相关分析与相关系数

1、第五讲相关分析一、“相关”的意义（一）相关现象教育工作者常觉察，许多教育现象之间或教育行为之间存在着必然的彼此联系。例如，在 学习行为上，隐约地表现出这么一些特点：学生的数学成绩和物理成绩之间关系密切，似乎许 多数学成绩优秀的学生在物理科目上的成绩大多也是优秀的，许多数学水平中等的学生在物理 科目上的学习水平大多数也是中等的，许多数学成绩较差的学生物理科目上的学习成绩大多也 是较差的。这说明数学成绩和物理成绩之间存在一种水涨船高、水落船低”的彼此关联的 趋势。固然，并非是所有事物之间都有这么一种相同的明显的关联趋势。比如，数学成绩与语文 成绩之间或语文成绩与化学成绩之间，其彼此关联的趋势就不是

2、那么明显可察。而另外一些教 育现象，例如对学习材料的温习次数与遗忘量之间的关系，其遗忘量在必然范围内随着温习次 数的增加而减小。可见，行为变量或现象之间存在着各种不同模式不同程度的联系。（二）（二）相关的直观意义散点图分析正相关与负相关一一 若是彼此关联着的两变量，一个增大另一个也随之增大，一个减 小另一个也随之减小，转变方向一致，就称两变量之间有正相关。若是彼此关联着的两变量， 一个增大另一个反而减小，转变方向相反，就称叫两变量之间有负相关。直线性相关与曲线相关直线性相关是所有关联模式中最简单的一种，有关联的两个变 量各自以大体均等的速度转变着。若以平面坐标散点图来理解，直线性相关意指：两个

3、变量的 成对观测数据在平面直角坐标系上描点组成的散点图散布的教点会围绕在某一条直线周围。直线性相关的含义，是以平面坐标散点图来理解，咱们还可以从相关散点图的几何散布形 态来熟悉相关的强度与方向，若是散点图形杂乱无章没有显示出向某个方向延伸的情形，则说明 相关程度很低；若是散点图散布形成一个边界不规则的椭圆，则说明两个变量存在中等程度的 相关；若这里的椭圆越扁长，则相关程度越高。至于相关的方向，则可以通过散点椭圆图形的 长轴所在直线的斜率来判断。从左下方往右上方延伸的情形是正相关；从左上方往右下方延伸 的情形是负相关。这样，咱们可以从散点图的散布情况，初步判断两个变量之间的相关情况。二、相关的计

4、算及分析（一）.（积差）相关系Kr概念，设两个现象有如下两组观测值为X与Y的相关系数小 （XX）（Y - Y） 莅（XX）J（Y - Y）2 i=为X与Y的相关系数相关系数用r表示，r在-1和+1之间取值。相关系数r的绝对值大小（即,），表示两个 变量之间的直线相关强度；相关系数r的正负号，表示相关的方向，别离是正相关和负相关；若 相关系数r=0，称零线性相关，简称零相关；相关系数H=1时，表示两个变量是完全相关， 这时，两个变量之间的关系成了肯定性的函数关系这种情况在行为科学与社会科学中是极少存 在的。一般说来，若观测数据的个数足够多的话,计算出来的相关系数r就会更真实地反映客观事 物之间的

5、本来面目。当Hi,称为高度相关；当-H 刀时，称为中等相关；当-H Q4时，称为低度 相关；当H02时，称极低相关或接近零相关。由于事物之间联系的复杂性，在实际研究中，通过统计方式肯定出来的相关系数即即是高 度相关，咱们在解释相关系数的时候，还要结合具体变量的性质特点和有关专业知识进行。两 个高度相关的变量它们之间可能具有明显的因果关系；也可能只具有部份因果关系；还可能没 有直接的因果关系，其数量上的彼此关联，只是它们一路受到其他第三个变量所支配的结果。 除此之外，相关系数r接近零，这只是表示这两个变量不存在明显的直线性相关模式，但不能肯 定地说这两个变量之间就没有规律性的联系。通过散点图咱们

6、有时会发现，两个变量之间存在 明显的某种曲线性相关，但计算直线性相关系数时，其值往往接近零。对于这一点，读者应 该有所熟悉。在统计学教科书中，除非特别说明，直线性相关一般情况下就称相关；直线性相关系数就 称相关系数。相关系数的计算方式多种多样，这里主要介绍：积差相关、品级相关和点双列相 关。这些相关分析方式在行为科学研究和在教育与心理测量研究中有普遍的应用。【例1】练习（用统计计算器）算出某学多（数学）与Y（语文）成绩之间的相关系 数（表1）：0576825776672462320677895929792168530777885929774467760868844624705657120974

7、80547664005920107487547675696438756837573527024563369057682577667246232067789592979216853077788592977446776086884462470565712097480547664005920107487547675696438756837573527024563369说明该系数的含义。（答:（二）、品级相关的概念及大体公式针对两列顺序变量数据之间的相关问题，英国心理学家与统计学家斯皮尔曼（）在皮尔逊积差相关法思想的基础上，导出了品级相关的计算方式。品级相关是按照两列顺序变量数 据中各对品级数据的差数

8、来计算相关系数的方式。对于持续变量的数据，必要时可别离把两列 数据按大小顺序赋给名次品级，进而采用品级相关法计算相关系数。品级相关系数的大体计算6睥6睥2-11-机阿T)rR=式中：rR是品级相关的记号；n是成对观测数据的数量；D是成对的品级数据的差数，简 称品级差数；是所有品级差数的平方和。（答：）【例2】表2 :品级相关系数计算示例【例3】 两位教育专家对5篇论文进行独自评价，各自对这5篇论文排出名次顺序，其结果见表2中第2栏和第3栏有关数据。试问这两位教育专家在评价优秀论文时，他们评价 意见一致性如何？分析解答一般说来，要研究两位专家的评判标准或评价意见的一致性程度，可以通过相关分析的方

9、法。由于这里的评价意见最终是以排定的名次出现的，故要用等级相关法。具体 计算仿照上例，其结果如表3。据此求得:可见这两位专家对5篇论文的评价意见一致性很差。表3品级相关系数计算示例2论文编号评委甲（&）评委乙（&9D0124-240253240341390412-110535-2420关于Spearman品级相关系数计算中出现湘同品级”时的处置方式:把相同品级处置术平均数；或在把相同把相同品级处置对应品级也处对应品级也处术平均数。（三）、点双列相关相关的概念及大体公式在研究一些教育问题时，咱们常碰到两个变量中的一个是持续变量，另一个是二分类 的称名变量，而且要求分析它们之间的相关连带关系的情况

10、。【例4】 某研究人员取得14位学生参加国际中学生奥林区克数学竞赛地域选拔赛的成 绩,其数据如表3所示，试问性别和数学能力之间有连带关系吗？表4: 14名学生参加奥林区克数学选拔赛成绩一览表学生代号/BCDEFGHIJ KLM N性别男男男男男男男男男女i女女女数学成6434654634 642 3绩90031785340030这里的性别变量是称名变量是名不虚传的二分类称名变量而数学成绩是持续变量数据。对这样类型的两列数据，如何研究变量之间的相关呢？显然前面介绍的方式都不适用为此 咱们介绍一种新的相关分析法，即点双列相关。一、点双列相关适用范围及大体公式点双列相关适用于双变量数据，例如有一列数

11、据是持续变量数据，如体重、身高和许多考 试与考试的分数；包括一列数据是二分类的称名变量数据，如性别（分男与女）、态度（分同 意和不同意）、学习经历（分有与无）、考试结果（分合格与不合格）、题目解答（分答对与 答错）等数据。点双列相关的大体公式为：式中弓，是点双列相关系数的符号；p是二分类数据中某类事物所占的比例；q是二分类 数据中另一类事物所占的比例2 t-p ；W 是p类事物的持续变量数据的平均数；歹q是 q类事物的持续变量数据的平均数；&是全数持续变量数据的标准差。二点双列相关系数计算按照上述点双列相关的大体公式，可从已知数据动身，分步进行计算。【例3】 按照本节表4-7的有关数据，研究一

12、下数学能力与性别之间有多大的关联。分析解答采用点双列相关法来研究教学能力和性别之间的相关情况，可按公式，由 表中的数据资料分步计算。（1）在14名学生中有9名男生和5名女生，若用p表示男生的人数比例，4表示女 生的人数比例，则有：（2）把14名学生的数学比赛成绩按男生和女生分成两部份;第一部份即p部份是9名男 生的数学成绩，第二部份即q部份是5名女生的数学成绩，并别离计算这两部份数据的平均数。男生成绩：69,40，30，43,61，57,48,65,33女生成绩：44,60，40，23, 3044 + 60 + 40 + 23 + 30 197 十V -39.4电=55计算14名学生的数学成绩

13、的标准差Sx。为此，按照第二章中标准差的公式，表中的数 据通过计算可得下列各值：643.IT，= 13.9667643.IT，= 13.9667(4)把上述各值代入公式，求得点双列相关系数为：项=乌 F 庙=49.X56-39一4如642由0.3571 = 0.5780乩 13.9667注：这个计算结果是错的！应为.因此，从本研究的数据来看，奥林匹克数学竞赛地域选拔赛的数学成绩与学生性别之间存 在中等程度的相关。具体地讲，从男生组和女生组的平均分数来比较，似乎男生的数学平均分 数较明显地高于女生的数学平均分数。固然，计算点双列相关第数也可以设计一张表格来完成上述各个数量的计算。同窗不 妨利用这种