矢量基本概念讲解

1、（一）矢量基本概念定 义 既有大小又有方向的量称为矢量（或向量）。表示法定义 有向线段的长度，称为向量的模（或向量的长度），记做AB , |M。特殊的向量零矢量：长度为0的向量。零向量的方向是不确定的。单位矢量：长度为1的矢量。向量之间的关系两矢量相等：长度相等，方向相同，与起点无关。反矢量：长度相同，方向相反的矢量。共线矢量：平行于同一直线的一组矢量。共面矢量：平行于同一平面的一组矢量。关于向量之间的关系，有下面结论：零矢量与共线（共面）的矢量组均共线（共面）；共线矢量必共面；两矢量必共面；三矢量中若有两矢量共线，则这三矢量一定共面。（二）矢量的遑算（一）矢量的加法矢量的和（三角形法则）-

2、一从折线的端设已知矢量a, 8 ,以空间任意一点O为始点接连作矢量OA = a, AB =人得一折线OAB,从折线的端-点o到另一端点b的矢量ob =，叫做两矢量a与b的和，记做8 = a+b。矢量的和（平行四边形法则） 如图示，有c = a+b。一般地：矢量的加法还满足多边形法则:OA = OA + A A +. + A A一般地：矢量的加法还满足多边形法则:n运算规律： 1）1）交换律：a+b = b+a ；2）2）结合律：（a + b） + 8 = a + （b + 8）。矢量的差若b+c = a，则称8为矢量a与b的差，并记作c = ab。由定义，得矢量减法的几何作图法:c=a-b矢量

3、加法的性质（1矢量加法的性质（1）由定义，,/ a =i a ia0-a0 Lt TOC o 1-5 h z a _ b a + (_ b)(2)i a+b ii a i +1 (2)i a -b ii a i +1 b ii a + a + + a ib =(七,y四、两矢量的夹角b =(七,y2,z2)，a - bxx + y y + z z贝U CosZ(a, b) = = ,121?12I a | , | b |：x 2 + y 2 + z 2 ,tx 2 + y 2 + z 2 111222推论*a b = a - b = 0 o x x + y y + z z = 0。1 21 2

4、1 2两矢量的矢性积一、一、矢量积的定义与运算性质 TOC o 1-5 h z 定义 两个矢量a与b的矢性积(又叫外积，叉积)a x b是这样一个矢量： HYPERLINK l bookmark5 o Current Document (1)(1)模长为 I a x b I=I a I -1 b I SinZ(a,b) ； (2)方向为：与 a,b 均垂直且使(a,b ,a x b)成右手系。性质 1) 若a,b中有一个为0，则a x b = 0。r ta- rr T2)a x b = 0 o a ,b共线或平行。* i3)几何意义：Ia x b I表示以a , b为邻边的平行四边形的面积。矢

5、性积的运算规律1)2)1)2)3)1)2)3)反交换律：a x b = - b x a。 *9- T *结合律：人(a x b)=(人a) x b = a x (kb)。I- -I-F- *-I-分配律：(a + b) x c = a x c + b x cc x (a + b) = c x a + c x b。同矢量的加，减，数乘运算一样，矢量的数性积运算，也可以象多项式的乘法那样去展开。、坐标计算矢量的矢性积定理在右手系直角坐标系中，a定理在右手系直角坐标系中，a = (xy1, z1)，b = (x2,y2,z2)，则 g 则 g a x b =证明：ijk气y1z1x2y 2z 2=(

6、y z y z )i + (z x z x ) j + (x y x y )k。 TOC o 1-5 h z 1 22 11 22 11 22 1a x b = (x i + y j + z k) x (x i + y j + z k) = x x i x i + x y i x j + z z k x k1112221 21 21 2#*+FF手*又,: i x i = j x j = k x k = 0， i x j = k , j x k = i , k x i = j， a x b = (y z y z )i + (z x z x ) j + (x y x y )k，用行列式可记成1

7、22 11 22 11 22 1，便于记忆。，便于记忆。xix2yiy2z1z2(五)矢量的混合积定义L 丁、-. 一、一 .一一 ,、一T q - 丁 1、q 丁 1、 (a x b) - c称为矢量的混合积，也可记为a x b - c或(a, b, c)或(a b c)（三）矢量的线性关系与矢量的分解定义,I曰.a a a _.比人.曰.入，入，, , ,入a 人 a + 人 a + - + 人 aa ,a aak由矢量1 2 n与数量1 2 n所组成的矢量 112 2 n n，叫做矢量1 2 n的线性组合。或称a可以用矢量a1 y?气线性表示。或称。可以分解成矢量a1, 气的线性组合。定

8、义（线性相关） TOC o 1-5 h z n(n 1)人 曰 a a aa. 、r.比人.人人,、人 人 a + 人 a + - + 人 a 0，则对于n(n V个矢量1 2 n，右存在不全为零的实数1 2 n，使得112 2 n n，则称矢量a1 a2an线性相关。不是线性相关的矢量叫做线性无关，即矢量a1七an线性无关：人a +人a +人a 0 o人一九 一.一人 0112 2n n12n 。定理1h 1-卜在n 2时，矢量a1aan线性相关的充要条件是其中至少有一个矢量是其余矢量的线性组合。证明：设矢量a a a线性相关，则存在不全为零的实数人,人，,人使得 12 n12 nh.:h人

9、a +人a +人a 0，且人,人, ,人中至少有一个不等于0，不妨设人。0，贝 112 2n n12 nn，入 入a 元卜 a 元 a a 犬 1 a ；nnn h|一反过来，设矢量a ,a ,a中有一个矢量，不妨设为a，它是其余矢量的线性组合，即 1 2nn-1不卜卜n-1不a 人a +人a + +人 a ，即人a +人a + +人 a + （1）a 0。因为数人,人, ,人n 112 2n1 n1112 2n1 n1n1 2n1全为0,所以矢量a ,。2a线性相关。显然，如果一组矢量中的部分矢量线性相关，那么这一组矢量就线性相关。如果一组矢量中含有零矢量，那么这一组矢量就线性相关。定理2

10、TOC o 1-5 h z *T f *若e。0,则矢量r与e共线o r 能且系数尤被e, r唯一确定。-r-ff证明：若r 就，由定义知，矢量r与e共线。反过来，若矢量r与e共线，则一定存在实数尤，使得r xe。fe- *ff如果r 0，那么r 0e，即x 0。f f最后证明唯一性。若r xe x e，则（x - x）e 0，而e丰0，所以x= x。利用矢量间的线性相关的概念，可推广到更一般的形式：定理2b-sfc-+ -F-两矢量r与e共线o r,e线性相关。定理3若矢量e,e不共线，则矢量r与e,e共面o r = xe +虎，且系数x,y被e,e,r唯一确定。12121212证明省略。推

11、广到更一般的形式: 定理3三矢量r与e e廿面e e r线性相关 矢里* r 与e ,e 共、面 e ,e，纭h土4日k。 1212定理4若矢量e,r,r不共面，则空间任意矢量r均可以由矢量r,r,e线性表示，即r = xe + yr +任，且系数 123123123x,y,z被e,e,e, r 唯一确定。 123证明省略。推广到更一般的形式：定理4空间任意四个或四个以上的矢量总是线性相关的。标架与坐标一、坐标的定义在第四节，曾经有个结论： 牛. e，e，ere，e，er = xe + ye + ze n 歹粉若天里1 2 3小共面，则空间任意天里r均可以由天里1 2 3线性表示，即123，且

12、系数 x, y, z 汕e , e , e 被r，1 2 3唯确定。若e1, %, e3是单位矢量，则；e若e1, %, e3是单位矢量，则；e1, % %叫做笛卡儿标架。 若e1, %, e3是相互垂直的笛卡儿标架，则叫做笛卡儿直角标架，简称直角标架。定义(坐标)1J 11 2 3的坐标。,y, 称为点P的坐标。困宅籽力口 ；e ,e ,e r = xe + ye + ze(x, y, z)为1 2 3的坐标。,y, 称为点P的坐标。取定标架1 2 3，若 123，称为关于标架-取定标架； e1, %, e3，P为任意一点，OP称为点P的径矢，则OP关于标架的坐标由标架决定坐标系，则由仿射标

13、架决定的坐标系叫做仿射坐标系，今后我们用的通常是空间右手直角坐标系， 并记,j,k为特定的坐标矢量。称为坐标原点，Oy,Oz称为坐标轴，xOy,xOz,yOz称为坐标面。三个坐标面把整个空间分成八个部分，称为八个卦限。二、二、坐标表示矢量的线性运算1.矢量的坐标等于其终点坐标减去其起点坐标。已知 A(x ,y ,z ),B(x ,y ,z ) 证明 AB =(x x ,y y ,z z) TOC o 1-5 h z 已知 111222 ，证明212121。证明.由定义 OA=(x，y，z),OB=(x，y，z)证明：由定乂，1 1 12 2 2 ，- aB = oB OA = (x x , y

14、 y , z z ) 212121 。2 2若 a = (x , y , z ),b = (x , y , z ) 则 b + a = (x + x , y + y , z + z )2若111222 ，则212121b - a = 3 x , y y , z z212121 ，根据坐标的定义既可证明。气,b - a = 3 x , y y , z z212121 ，根据坐标的定义既可证明。气,x y z-rf1 = 1 = 2 1 而北秉牛昌 a = (x ,y ,z ),b = (x ,y ,z ) if|r| a, b 廿独 x y z3- 3-两非零大量11 1222，则 共线 222

15、。X2 尤1 = y2 ，1 = z2 Z论 二点 A(x , y , z ), B(x , y , z ), C(x , y , z )廿绊 x x y y z z 推论：一点 111222333 共我 313231*一韭塞矢量 a = (x , y , z ), b = (x , y , z ), c = (x , y , z )4- 4 .非零大量1 1 122 23 3 3，证明：共面Xa +b +vc = 0 =系数行列式D = 0。xyz11111xyz222xyz13331xyz444=0o则a, b, c共面5. 5.线段的定比分点坐标定义D D / D D r D D _ D

16、D_D D1对有向线段5尸2 V尸2），若存在点P满足pP = X 2，则称点P分线段P1P2成定比冗。定理设 P (x , y , z ), P (x , y , z )设 11112222x + Xxy + Xyx = 1+X2,y= 1+X2,z =则分有向线段P1P2成定比人的分点P的坐标是 z + Xz1+ X证明：P1P = X PP2，用坐标表示，即x - x1 y y1 z - z1=X (x - x)2=X (y 2 - y)=X(z2 - z)，解出 x,y,z 即得。例 卜 对于平行四边形ABCD，求A, D, AD, DB在仿射标架C; AC, BD中的坐标。解：作图如

17、下A(-1,0)例1 1D( 一 2,2)1 111AD =顷2)B =(一2厂2)DB = (0,-1)用坐标法证明：四面体对棱中点的连线交于一点。（略）矢量在轴上的射影定义（点在轴上的射影）已知一点A及一轴1，过A作垂直于1的平面a，该平面与轴1的交点A称为点A在轴1上的射影。定义（射影矢量）AB的始点A与终点B在轴1上的射影为点A，B，则AB就定义为矢量AB在轴1上的射影矢量，记为射影矢定义（射影） 矢量AB在轴1的长度，称为矢量AB在轴1上的射影，记为射影iAB（PrJ1AB）。_I ABIAB,与1 同方向。即.射影AB（ Pr jAB） - I ABlAB与1方向相反。射影定理Pr

18、LAB T AB1 CosQ，其中0 为1，AB 的夹角。证明略。推论相等矢量在同一轴上的射影相等。定理Pr j (a + b) = Pr j a + Pr j b定理典型例题例9-F 试证明：点M在线段AB上的充要条件是：存在非负实数人,日，使得OM =+OB，且X+P = l ,其中0是任意取定的一点。证明：(先证必要性)设M在线段AB上，则AM与AB同向，且0 | AM囱AB |， ,rh*h所以 AM = kAB，0 k 0，屋 0。(必要性)若对任一点0有非负实数X，日，使得0M = X0A +MB，且X + = 1，则 AM = 0M 0A = (X0A +yc0B) (X + )

19、0A = (0B 0A) = AB所以AM与AB共线，即M在直线AB上。又0 1，所以M在线段AB上。例证明三角形的三条高线交于一点。证明：如图，设AABC的两条高线BE，CF交于点M，连结AM。BE 1 AC :. BM - AC = 0 n (AM AB) - AC = 0 n AM - AC = AB - ACCF 1 AB :. CM - AB = 0 n (AM AC) - aB = 0 n AM - AB = AC - aB :.AM - AC = AM - AB n AM - bC = 0 n AM 1 BC延长AM, BC交于Q,则AD为BC边上的高。即三条高线交于一点M。已知

20、三点M (1,1,1), A(2,2,1), B (2,1,2)，求ZAMB并且求MA在MB上的射影。 解：mA = (1,1,0), mB = (1,0,1) mA - mB = 1 , I mA i=V2,i mBi=V2 TOC o 1-5 h z MA - MB 11兀. CosZAMB =_=. ZAMB =-I MA I -1 MB I v2 23MA =1 MA I -CosZAMB = 2 射影MB2例证明矢量a(b c) b(a c)与c相互垂直。t -f-B- b K h k h K 一证明：(a (b - c) b(a - c) - c = (b - c)(a - c)

21、- (a - c)(b - c)=0例已知空间三点A(1,2,3),B(2,1,5),C(3,2,5)，试求(1) AABC的面积。(2) AABC的AB边上的高。ijk132208=(24,12,6)=(24,12,6)AB = (1,3 2) , AC = (2,0 ,8). Smbc = 2 I AB x AC I=I AB x AC I= 21AABC 的面积为 3.巨T。又AABC的AB边上的高为AB x AC 1 =竺M = 36。 TOC o 1-5 h z I AB I14例若a + b + c = 0,贝I a x b = b x c = c x a，且说明其几何意义。*F-

22、*f*.,*F!*r-FFFF证明：,/ a x (a + b + c) = a x 0 = 0,又,/a x (a + b + c) = a x a + a x b + a x c ,*ffT. a x b = c x a。同理可证明a x b = b x c。a a4/i-a,人 斗布口口u = a a + b b v = a a + b b”处竹大曲 浒曰 b b 设 为两小共线矢量，证明11 ,22共线的充要条件是1 2*-# F- 证明：u，v共线O u，v线性相关，即存在不全为0的实数人，口，使得Ku +v = 0 ，即(a 人 + a p)a + (b 人 + b p)b = 0

23、又因为又因为ab不共线O ab线性无关Oa 人 + a p = 0b1X + b2日=0有唯一零解Oaibia2 = 0 b2例例对于平行四边形ABCD，求A, D，AD, DB在仿射标架C； AC, BD中的坐标。解：作图如下解：作图如下AA(-1,0)例1 1 1 111 D(-2,2) AD = (2,2) B = (-2,-2) DB = (0,-1) A AA A 用坐标法证明：四面体对棱中点的连线交于一点。（略）20022003年应数02级空间解析几何复习试题一.填空：（每题6分）1.向量白=化3,4在向量b = b,2,l上的投影 。72 .已知 A = 1 + 3k，OB =

24、J + 3k，则oab 的面积为。X2 _ Z2 _ a 2 c 23.曲线0绕z轴旋转一周之曲面方程为。L . x 1 y z + 3 l . x y + 2 z.求直线1141 和22_ 2_ 1的夹角为。.二次曲线6x2 _ xy _ y2 + 3x + y _10的渐近线为。（8分）证明：若一个平面与三个坐标轴均相交，则三个截距倒数的平方和等于原点到此平面距离的倒数平 方。（10分）证明：二次曲线8x2 + 4xy + 5y2 +16x + 4y 一 80表示一个椭圆，并写出其标准形。L . x + y _ z _ 1 0（io分）求直线 x_ y + z +10在平面兀:x + y

25、+ z0上的投影直线的方程。（10分）已知两垂直的直线：4x + 3 y _ 70与l2：3x _ 4 y +1，取为x轴，4为y轴，求坐标 变换公式，并求l3 : 3 x _y+20在原坐标系中的方程。x y + 2 z 1x 1 y 3 z +1六.（12分）判别两直线2 - 2_ 1与直线42_ 1的位置关系，并求两直线间的距离。（10分）已知一柱面的准线是球面x 2 + y2+ z 21和平面x + y + z0的交线，母线垂直于准线所在的平 面，求它的一般方程。（10分）设入口满足什么条件时，二次曲线x2 + 6xy + Xy2 + 3x +阿_ 40 （1）有唯一的中心；（2）无

26、中心；（3）有一条中心直线。20022003年应数02级空间解析几何复习试题二.一.填空：（每题6分）1.向量白=化3,4在向量b = b,2,l上的投影 。72 .已知 A = 1 + 3k，OB = J + 3k，则oab 的面积为。X2 _ Z2 _ a 2 c 23.曲线0绕z轴旋转一周之曲面方程为。L . x 1 y z + 3 l . x y + 2 z.求直线1141 和22_ 2_ 1的夹角为。.二次曲线6x2 _ xy _ y2 + 3x + y _10的渐近线为。二.（8分）证明：若一个平面与三个坐标轴均相交，则三个截距倒数的平方和等于原点到此平面距离的倒数平 方。（10分

27、）证明：二次曲线8x2 + 4xy + 5y2 +16x + 4y 一 80表示一个椭圆，并写出其标准形。L . x + y _ z _ 1 0（io分）求直线 x_ y + z +10在平面兀:x + y + z0上的投影直线的方程。（10分）已知两垂直的直线：4x + 3 y _ 70与l2：3x _ 4 y +1，取为x轴，4为y轴，求坐标 变换公式，并求l3 : 3 x _y+20在原坐标系中的方程。x y + 2 z 1x 1 y 3 z +1六.（12分）判别两直线2 - 2_ 1与直线42_ 1的位置关系，并求两直线间的距离。（10分）已知一柱面的准线是球面x 2 + y2+ z

28、 21和平面x + y + z0的交线，母线垂直于准线所在的平 面，求它的一般方程。（10分）设入口满足什么条件时，二次曲线x2 + 6xy + Xy2 + 3x +阿_ 40 （1）有唯一的中心；（2）无 中心；（3）有一条中心直线。由机土由机土解析几何的产生，十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如德国天文学家开普 勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的太阳处在这个椭圆的一个焦点上意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。

29、1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作方法论，这本书的后面有三篇附录，篇叫折光学，一篇叫流星学，一篇叫几何学。当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。笛卡尔的几何学共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和 “超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的几何学作为解析几何的起点。从笛卡尔的几何学中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、 代数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。为了实现上述

30、的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对（x,y的对应关系。x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写几何学以前，就有许多学者研究过用两条相交 直线作为一种坐标系；也有人在研究天文、地理的时候，提出了一点位置可由两个“坐标”（经 度和纬度）来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。在数学史上，一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一， 应该分享这门学科创建的荣誉。费尔马是一个业余从事数学研究的学者，对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。他性情谦和，好静成癖，对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中知道，他早在笛卡尔发表几何学以前，就已写了关于解析几何的小文，就已经有了解