空间点线面的位置关系及公理

1、第八章立体几何与空间向量8.3空间图形的基本关系与公理基础知识自主学习知识梳理四个公理公理：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内.公理：经过丕在同一釜直级上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面.公理：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们直且区直一釜通过这个点的公共直线.公理：平行于同一条直线的两条直线壬伍直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类I异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线l,l(a/1,b/1,这两条相交直线所成的锐角(或直角叫作异面直线a

2、,b所成的角(或夹角.范围：(，一.直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况.平面与平面的位置关系有包、相交两种情况.等角定理空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.【知识拓展】.唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直2异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线判断下列结论是否正确请在括号中打“J”或“X”如果两个不重合的平面a,夕有一条公共直

3、线a，就说平面a,夕相交，并记作aA夕=a.两个平面a,夕有一个公共点A，就说a,夕相交于过A点的任意一条直线.两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面()(5)没有公共点的两条直线是异面直线()下列命题正确的个数为()梯形可以确定一个平面；若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行;两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.浙江已知互相垂直的平面a,夕交于直线l.若直线m,n满足m/a,n夕，贝Um/1.m/n.n_Ll.m_Ln.合肥质检已知1,m,n为不同的直线，a,尸,?为不同的平面，则下列判断正

4、确的是.若ma,na，贝Umn若m_La,n尸,a_L,，贝Um_Ln.若aCl尸=1,ma,m,，贝Um1.若aCB=m,aCy=n，1-Lm,1_Ln，贝U1_La4.教材改编如图所示，已知在长方体ABCDEFGH中，AB=,AD=,AE=，则BC和EG所成角的大小是,角的大小是,AE和BG所成角的大小是.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面a上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为题型一平面基本性质的应用已知直线a，b分别在两个不同的平面a，,内，则“直线a和直线b相交”是“平面a和平面夕相交”的.充分不必要条件.必要不充分条件.充要条件.既不充分也不

5、必要条件已知空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG=一BC,CH=-DC求证：E、F、G、H四点共面；三直线FH、EG、AC共点.跟踪训练1如图，平面/5瓦，平面四边形斤与四边形/5S都是直角梯形，/BAD=/E4B=,BCAD且BC=AD,BEAF且BE=一AF,G、H分别为FA、FD的中点.证明：四边形BCHG是平行四边形；C、D、F、E四点是否共面？为什么？题型二判断空间两直线的位置关系例2（）（2广东）若直线/和/2是异面直线，/在平面a内，12在平面夕内，l是平面a与平面夕的交线，则下列命题正确的是（）.1与1，12都不相交.1

6、与1，12都相交.1至多与1,12中的一条相交.1至少与1,12中的一条相交（2）如图，在正方体ABCD-ABCD中，M,N分别是BC,CD的中点，则下列判断错误的是（）.MN与CC垂直.MN与AC垂直.MN与BD平行.MN与AB平行（）在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有.（填上所有正确答案的序号）（）已知a,b,c为三条不重合的直线，有下列结论：若a_L6,ac,则6c；若a_L6,TOC o 1-5 h za.Lc,则6_Lc；若。6,bc,则a_Lc其中正确的个数为（）.2.（2）（2南昌一模）已知

7、a、b、c是相异直线，a、夕、?是相异平面，则下列命题中正确的是（）.a与b异面，b与c异面na与c异面.a与b相交，b与c相交na与c相交.a/夕,夕yna/y.a/a,b/夕,a与夕相交na与b相交题型三求两条异面直线所成的角例（2重庆模拟）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线跟踪训练3AP与BD跟踪训练3已知正四面体/5S中，是的中点，则异面直线。片与5。所成角的余弦值为（）思想与方法系列.构造模型判断空间线面位置关系典例已知m,n是两条不同的直线，,夕为两个不同的平面，有下列四个命题：若m_La,n_Lq,m_Ln，贝lja_L,；若m/a,n/

8、6,m_Ln，贝lja/6；若m_La,n夕,m_Ln，贝lja,；若m_La,n夕,a夕，贝ljm_Ln其中所有正确的命题是课时作业.设a,b是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，aa,b夕，则a夕”是ab的.充分不必要条件.必要不充分条件.充要条件.既不充分也不必要条件.在三棱柱ABCABC中，E、F分别为棱AA、CC的中点，则在空间中与直线AB、EF、BC都相交的直线.不存在.有且只有两条.有且只有三条.有无数条.对于任意的直线l与平面a,在平面a内必有直线m，使m与l.平行.相交.垂直.互为异面直线.在四面体ABCD的棱AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点，如果EF与H

9、G交于点M,则U.M一定在直线AC上.M一定在直线BD上.M可能在AC上，也可能在BD上.M既不在AC上，也不在BD上.四棱锥PABCD的所有侧棱长都为小,底面ABCD是边长为的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为.下列命题中，正确的是.若a,b是两条直线，a,夕是两个平面，且aa,b夕，则a,b是异面直线.若a,b是两条直线，且ab，则直线a平行于经过直线b的所有平面.若直线a与平面a不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行.若直线a平面a，点P金a，则平面a内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条TOC o 1-5 h z.南昌高三期末如图，在直三棱柱ABCABC中，底面为直角三角形.

10、NACB=,AC=,BC=CC=5r,P是BC上一动点，则CP+PA的最小值为如图是正四面体各面均为正三角形的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成角；DE与MN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是.浙江如图，三棱锥ABCD中，AB=AC=BD=CD=,AD=BC=,点M,N分别是AD,BC的中点，则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是*郑州质检如图，矩形中,/5=AD,E为边AB的中点，将沿直线。翻折成/DE若M为线段的中点，则在翻折过程中，下面四个命题中不正确的是BM是定值；点M在某个球面上运动；存在某个位置，使DEAC；存在某个位置，使MB