：36932149.5(平方厘米)2【答案】49.5平方厘米。【坚固】已知：如图，四边形ABCD是直角梯形，A=B=90o,AD=3,BC=4,S=AOD=1,求四边形ABC

11、D五年级奥数.几何.三角形相像模型（A级）.教师版Page5of14的面积。【考点】沙漏模型【难度】2星【题型】解答【解析】因为ADBC，所以三角形AOD与三角形BOC相像，所以，SAOD:SCOBAD2:BC232:429:1616所以SCOB=922SAOD16又因为SAOBSCODSCOB94所以SAOBSCOD3故SABCDSAOBSCODSAOD441649SCOB31939【答案】49。9二、金字塔模型【例6】如图，ABC中，DE，FG，BC互相平行，ADDFFB，则:S四边形DEGF:S四边形FGCBSADEADEFGBC【考点】金字塔模型【难度】2星【题型】解答【解析】设ADE

12、1份，依据面积比等于相像比的平方，S所以SADE:SAFGAD2:AF21:4，SADE:SABCAD2:AB21:9，所以SAFG4份，SABC9份，从而有S四边形DEGF3份，S四边形FGCB5份，所以SADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB1:3:5【答案】SADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB1:3:5【坚固】如图，DE平行BC，且AD2，AB5，AE4，求AC的长五年级奥数.几何.三角形相像模型（A级）.教师版Page6of14ADEBC【考点】金字塔模型【难度】1星【题型】解答【解析】由金字塔模型得AD:ABAE:ACDE:BC2:5，所以AC42510【答案】10。【例

13、7】如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形部件，使正方形的一边在BC上，其他两个极点分别在AB、AC上，这个正方形部件的边长是多少？【考点】金字塔模型【难度】3星【题型】解答【解析】图中有金字塔模型5个，用于已知边有关系的两个金字塔模型，所以有PNAPPHBPBC,设ABADAB正方形的边长为x毫米，PNPHAPBP,xx1x48BCADAB12080AB的边长为48毫米。【答案】48毫米。【坚固】如图，在ABC中，有长方形DEFG，G、F在BC上,D、E分别在AB、AC上，AH是ABC边BC的高，交DE于M，DG:DE=1:2,BC=

14、12厘米，AH=8厘米，求长方形的长和宽。【考点】金字塔模型【难度】3星【题型】解答【解析】察看图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的连个金字塔模型，所以DEAD,DGBD,BCABAHAB所以有DEDGADBDDGxDE=2x,2xxBCAHABAB128x24,2x48，所以长方形的长和宽分别是48厘米，24厘米。7777五年级奥数.几何.三角形相像模型（A级）.教师版Page7of14【答案】长：48厘米，宽：24厘米。77【例8】如图，将一边长为2的正方形两边长分别延伸1和3，割出图中的暗影部分，求暗影部分的面积是多少？MEFN【考点】金字塔模型【难度】3星【题型】解答【解析】相像三

15、角形的对应边成比率有：NF3;EM122231,则：132NF5,EM5,S=12-92-5=193阴253301【答案】。【坚固】右图中正方形的面积为1，E、F分别为AB、BD的中点，GC=1FC.求暗影部分的面积。3【考点】金字塔模型【难度】3星【题型】解答【解析】作FH垂直BC于H，GI垂直BC于I。依据相像三角形性质，CI:CHCG:CF1:3，又因为CHHB,所以CI:CB1:6,即BI:BC61:65:6,所以，1155SBGE26.224HI五年级奥数.几何.三角形相像模型（A级）.教师版Page8of14【答案】5。24三、相像模型之综合应用【例9】如图，长方形ABCD中，E、

16、F分别为CD、AB边上的点，DE=EC，FB=2AF。求PM：MN：NQ。【考点】相像模型之综合应用【难度】3星【题型】解答【解析】延伸CF交DA延伸线于G，延伸BE交AD延伸线于H.因为AFCD，所以三角形AFG与三角形DCG相像故AG:DG=AF:CD=1:3；同理：DH:AH=1:2.所以GH=2.5AD=2.5BC，即GH:BC=2:5又因为ADBC，所以三角形GHN与三角形BNC相像2所以PN:ON=GH:BC=2:5，即PN=PO再延伸DF交CB延伸线于G，延伸AE交BC延伸线于H同理可得：PM:OM=1:4，即PM=1PO5所以MN=PO-PM-ON=1835五年级奥数.几何.三

17、角形相像模型（A级）.教师版Page9of14故PM:MN:NO=7:18:10【答案】PM:MN:NO=7:18:10。【坚固】如右图，长方形ABCD中，EF=16，求AG的长。【考点】相像模型之综合应用【难度】3星【题型】解答【解析】因为DABEDGAGDGFGAGFG,依据相像三角形性质知又因为DFAB,所以即GBGEGEGBGAGA2GE?FG215.AG25922515,所以AG【答案】15.【例10】正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是平方厘米。【考点】相像模型之综合应用【难度】3星【题型】解答【解析】欲求四边形BGHF的面积

18、须求出EBG和CHF的面积。由题意可获得：EG:GC=EB:CD=1:2，所以可得：SEBG1SBCE将AB、DF延伸交于M点，3可得：BM:DC=MF:FD=BF:FC=1:1，而EH:HC=EM:CD=(1ABAB):CD=3:2，得CH=2CE,而25CF=1BC,所以SCHF12SBCE1SBCE2255五年级奥数.几何.三角形相像模型（A级）.教师版Page10of14SBCE11ABBC112030224SSEBC1SEBC1SEBC7SEBC14四边形BGHF3515此题也能够用蝴蝶定理来做，连结EF，确立H的地点（也就是FH:HD）,相同也能解出。【答案】14.【坚固】如图，已

19、知正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中点，E是DC边上的点，且DE:EC1:3，AF与BE订交于点G，求SABGABBABAGFGGFFDECDCMDECE【考点】相像模型之综合应用【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：连结AE，延伸AF，DC两条线交于点M，结构出两个沙漏，所以有AB:CMBF:FC1:1，所以CM4，依据题意有CE3，再依据另一个沙漏有GB:GEAB:EM4:7，所以SABG44SABE4(442)3271111方法二：连结AE,EF，分别求SABF4224，SAEF4441232247，依据蝴蝶定理SABF:SAEFBG:GE4:7，所以，SABG4SABE4324

20、(442)11711【答案】32。11讲堂检测【随练1】如图，ABC中，DE、FG、MN、PQ、BC互相平行，AD=DF=FM=MP=PB,则SADE:S四边形DEGF:S四边形FGMN:S四边形MNQP:S四边形PQCB=。五年级奥数.几何.三角形相像模型（A级）.教师版Page11of14【考点】金字塔模型【难度】2星【题型】解答【解析】设SADE1份，SAFG2:AF21:4,所以SAFG4份，从而有S四边形DEGF3份，SADE:AD同理有S5份，S四边形NMQP7份，S四边形PQCM=9份。所以，四边形FGNMSADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP1:3:5:

21、7:9【答案】SADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP1:3:5:7:9【随练2】如图长方形ABCD中，E为AD的中点，AF与BE、BD分别交于G、H，OE垂直AD于E，交AF于O，已知AH=5cm，HF=3cm,求AG.【考点】相像模型之综合应用【难度】3星【题型】解答【解析】因为ABDF,利用相像三角形可得：AB:DFAH:HF5:3,又因为E为AD中点，那么有OE:FD1:2,所以ABOE310:3,利用相像三角形性质能够获得2AG:GOAB:OE10:3，而AO1AF1534cm，所以22AG41040(cm。1313)40【答案】(cm)。【随练3】如图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且CD=2AB，点E、F分别是AD和BC的中点，已知四边形ENFM的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是多少平方厘米。ABMEFNDC【考点】沙漏模型【难度】3星【题型】解答【解析】略。【答案】210。五年级奥数.几何.三角形相像模型（A级）.教师版Page12of14家庭作业【作业1】丈量小玻璃管口径的量具AB长为15厘米，AC被分为60等