2010年第21届第1试试题及解答

1、PAGE PAGE PAGE 14一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内题号12345678910共得分答案1下列图案都是由字母组合而成的，其中不是中心对称图形的是（ ）A B CD2若，则（）ABCD3若代数式有意义，则的取值范围是（）AB且C且D且4正整数是等腰三角形三边的长，并且，则这样的三角形有（）A1个B2个C3个D4个5顺次连接一个凸四边形各边的中点，得到一个菱形，则这个四边形一定是（）A任意的四边形B两条对角线等长的四边形C矩形D平行四边形6设，其中是正实数，并且，则（）ABCD7Given satisf

2、y and then which one is not sure to be correct in the following inequalities？（）ABCD8某公司的员工分别住在三个小区，区住员工30人，区住员工15人，区住员工10人，三个小区在一条直线上，位置如图1所示，若公司的班车只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最短，那么停靠点的位置应在（）A区B区C区D区以外的一个位置9的内角和都是锐角，是高，若，则是（）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形10某人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下，用了24秒；若他站在自动扶梯上不动，从楼上到

3、楼下要用56秒若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用（）A32秒B38秒C42秒D48秒二、A组填空题（每小题4分，共40分）11四个多项式：；，其中不能用平方差公式分解的是_（填写序号）12若，则与的大小关系是_（填“”、“=”或“”）13分式方程的解是_14甲、乙两人从点同时同向出发沿400米的环形跑道跑步，过一段时间后，甲在跑道上离点200米处，而乙在离点不到100米处正向点跑去，若甲、乙两人的速度比是4：3，则此时乙至少跑了_米15已知等腰三角形三边的长分别是则它的周长是_16若则_17直线与轴、轴的交点分别为，则线段上（包括端点）横坐标和纵坐标都是整数的点有_个18已知关于的不等式的解

4、是，则_19当分别取这100个数时，关于的分式方程有解的概率是_20十位数能被11整除，则三位数最大是_三、B组填空题（每小题8分，共40分）21一个矩形的长与宽是两个不相等的整数，它的周长与面积的数值相等，那么这个矩形的长与宽分别是_和_22用表示不大于的最大整数，如则方程的解是_或_23As in figure 2，in a quadrilateral we have its diagonal bisects and then the distance from point to line is_，and the length of is_（英汉词典：quadrilateral 四边形：b

5、isect平分）24如图3，位于第一象限内，点的坐标为（1，1），两条直角边分别平行于轴、轴，若反比例函数的图象与有交点，则的最大值是_，最小值是_25设依次是面积为整数的正边形的个顶点，考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形，如四边形、七边形等，如果所有这样的凸多边形的面积之和是231，那么的最大值是_，此时正边形的面积是_第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛答案评分标准第二 第1试1答案（1）选择题题号12345678910答案BBBCBACADC（2）A组填空题题号11121314151617181920答案=-2750123-850990（3）B组填空题题号2122232425答案6；3；

6、8；17；123；12评分标准（1）第110题：答对得4分；答错或不答，得0分（2）第1120题：答对得4分；答错或不答，得0分（3）第2125题：答对得8分；每空4分；答错或不答，得0分【试题解析】1下列图案都是由字母组合而成的，其中不是中心对称图形的是（ ）A B CDBB中5个”m”分布在正五边形上，不是中心对称图形2若，则（）ABCDB，于是3若代数式有意义，则的取值范围是（）AB且C且D且B，解得且4正整数是等腰三角形三边的长，并且，则这样的三角形有（）A1个B2个C3个D4个C，均为正整数，又，只能取，若，即，则，于是；若，即，则，于是；若，即，则，于是综上，这样的三角形有个5顺次

7、连接一个凸四边形各边的中点，得到一个菱形，则这个四边形一定是（）A任意的四边形B两条对角线等长的四边形C矩形D平行四边形B顺次连接一个凸四边形各边的中点得到的四边形，每组对边都等于对应对角线长的一半因此若得到的四边形为菱形，则这个四边形一定是两条对角线等长的四边形6设，其中是正实数，并且，则（）ABCDA，于是7Given satisfy and then which one is not sure to be correct in the following inequalities？（）ABCDC且，；，；，；因此只有C不一定成立8某公司的员工分别住在三个小区，区住员工30人，区住员工15

8、人，区住员工10人，三个小区在一条直线上，位置如图1所示，若公司的班车只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最短，那么停靠点的位置应在（）A区B区C区D区以外的一个位置A以区为原点，从区往方向为正方向建立数轴，设停靠点的坐标为，那么所有员工步行到停靠点的路程总和为，由绝对值函数的性质易知在处，该函数值最小9的内角和都是锐角，是高，若，则是（）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形D，又由正弦定理，于是，或10某人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下，用了24秒；若他站在自动扶梯上不动，从楼上到楼下要用56秒若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用（）A32秒

9、B38秒C42秒D48秒C设若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用秒，则，解得（秒）二、A组填空题（每小题4分，共40分）11四个多项式：；，其中不能用平方差公式分解的是_（填写序号）；12若，则与的大小关系是_（填“”、“=”或“”）=13分式方程的解是_（舍去）或14甲、乙两人从点同时同向出发沿400米的环形跑道跑步，过一段时间后，甲在跑道上离点200米处，而乙在离点不到100米处正向点跑去，若甲、乙两人的速度比是4：3，则此时乙至少跑了_米假设甲的速度是，乙的速度是，题中所述情况是在开始跑步后时刻且此时甲、乙已经跑了、个整圈，则，（其中）于是，即，因此于是当，时，最小，此时乙跑了（米）15

10、已知等腰三角形三边的长分别是则它的周长是_时，此时三角形的三边长分别为，矛盾；时，此时三角形的三边长分别为，周长为；时，此时三角形的三边长分别为，矛盾16若则_，于是17直线与轴、轴的交点分别为，则线段上（包括端点）横坐标和纵坐标都是整数的点有_个即，于是必然整除；另一方面、，于是的可能取值为对应的点均在线段上18已知关于的不等式的解是，则_原不等式，解得（舍去）或19当分别取这100个数时，关于的分式方程有解的概率是_当和以及无解时原方程无解，即和时原方程无解因此方程有解的概率为20十位数能被11整除，则三位数最大是_，能整除而，此时能整除，三位数最大是（注：能被11整数的自然数的特点是：奇

11、数位上的数字和与偶数位上的数字和的差是11的整数倍）三、B组填空题（每小题8分，共40分）21一个矩形的长与宽是两个不相等的整数，它的周长与面积的数值相等，那么这个矩形的长与宽分别是_和_，设长和宽分别为、，则，即因为，于是长和宽分别为和22用表示不大于的最大整数，如则方程的解是_或_；，而，解得因此，的可能取值为和，解得和经验证，这两个解均为原方程的解23As in figure 2，in a quadrilateral we have its diagonal bisects and then the distance from point to line is_，and the length of is_（英汉词典：quadrilateral 四边形：bisect平分）；如图，过作的垂线，交于，连结，则，于是中，因此容易算得等腰三角形底边上的高为，24如图3，位于第一象限内，点的坐标为（1，1），两条直角边分别平行于轴、轴，若反比例函数的图象与有交点，则的最大值是_，最小值是_；当反比例函数的图象过点时最小，为；当反比例