现代控制理论2课件

1、现代控制理论基础12 线性系统的状态空间运动分析2.1 线性定常系统的齐次解2.2 矩阵指数函数2.3 线性定常系统的非齐次解2.4 线性定常系统的状态转移矩阵2.5 线性时变系统的运动2.6 线性连续系统的时间离散化2.7 线性离散系统的运动分析现代控制理论基础12 线性系统的状态空间运动分析2.1 线性现代控制理论基础22.1 线性定常系统的齐次解线性定常系统的齐次状态方程(Homogeneous state equation) 给定初始状态x(0)=x0，必有如下形式的解(solution)如果定义区间为t0,），且x(t0)=x0时，解为 其中，eAt或eA(t-t0) 称为矩阵指数函

2、数(matrix exponential function)，是nn维矩阵。现代控制理论基础22.1 线性定常系统的齐次解线性定常系统的现代控制理论基础32.1 线性定常系统的齐次解 首先回顾一下标量微分方程的求解过程上式对任意t0均成立。比较两边 tk 的系数，可得t =0时可得 设方程具有如下形式的解代入方程可得因此方程的解为现代控制理论基础32.1 线性定常系统的齐次解 首现代控制理论基础42.1 线性定常系统的齐次解证明（1）直接法证明上式对任意t0均成立。比较两边 tk 的系数，可得t =0时可得式中，b0,b1, 等为待定常向量 将解的形式设为如下的向量幂级数代入方程现代控制理论基

3、础42.1 线性定常系统的齐次解证明上式对任意现代控制理论基础52.1 线性定常系统的齐次解标量指数函数定义为仿此，定义称eAt为矩阵指数函数。所以现代控制理论基础52.1 线性定常系统的齐次解标量指数函数定现代控制理论基础62.1 线性定常系统的齐次解（2）Laplace变换法证明回顾标量关系式仿此有拉氏变换现代控制理论基础62.1 线性定常系统的齐次解（2）Lapl现代控制理论基础72.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATIONIn this section, we shall obtain the general solution of the

4、 linear time-invariant state equation. We shall first consider the homogeneous case and then the nonhomogeneous case.Solution of Homogeneous State Equations. Before we solve vector-matrix differential equations, let us review the solution of the scalar differential equationIn solving this equation,

5、we may assume a solution x(t) of the formBy substituting this assumed solution into Equation (2.1), we obtain现代控制理论基础72.1 SOLVING THE TIME-现代控制理论基础82.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATIONIf the assumed solution is to be the true solution, Equation (2.3) must hold for any t. Hence, equating the

6、 coefficients of the equal powers of t, we obtainThe value of b0 is determined by substituting t=0 into Equation (2.2), or现代控制理论基础82.1 SOLVING THE TIME-现代控制理论基础92.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATIONHence, the solution x(t) can be written asWe shall now solve the vector-matrix differential eq

7、uationBy analogy with the scalar case, we assume that the solution is in the form of a vector power series in t, orwhere x=n-vector, A= nn constant matrix现代控制理论基础92.1 SOLVING THE TIME-现代控制理论基础102.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATIONBy substituting this assumed solution into Equation (2.4), we

8、 obtainIf the assumed solution is to be the true solution, Equation (2.6) must hold for all t. Thus, by equating the coefficients of like powers of t on both sides of Equation (2.6), we obtain现代控制理论基础102.1 SOLVING THE TIME现代控制理论基础112.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATIONBy substituting t=0 int

9、o Equation (2.5), we obtainThus, the solution x(t) can be written asThe expression in the parentheses on the right-hand side of this last equation is an nn matrix. Because of its similarity to the infinite power series for a scalar exponential, we call it the matrix exponential and writeIn terms of

10、the matrix exponential, the solution of Equation (2.4) can be written as现代控制理论基础112.1 SOLVING THE TIME现代控制理论基础122.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATIONLaplace Transform Approach to the Solution of Homogeneous State Equations. Let us first consider the scalar case:Taking the Laplace transform o

11、f Equation (2.7), we obtainwhere X(s)=Lx. Solving Equation (2.8) for X(s) givesThe inverse Laplace transform of this last equation gives the solution现代控制理论基础122.1 SOLVING THE TIME现代控制理论基础132.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATIONThe foregoing approach to the solution of the homogeneous scalar d

12、ifferential equation can be extended to the homogeneous state equation:Taking the Laplace transform of both sides of Equation (2.9), we obtainwhere X(s)=Lx. Hence,Premultiplying both sides of this last equation by (sI-A)-1 , we obtainThe inverse Laplace transform of X(s) gives the solution x(t) Thus

13、,现代控制理论基础132.1 SOLVING THE TIME现代控制理论基础142.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATIONNote thatHence, the inverse Laplace transform of (sI-A)-1 gives(The inverse Laplace transform of a matrix is the matrix consisting of the inverse Laplace transforms of all elements.) From Equations (2.10) and (2.11

14、), the solution of Equation (2.9) is obtained asThe importance of Equation (2.11) lies in the fact that it provides a convenient means for finding the closed solution for the matrix exponential.现代控制理论基础142.1 SOLVING THE TIME现代控制理论基础152.2 矩阵指数函数2.2.1 矩阵指数函数的定义2.2.2 矩阵指数函数的性质 性质1 矩阵指数函数满足如下关系式证明 由矩阵指数

15、函数的定义式当t=0时，即可得证。设A为nn维矩阵，则矩阵指数函数eAt定义为现代控制理论基础152.2 矩阵指数函数2.2.1 矩阵指数现代控制理论基础162.2 矩阵指数函数性质2 设t和s为自变量，则必成立证明 根据定义式证毕现代控制理论基础162.2 矩阵指数函数性质2 设t和s为自现代控制理论基础172.2 矩阵指数函数性质3 eAt必有逆，且其逆为e-At，即证明 由性质2，有 令s = -t和性质1，得由上式可以看出，eAt与e-At互为逆矩阵，故结论得证。现代控制理论基础172.2 矩阵指数函数性质3 eAt必现代控制理论基础182.2 矩阵指数函数性质4 对于nn维方阵A和B

16、，如果AB=BA，则证明 根据定义式现代控制理论基础182.2 矩阵指数函数性质4 对于nn维现代控制理论基础192.2 矩阵指数函数将上述两式相减，得显然，只有AB=BA，才有即现代控制理论基础192.2 矩阵指数函数将上述两式相减，得显现代控制理论基础202.2 矩阵指数函数性质5 对于矩阵指数函数eAt，有证明 根据定义将上式逐项对t求导，有同理现代控制理论基础202.2 矩阵指数函数性质5 对于矩阵指数现代控制理论基础212.2 矩阵指数函数性质6 设A为对角线阵，则eAt也必为对角线矩阵，且证明 根据定义现代控制理论基础212.2 矩阵指数函数性质6 设A为对角线现代控制理论基础22

17、2.2 矩阵指数函数性质7 设A具有互不相同的特征值l1 ，l1 ， ，ln，则eAt必可 经线性非奇异变换化为对角线型，即证明 因A具有互不相同的特征值，故可经线性变换为其中，P为使A对角线标准化的变换阵。现代控制理论基础222.2 矩阵指数函数性质7 设A具有互不现代控制理论基础232.2 矩阵指数函数对上式的一般项，有根据定义式则有故现代控制理论基础232.2 矩阵指数函数对上式的一般项，有根现代控制理论基础242.2 矩阵指数函数2.2.3 矩阵指数函数的计算（1）级数求和法例 试计算A的矩阵指数函数eAt解 现代控制理论基础242.2 矩阵指数函数2.2.3 矩阵指数现代控制理论基础

18、252.2 矩阵指数函数（2）Laplace变换法例 试用Laplace变换法计算矩阵指数函数eAt解 现代控制理论基础252.2 矩阵指数函数（2）Laplace现代控制理论基础262.2 矩阵指数函数（3）化为约当标准形法若矩阵P -1AP已化为约当标准形，则由下式可以直接将eAt计算出来 现代控制理论基础262.2 矩阵指数函数（3）化为约当标准形现代控制理论基础272.2 矩阵指数函数1）当A的特征值互异时2）当A的特征值为重根时现代控制理论基础272.2 矩阵指数函数1）当A的特征值互异现代控制理论基础282.2 矩阵指数函数例 试用化为约当标准形法 求矩阵指数函数eAt。解 所以A

19、的特征值因A是友矩阵，且特征值互异，所以所以现代控制理论基础282.2 矩阵指数函数例 试用化为约当标准现代控制理论基础292.2 矩阵指数函数例 试用化为约当标准形法 求矩阵指数函数eAt。解 因为A为友矩阵，因此所以现代控制理论基础292.2 矩阵指数函数例 试用化为约当标现代控制理论基础302.2 矩阵指数函数（4）待定系数法 待定系数法是利用Cayley-Hamilton定理，首先将eAt化为A的有限项，然后确定待定的系数。则矩阵A必满足其自身的特征方程，即证明 因为其中于是1）Cayley-Hamilton定理 设A为nn维矩阵，其特征多项式为现代控制理论基础302.2 矩阵指数函数

20、（4）待定系数法则矩现代控制理论基础312.2 矩阵指数函数令两边l幂次项的系数相等，得对上述关系式，从上到下依次右乘An，An-1，A，I，然后将等式两边各项分别相加，得所以f(A)=0将上式展开，得现代控制理论基础312.2 矩阵指数函数令两边l幂次项的系数现代控制理论基础32该式表明，An可表示成An-1， An-2， ， A，的线性组合式中 为t的标量函数。2）矩阵指数函数的多项式表达式2.2 矩阵指数函数证明 根据Cayley-Hamlton定理，有上式表明An1也可由An-1， An-2， ， A，的线性组合表示。 利用Cayley-Hamlton定理，可以将eAt的无穷幂级数化为

21、 A的有限项表达式，其中A的最高次幂不高于(n-1)。即现代控制理论基础32该式表明，An可表示成An-1， An-现代控制理论基础332.2 矩阵指数函数同理，An2以及更高次幂都均可以由An-1, An-2,A,的线性组合表示。写成一般形式 这样，对于幂级数将上式括号中的级数用一个t的标量函数ai(t)来表示，即现代控制理论基础332.2 矩阵指数函数同理，An2以及更现代控制理论基础342.2 矩阵指数函数3）矩阵指数函数的计算根据特征值互异和相重两种情况，系数ai(t)的计算方法 .设矩阵A的特征值li互不相同，则 证明 根据Cayley-Hamlton定理，li和A均满足特征方程所以

22、现代控制理论基础342.2 矩阵指数函数3）矩阵指数函数的计现代控制理论基础352.2 矩阵指数函数.设矩阵A有n重特征值l1，则证明 已知对l1求导一次，有再对l1求导一次，有对l1求导（n-1)次，有现代控制理论基础352.2 矩阵指数函数.设矩阵A有n重特现代控制理论基础362.2 矩阵指数函数例 试用待定系数法计算 矩阵指数函数eAt解 由特征方程解出特征根l1=-1，l2=-2现代控制理论基础362.2 矩阵指数函数例 试用待定系数法计现代控制理论基础372.2 矩阵指数函数例 试用待定系数法计算 矩阵指数函数eAt解 A的特征值已计算，为l1=l2=1, l3 =2现代控制理论基础

23、372.2 矩阵指数函数例 试用待定系数法计现代控制理论基础382.3 线性定常系统的非齐次解 非齐次状态方程(Nonhomogeneous state equation) 其解必唯一，且具有如下形式如果初始时刻(initial time)是t0（此时x(t0)= x0），则方程的解为(solution in terms of x(t0)第一项为初始状态的转移项，称为齐次解；第二项为控制作用引起的响应项，称为强迫运动项。( The first term is response to the initial condition and the second term is response to

24、 the input u(t)现代控制理论基础382.3 线性定常系统的非齐次解 非齐次状现代控制理论基础392.3 线性定常系统的非齐次解 (1)直接法证明(Direct method)对上式两边左乘e-At，得将上式由0t进行积分，有再对上式两边左乘eAt，且因e-AteAt =I，从而证明了将非齐次方程写为现代控制理论基础392.3 线性定常系统的非齐次解 (1)直现代控制理论基础402.3 线性定常系统的非齐次解 （2）Laplace变换法证明(Laplace transform approach)整理得用(sI - A)-1左乘上式两边，可得考虑到（Laplace变换中的卷积分con

25、volution integral） 取Laplace变换，有对方程现代控制理论基础402.3 线性定常系统的非齐次解 （2）L现代控制理论基础412.3 线性定常系统的非齐次解 例 求系统状态方程的非齐次解，其中u(t)=1(t)解 该系统的矩阵指数函数已求得，为现代控制理论基础412.3 线性定常系统的非齐次解 例 求系现代控制理论基础422.3 线性定常系统的非齐次解 （3）特定输入下的状态响应1、脉冲响应(Response of impulse function)2、阶跃响应(Response of step function)3、斜坡响应(Response of ramp funct

26、ion)现代控制理论基础422.3 线性定常系统的非齐次解 （3）特现代控制理论基础432.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATIONSolution of Nonhomogeneous State Equations. We shall begin by considering the scalar caseLet us rewrite Equation (2.12) asMultiplying both sides of this equation by e-at , we obtainIntegrating this equation betw

27、een 0 and t givesorThe first term on the right-hand side is the response to the initial condition and the second term is the response to the input u(t).现代控制理论基础432.1 SOLVING THE TIME现代控制理论基础442.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATIONLet us now consider the nonhomogeneous state equation described

28、 byBy writing Equation (2.13) asand premultiplying both sides of this equation by e-At , we obtainIntegrating the preceding equation between 0 and t givesorwhere x=n-vector, u=r-vector, A= nn constant matrix, B= nr constant matrix.现代控制理论基础442.1 SOLVING THE TIME现代控制理论基础452.1 SOLVING THE TIME-INVARIAN

29、T STATE EQUATIONLaplace Transform Approach to the Solution of Non-homogeneous State Equations. The solution of the nonhomogeneous state equationcan also be obtained by the Laplace transform approach. The Laplace transform of this last equation yieldsorPremultiplying both sides of this last equation

30、by (sI-A)-1 , we obtain现代控制理论基础452.1 SOLVING THE TIME现代控制理论基础462.1 SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATIONUsing the relationship given by Equation (2.11) givesThe inverse Laplace transform of this last equation can be obtained by use of the convolution integral as follows:Solution in Terms of x(t0

31、) . Thus far we have assumed the initial time to be zero. If, however, the initial time is given by t0 instead of 0, then the solution to Equation (2.13) must be modified to现代控制理论基础462.1 SOLVING THE TIME现代控制理论基础472.4 线性定常系统的状态转移矩阵 在状态空间分析中，采用状态转移矩阵可以：2.4.1 状态转移矩阵(state transition matrix)对于线性定常系统 ，称之

32、为系统的状态转移矩阵。当所观察的时 间区间为0，）时，状态转移矩阵可表示为 。的解，x(t0)=x0 满足如下矩阵方程和初始条件（2）能使时变系统状态方程的解写成解析形式，从而可能建立一种对定常系统和时变系统都适用的统一的求解公式。（1）对线性系统的运动给出一个清晰的描述；现代控制理论基础472.4 线性定常系统的状态转移矩阵 在状现代控制理论基础482）利用F(t-t0) ，可以将系统的自由运动规律表示为 2.4 线性定常系统的状态转移矩阵 下面对线性定常系统状态转移矩阵作进一步说明: 证明 假设x(t)=F(t-t0) x0为解，显然满足状态方程和初始条件: 3）对于线性定常系统显然有 应

33、该指出，矩阵指数函数eAt和状态转移矩阵F(t)是从两个不同的角度提出来的概念。矩阵指数函数eAt是一个数学函数的名称，而状态转移矩阵表征了对初始状态x0的转移关系。 1）状态转移矩阵 是以t为自变量的维矩阵。现代控制理论基础482）利用F(t-t0) ，可以将系统的自现代控制理论基础492.4 线性定常系统的状态转移矩阵 5)状态转移矩阵是齐次状态方程 在初始状态为基向量时的一个基本阵。4）(t-t0)的含义是，x(t)在 t t0 任何时刻的状态，只是初始状态x0通过变换阵(t-t0)的一种转移。而且，对于给定系统，(t-t0)是唯一的，因此这种状态转移也是唯一的。 以二阶系统为例。设的自

34、由解为若取初始状态x(0)=1 0T ，则x(t)=j11(t) j21(t)T 若取初始状态x(0)=0 1T ，则x(t)=j12(t) j22(t)T 现代控制理论基础492.4 线性定常系统的状态转移矩阵 5)现代控制理论基础50例 已知某二阶系统2.4 线性定常系统的状态转移矩阵 6)基于状态转移矩阵的系统非齐次解可写为或，其不同初始状态的响应为试求该系统的状态转移矩阵。现代控制理论基础50例 已知某二阶系统2.4 线性定常系统现代控制理论基础512.4 线性定常系统的状态转移矩阵 解 可以写出下列方程所以现代控制理论基础512.4 线性定常系统的状态转移矩阵 解 现代控制理论基础5

35、22.4 线性定常系统的状态转移矩阵 2.4.2 状态转移矩阵的性质(properties of state-transition matrices) 亦即证明 因为所以表示状态从t时刻又转移到t时刻，状态并没有发生变化。（1） 自身性（2）传递性 证明 由解的唯一性，有又有现代控制理论基础522.4 线性定常系统的状态转移矩阵 2.现代控制理论基础532.4 线性定常系统的状态转移矩阵 （3）可逆性 证明 左乘，并应用性质1和性质2，有右乘，同理有根据这个性质，由左乘可以导出即 现代控制理论基础532.4 线性定常系统的状态转移矩阵 （3现代控制理论基础542.4 线性定常系统的状态转移矩阵

36、 （4）分解性 证明（5）倍时性 证明 因为所以现代控制理论基础542.4 线性定常系统的状态转移矩阵 （4现代控制理论基础552.4 线性定常系统的状态转移矩阵 2.4.3 由状态转移矩阵求系统矩阵证明 由状态转移矩阵的定义当t=0时，有（1）(t)A（2）证明 因为 ，对上式两边右乘，得而因此（3）现代控制理论基础552.4 线性定常系统的状态转移矩阵 2.现代控制理论基础562.4 线性定常系统的状态转移矩阵 例 已知系统的状态转移矩阵试求系统矩阵A。解 可以用以下两种方法验证现代控制理论基础562.4 线性定常系统的状态转移矩阵 例 现代控制理论基础572.5 线性时变系统的运动2.5

37、.1 线性时变系统的状态转移矩阵 (State-transition matrix for linear time-varying systems)其中，x为n维状态向量，A(t)为nn维时变实数矩阵。借助(t,t0)，线性时变系统的齐次解可表为的解(t,t0)称为状态转移矩阵。（1）定义 设t0为初始时刻，t为观测时刻，则满足如下矩阵方程设连续时间线性时变系统的齐次状态方程现代控制理论基础572.5 线性时变系统的运动2.5.1 现代控制理论基础582.5 线性时变系统的运动证明 只需证明x(t)满足状态方程和初始条件：下面对线性时变系统状态转移矩阵作进一步说明：3）设A(t)为nn维时变矩

38、阵，则(t,t0)的表达式为2）(t,t0)与(t-t0)的区别 (t,t0)依赖于绝对时间，t0不同有不同结果，非封闭形式； (t-t0)依赖于相对时间，t0不同有相同结果，封闭形式。 1）(t,t0)是自变量为t的nn维函数阵，它不仅是t的函数, 也是初始时刻t0的函数。现代控制理论基础582.5 线性时变系统的运动证明 只需现代控制理论基础592.5 线性时变系统的运动证明 只需证明满足现代控制理论基础592.5 线性时变系统的运动证明 只需现代控制理论基础602.5 线性时变系统的运动例 试求系统的状态 转移矩阵(t,0)。解 因为，又进而于是现代控制理论基础602.5 线性时变系统的

39、运动例 试求系统现代控制理论基础612.5 线性时变系统的运动（2）(t,t0)的性质性质2 性质3 -1(t,t0)= (t0,t) 2.5.2 线性时变系统状态方程的求解其中，x为n维，u为r维，A(t)和B(t)分别为nn和nr时变实数矩阵。如果在所考察的区间t0,t内，A(t)的元是绝对可积的，B(t)和u的元是平方可积的，则存在唯一解: 性质1 (t,t)=I 考察连续时间线性时变系统，状态方程为现代控制理论基础612.5 线性时变系统的运动（2）(t现代控制理论基础622.6 线性连续系统的时间离散化（1）问题的提出 离散系统是指系统中的一处或多处信号呈脉冲序列或数码的形式。离散系

40、统又可以分为两种情况：第一种是整个系统工作于离散状态，所有变量全部是离散量；第二种是系统工作于连续和离散两种状态，其变量既有连续的模拟量又有离散的数字量。例如采样控制系统就属于这种情况。将连续时间系统化为离散时间系统的典型结构如图。 现代控制理论基础622.6 线性连续系统的时间离散化（1）问现代控制理论基础632.6 线性连续系统的时间离散化1）采样器的采样方式为等周期采样，设采样周期为T。若系统中有多个采样开关，则为同周期。设采样宽度T，因而可视为0。于是有（2）三个基本约定现代控制理论基础632.6 线性连续系统的时间离散化1）采样现代控制理论基础642.6 线性连续系统的时间离散化3）

41、为简化问题，选择零阶保持器。 2）采样周期T的选择满足香农（Shannon）采样定理。即离散信号y(k)能完满地恢复为原来连续信号y(t)的条件是采样频率ws满足如下式式中wmax为原连续信号y(t)幅频谱|Y(jw)|的上限频率 由于采样频率ws=2p/T，则 现代控制理论基础642.6 线性连续系统的时间离散化3）为简现代控制理论基础652.6 线性连续系统的时间离散化根据状态方程求解公式，导出连续系统的离散化状态方程状态方程的解为 考查在t=kT到t=(k+1)T这一个采样周期内的状态响应。对上式取t0=kT, t=(k+1)T ,于是考虑到u(t)是零阶保持器输出，在采样周期kTt(k

42、+1)T内其值是不变的，且u(t)= u(kT), 从而（3）线性定常连续系统状态方程的离散化现代控制理论基础652.6 线性连续系统的时间离散化根据状态现代控制理论基础662.6 线性连续系统的时间离散化对上式做时间变量置换，令t=(k+1)T-t，则dt=-dt，上式为设则线性定常连续系统的离散化状态方程和输出方程为离散化系统的矩阵C与D均和原连续系统一样。 现代控制理论基础662.6 线性连续系统的时间离散化对上式做现代控制理论基础672.6 线性连续系统的时间离散化例 试写出当采样周期T=0.5秒 时的离散化状态方程。解 首先求出连续系统的状态转移矩阵因此再求出现代控制理论基础672.6 线性连续系统的时间离散化例 试现代控制理论基础682.6 线性连续系统的时间离散化（4）近似离散化方法 在精度要求不高的情况下，可以直接用差商代替微商来进行离散化，从而求得近似离散化状态方程。代替连续状态方程中x的导数,于是有亦即或者式