与圆锥曲线有关的最值问题

1、与圆锥曲线有关的最值问题如果函数y=f(x)在点的附近有定义，并且的值比在附近所有各点的函数值都大或都小，那么称是函数f(x)的极大值或极小值。函数y=f(x)在区间内有定义，如果在上的一点处的函数值不小于或不大于函数在上其余各处的函数值，那么称是函数y=f(x)在区间上的最大值或最小值。函数y=f(x)在区间上的最大值是区间端点处的函数值f(a)、f(b)及所有极大值中的最大者；最小值那么是在上的f(a)、f(b)及所有极小值中的最小者。与圆锥曲线的关的最值问题，往往是圆锥曲线的知识与函数内容的综合。下面分类介绍解析几何中求最值的方法一、平面几何法例1、在抛物线上求一点M，使点M致到点A（1

2、，0）和点B（3，2）两点距离之和最小，并求这最小值。xyMABloN解：如图，作抛物线的准线l:x=-1,再作于N点。为抛物线的焦点，显然，B、M、N三点共线且直线时，|MN|+|MB|最小，也即|MA|+|MB|最小。此时M1，2例2、点O0，0、Bm，0m0)，动点P到O、P的距离之比为 2：1，求1P点的轨迹方程；2P点在什么位置时，三角形POB 的面积最大，并求出最大面积。yxABPPPo解：1设Px,y) 由，|PO|：|PB|=2：1化简，得即P点轨迹为以A为圆心，为半径的圆。2如图，三角形POB的一边OB定长在x轴上，另一顶点P在以A点为圆心的圆上，由平面几何知识，知当P点是与

3、x轴垂直的直径的两端时，三角形POB的面积最大。过点A且与x轴垂直的直线方程为它与圆A交于故P点坐标为时，三角形POB的面积最大，其值为例3、A4，0、B2，2是椭圆内的两定点，M是椭圆上一动点，求|MA|+|MB|的最值。解：设椭圆左焦点为A-4，0。显然A4，0为椭圆右焦点， 因而由椭圆定义得|MA|+|MA|=10 xyoMABAxyoAAMB如上图所示：|MA|+|MB|=|MA|+|MA|+|MB|-|MA|=10+|MB|-|MA|如以下图所示：|MA|+|MB|=|MA|+|MA|+|MB|-|MA|=10-|MA|-|MB|说明：在用平面几何法求最值问题时，主要利用平面几何的以

4、下几个重要概念： 1两点间线段最短；2点到直线的一切线段中，垂线段最短。 3同圆的一切弦中，直径最长。二、一次函数法例4、三角形ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，圆O为内切圆，设P为 圆上一 点，求发PA、PB、PC为直径的三圆面积之和的最值。xyoABCEPD解：如图，以圆心O为原点，以过O且平行于BC的直线为x轴， 建立直角坐标系，设Px,y)。易知A-1，2、B-1，-1、C3，-1那么所求面积之和为：例5、已知椭圆两焦点为M点为椭圆上动点，求f(M)的最值，并求此时M点的坐标。由已知，a=5，b=4，c=3三、二次函数法例6、P为抛物线上的动点，求P点到直线4x+3y+46=0的

5、最短距离。解：设P(x,y)那么P点到直线4x+3y+46=0的距离yxoPxyoM四、判别式法例7、求曲线的最高点、最低点的坐标.解：曲线化为：化简，得解之，得因此，所求最高点为6，9，最低点为4，5例8、A、B为抛物线上两个动点，且|AB|=3，线段AB中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时M点的坐标。将（1）、（2）代入（3）得：yxoABM又AB中点M到y轴距离代入（4），得化简，得所以，此时M点纵坐标为因此，M点到y轴最短距离为此时 M点坐标为五、切线性质法例9、已知P(x,y)为椭圆上任一点，求u=2x+3y的最值。解：由u=2x+3y,得求u的最值，就是求与椭圆有公共点且斜率

6、为的平行直线系在y轴上截距的最值。xyoxoyMNBA由切线性质可知,当直线与椭圆相切时,u取最值.椭圆的切线方程为例10、已知A（3，1）、B（-2，-2）是椭圆上两定点，M、N是椭圆上位于直线AB两旁的两动点，求四边形AMBN的最大面积。分析：如下图，都平行于直线AB时，过M、N的四边形AMBN有最大面积。六、三角法例11、已知动点P(x,y)在曲线上运动，求x,y各取何值时，代入原方程，得CPRQAxyo例12、如图，已知点P是圆C：上一点，它关于定点A（5，0）的对称点为Q，当点P绕圆心C（5，5）依逆时针旋转时，所得点记作R，当点P在圆C上移动时，求|QR|的最值。解：设P点、R点坐标为R点坐标亦即CABoxy七、平均值定理法例13、如图，平面直角坐标系中，在y轴正半轴上给定两点A、B，试在x轴正半轴上求一点C，使取得最大值。说明:此题是1986年高考(理科)试题,解此题的关键是通过三角变换,构 造出关系式(1),再利用平均值定理求解.例14、以双曲线xy=a(0a0),点 M在 直线l上滑动，动点N在MF的延长线上，且满足2、在三角形ABC中，所对的边分别为a,b,c，且c=10，P为三角形ABC内切圆上动点，求点P到A、B、C到距离平方和的最值。3、已知A（3，-4）、B（4，-2），C在圆上，求三角形面积最小时