2.3.2-2.3.3-平面向量的正交分解及坐标表示-平面向量的坐标运算-课件(64张)

1、2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算 必备知识自主学习导思(1)在平面内,规定e1,e2为基底,那么一个向量关于e1,e2的分解是唯一的吗?(2)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,任作一向量 =x i+yj,那么(x,y)与A点的坐标相同吗?如果向量 也用(x,y)表示,那么这种向量 与实数对(x,y)之间是否一一对应?(3)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何求a+b,a-b,a的坐标?若A(x1,y1),B(x2,y2),你能求出 的坐标吗? 1.平面向量坐标的相关概念【思考】 (1)正交分解与平面向量基本

2、定理有何联系?提示:正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直时).(2)向量的坐标就是其终点的坐标吗?提示:不一定,以坐标原点O为始点的向量坐标就是该向量的终点坐标,如果向量不是以坐标原点为始点,则向量坐标就跟终点坐标不同,而对同一向量或相等向量(向量坐标相同),若选择不同的始点坐标,则终点坐标也不同.2.平面向量的坐标运算若a=(x1,y1),b=(x2,y2),R,则:(1)a+b= _,(2)a-b= _,(3)a= _.(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(x1,y1)即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差,数乘向量的积的坐标等于数乘向量的相应坐标.

3、(4)向量坐标的几何意义:如图所示,在平面直角坐标系中,若A(x1,y1),则 =(x1,y1),若A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1).【思考】(1)平面向量的加法坐标运算法则若写成“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(y1+y2,x1+x2)”可以吗?提示:不可以,两向量的横坐标之和作为和向量的横坐标,纵坐标之和作为和向量的纵坐标.(2)“若A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x1-x2,y1-y2)”对吗?提示:不对,应该用终点坐标减去始点坐标.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)两个向量的终点不同,则这两个向

4、量的坐标一定不同.()(2)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.()(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.()(4)点的坐标与向量的坐标相同.()提示:(1).两个终点不同的向量可能是相等向量,它们的坐标相同.(2).根据向量的坐标表示,当始点在原点时,终点与始点坐标之差等于终点坐标.(3).根据两向量差的运算,两向量差的坐标与两向量的顺序有关.(4).当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标等于(终)点的坐标.2.若3x-2(x-a)=0,则向量x等于()A.2a B.-2aC. a D.- a【解析】选B.由题知3x-2x+2a=0所以x=-2a.3.(教材二次开发:练习

5、改编)已知A(3,1),B(2,-1),则 的坐标是()A.(-2,-1)B.(2,1)C.(1,2)D.(-1,-2)【解析】选C. =(3,1)-(2,-1)=(1,2).关键能力合作学习类型一向量的坐标表示(数学运算、直观想象)【题组训练】1.(2020青岛高一检测)已知 =(1,3),且点A(-2,5),则点B的坐标为()A.(1,8)B.(-1,8)C.(3,2)D.(-3,2)2.如图所示,在正方形ABCD中,O为中心,且 =(-1,-1),则 =_; =_; =_.3.在平面直角坐标系xOy中,向量a,b,c的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分别计算出它们的坐

6、标.【解析】1.选B.设B的坐标为(x,y), =(x,y)-(-2,5)=(x+2,y-5)=(1,3),所以 解得 所以点B的坐标为(-1,8).2.如题干图, =-(-1,-1)=(1,1),由正方形的对称性可知,B(1,-1),所以 =(1,-1),同理 =(-1,1).答案:(1,-1)(1,1)(-1,1)3.设a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2),则a1=|a|cos 45= a2=|a|sin 45= b1=|b|cos 120= b2=|b|sin 120= c1=|c|cos(-30)= c2=|c|sin(-30)=4 =-2.因此a=( , ),

7、c=(2 ,-2).【解题策略】求向量坐标的方法(1)平移法:把向量的起点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标.(2)求差法:先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.【补偿训练】1.已知O是坐标原点,点A在第二象限,| |=6,xOA=150,向量 的坐标为_.【解析】设点A(x,y),则x=| |cos 150=6cos 150=-3 ,y=| |sin 150=6sin 150=3,即A(-3 ,3),所以 =(-3 ,3).答案:(-3 ,3)2.已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量

8、, , , 的坐标. 【解析】如图,正三角形ABC的边长为2,则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos 60,2sin 60),所以C(1, ), 所以 =(2,0), =(1, ),3.如图,已知在边长为1的正方形ABCD中,AB与x轴正半轴成30角.如图,求点B和点D的坐标和 与 的坐标.【解析】由题意知B,D分别是30,120角的终边与单位圆的交点.设B(x1,y1),D(x2,y2).由三角函数的定义,得x1=cos 30= ,y1=sin 30= ,所以B .x2=cos 120=- ,y2=sin 120= ,所以D所以类型二向量的坐标运算(直观想象、数学运算)【题组训练】1

9、.已知点A(0,1),B(3,2),向量 =(-3,-3),则向量 ()A.(3,2)B.(-3,-2)C.(-1,-2)D.(1,2)2.已知向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求a+b,a-b,3a,2a+3b的坐标.3.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且 求M,N及 的坐标.【解析】1.选B.因为A(0,1),B(3,2),所以 =(3,1),所以 2.a+b=(-1,2)+(3,-5)=(2,-3),a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-4,7),3a=3(-1,2)=(-3,6),2a+3b=2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-

10、15)=(7,-11).3.方法一:由A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),可得 =(-2,4)-(-3,-4)=(1,8), =(3,-1)-(-3,-4)=(6,3),所以 =3(1,8)=(3,24), =2(6,3)=(12,6).设M(x1,y1),N(x2,y2),则 =(x1+3,y1+4)=(3,24),x1=0,y1=20; =(x2+3,y2+4)=(12,6),x2=9,y2=2,所以M(0,20),N(9,2), =(9,2)-(0,20)=(9,-18).方法二:设点O为坐标原点,则由 可得 从而 所以 =3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20),

11、=2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2),即点M(0,20),N(9,2),故 =(9,2)-(0,20)=(9,-18).【解题策略】平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.【补偿训练】1.已知M(3,-2),N(-5,-1), 则P点坐标为_.【解析】设P(x,y), =(x-3,y+2), =(-8,1).所以 答案: 2.若A,B,C三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),求 的坐

12、标.【解析】因为 =(-2,10), =(-8,4), =(-10,14),所以 +2 =(-2,10)+2(-8,4)=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18). - =(-8,4)- (-10,14)=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3).类型三向量坐标运算的应用(数学运算、逻辑推理)角度1利用坐标运算表示向量【典例】如图,已知O是ABC内一点,AOB=150,BOC=90,设 =a, =b, =c,且|a|=2,|b|=1,|c|=3,试用向量a,b表示向量c.【思路导引】建立直角坐标系,由所给条件结合三角函数定义写出点A,B,C的坐标.结合坐标运算公式可用待定系数法求得向

13、量c.【解析】如图,以O为原点、 为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,由三角函数的定义,得B(cos 150,sin 150),C(3cos 240,3sin 240).即 又因为A(2,0),故a=(2,0),b= ,c= 设c=1a+2b(1,2R).所以c=-3a-3 b.【变式探究】 本例条件不变，试用向量a，c表示向量b【解析】如图,以O为原点、 为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,由三角函数的定义,得B(cos 150,sin 150),C(3cos 240,3sin 240).即 又因为A(2,0),故a=(2,0),b= 设b=1a+2c(1,2R).所以 角度2利用坐标运算求

14、参数【典例】已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在AOB内,|OC|=2 ,且AOC= .设 (R),则=_.【思路导引】由题意画出图形,根据向量线性运算法则对条件“ ”适当转化,再应用向量坐标运算解决.【解析】如图,过C作CEx轴于点E,由AOC= 知,|OE|=|CE|=2,所以 所以(-2,0)=(-3,0),故= .答案: 【解题策略】(1)由向量的坐标定义知,两向量相等的充要条件是它们的坐标相等,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=bx1=x2且y1=y2.(2)利用向量的坐标运算解题,主要是根据相等的向量坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解.(3)

15、利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出相应系数.【题组训练】1.(2020济宁高一检测)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10).若 (R),试求为何值时,(1)点P在一、三象限角平分线上.(2)点P在第三象限内.【解析】设点P的坐标为(x,y),则 =(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3), =(5,4)-(2,3)+(7,10)-(2,3)=(3,1)+(5,7)=(3+5,1+7).因为 (1)若P在一、三象限角平分线上,则5+5=4+7,所以= ,所以= 时,点P在一、三象限角平分线上.(2)若P在第三象限内,则 所以-1.当

16、-1时,点P在第三象限内.2.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),及 是否存在t值,使四边形OABP为平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.【解析】因为 =(1,2), =(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t).所以 =(3-3t,3-3t).若四边形OABP为平行四边形,则 ,所以 该方程组无解.故不存在t值使四边形OABP成为平行四边形.【拓展延伸】线段定比分点坐标公式如图所示,若点P是线段P1P2上不同于P1(x1,y1),P2(x2,y2)的点,且满足 =,即 = ,则点P的坐标为 【拓展训练】证明上述命题的正确性.【证明】设点P(x,y),由 =

17、 ,得(x-x1,y-y1)=(x2-x,y2-y), 当-1时, 则P点坐标为 特别地,当=1时,点P坐标为 ,这就是线段P1P2的中点坐标公式;若0,则点P在P1P2的延长线或其反向延长线上,点P的坐标不变.【补偿训练】已知A(2,1),B(3,-1)及直线l:y=4x-5,直线AB与l相交于P点,求P点分 的比的值.【解析】设P(x,y),则由 = 及定比分点坐标公式得:(x,y)= ,又因为P点在直线l上,所以 所以=- .1.(2020包头高一检测)下列说法正确的有()向量的坐标即此向量终点的坐标.位置不同的向量其坐标可能相同.一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的始点坐标.相等的向量坐标一定相同.A.1个B.2个C.3个D.4个课堂检测素养达标【解析】选C.向量的坐标是其终点坐标减去起点对应坐标,故错误;正确;正确;正确.2.已知 =a,且 则a等于()【解析】选A.因为 3.(教材二次开发:练习改编)设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则2a-3b等于()A.(0,7)B.(12,7)C.(-1,7)D.(12,3)【解析】选B.2a-3b=(6,10)-(-6,3)=(12,7).4.若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则 =_.【解析】因为A(2,-1)