积分不等式的证明方法

1、摘要在高等数学的学习中,积分不等式的证明一直是一个无论在难度还是技巧性方面都很复杂的内容.对积分不等式的证明方法进行研究不但能够系统的总结其证明方法,还可以更好的将初等数学的知识和高等数学的结合起来.并且可以拓宽我们的视野、发散我们的思维、提高我们的创新能力,因此可以提高我们解决问题的效率.本文主要通过查阅有关的文献和资料的方法,对其中的内容进行对比和分析,并加以推广和补充,提出自己的观点. 本文首先介绍了两个重要的积分不等式并给出了证明,然后分类讨论了证明积分不等式的八种方法,即利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用积分的性质、利用泰勒公式、利用重积分、利用

2、微分中值定理,最后对全文进行了总结关键词：积分不等式,定积分,中值定理,柯西-施瓦兹不等式,单调性ABSTRACTWhen we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skillIn this paper the proof methods of integral inequality are organized systematically to combine the knowledge of ele

3、mentary mathematicsand higher mathematics better. Also our horizons can be broadened,thinking can be divergenciedandinnovationabilitycanbeimproved,soastoimproveourefficiencyofproblem solving.The paper is completed by referring to relevant literature,comparing and analysing relatedcontent,complementi

4、ngandpromotingrelatedcontent.Inthispaper,twoimportant integralinequalitiesalongwiththeirproofmethodsaregivenfirst,andtheneightapproachesto proofintegralinequalitiesareintroduced,suchasconcavityandconvexityoffunction,method of auxiliary function,important integral inequality, integral mean value theo

5、rem, integral property, Taylor formula,double integral and differential mean value theorem.Finally,the full paper issummarizedKeywords:IntegralInequality,DefiniteIntegral,MeanTheorem, Cauchy-SchwarzInequality,Monotonicty引言不等式在数学中有着重要的作用,在数量关系上,尽管不等关系要比相等关系更加普遍的存在于人们的现实世界里,然而人们对于不等式的认识要比方程迟的多.直到 17 世

6、纪之后,不等式的理论才逐渐的成长起来,成为数学基础理论的一个重要组成部分.众所周知, 不等式理论在数学理论中有着重要的地位,它渗透到了数学的各个领域中,因而它是数学领域中的一个重要的内容.其中积分不等式更是高等数学中的一个重要的内容实际上关于定积分的概念起源于求平面图形的面积和一些其他的实际问题.有关定积240和的方法计算过抛物线弓形和其他图形的面积.在历史上,积分观念的形成要比微分早.然17 Newton-Leibniz 式建立之后,有关计算的问题得以解决后,定积分才迅速的建立并成长起来本论文研究的积分不等式结合了定积分以及不等式.关于它的证明向来是高等数学中的一个重点及难点.对积分不等式的

7、证明方法进行研究，并使其系统化，在很大程度上为不同的数学分支之间架起了桥梁.深刻的理解及掌握积分不等式的证明方法可以提升我们对其理论知识的理解,同时可以提高我们的创造思维和逻辑思维在论文的第三部分中对积分不等式的证明方法进行了详细的阐述.分别从利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理、利用定积分的性质这八个方面给出了例题及证明方法.这样通过几道常见的积分不等式的证明题,从不同的角度,用不同的方法研究、分析了积分不等式的特点,归纳总结出了其证明方法.同时论文中也对有的题目给出了多种证明方法,这启示我们对于同一道积分不等式而言它

8、的证明方法往往不止一种,我们需要根据实际情况采用合适的方法去证明,从而达到将问题化繁为简的目的几个重要的积分不等式在高等数学的学习中我们遇到过许多重要的积分不等式,如 Cauchy-Schwarz 不等式,Young 不等式等.它们的形式及证明方法都有很多种,在这一小结中我们将给出这两种积分不等式的证明方法Cauchy-Schwarz不等式Cauchy-Schwarz 不等式的另一个重要不等式其形式有在实数域中的、微积分中的、概率空间FP中的以及n 4 种形式.接下来在这一部分中我们将对其在微积分中的形式进行研究定理 2.11 设 f ( x) , g(x) 在a, b上连续,则有a b f

9、(x)g(x)dx 2ab f (x)2dx abg(x)2dxa2证明：要证明原不等式成立,我们只需要证2bbb f 2xdxg2xdxbbf xdx 0 成立2a2a设F t t f2xdx t g2xdxt f xdx ,则只要证F b F a成立,aat由F t 在a, b上连续,在a, b内可导,得taFt f2atg2xdxg2t f2xdx2f gf x g xdxaa t f 2 g2 x 2 f g f xg x g 2 f 2 xaaa t2 a f tgxgtf x x0由(2.1)式可知F在a,b上递增,由ba,知FbFa,故原不等式成立证毕Cauchy-Schwarz

10、 为普遍的辅助函数法,它将要证明的原积分不等式通过移项转变为了判断函数在两个端点Cauchy-Schwarz 以下行列式的形式bf xf xdxg xf xdxbaabba f xgxxa gxgxbb 0 ,由此我们可以联想到是否可以将它进行推广？答案是肯定的.下面我们将给出Cauchy Schwarz 不等式的推广形式bb2.22 f xg xh x在b上可积,则bbba f xf xba gxf xa hxf xbaf xgxbabaf xhxbagxgxdxbbaagxhxbbaab h x g x dx 0 baah x h x baa证明：对任意的实数t2 t3 ,有b12a t

11、f xt gxt hx2 b12a t b f2t bg2xdxt b h2 xdxbbbbaa2t1t2a f xgxxt3a f xhxxt2t3a gxhxx0注意到关于t2 t3 从而其系数矩阵行列式为ab f 2 xabafxgxbabafxhxbagxfxdxbaab g 2 xbaabagxhxbah xf xdxbbaah xg xdx 0 bbaaab h2 xaCauchy-Schwarz 不等式的行列式由二阶推广到了三阶的形式,事实上Cauchy-Schwarz不等式是一个在很多方面都很重要的不等式,例如在证明不等式,求函数最值等方面.若能灵活的运用它则可以使一些较困难的

12、问题得到解决.下面我们会在第三部Cauchy-Schwarz 不等式及其推广形式在积分不等式证明中的应用除了Cauchy-Schwarz不等式之外还有很多重要的积分不等式,例如不等式,相较Cauchy-Schwarz不等式的了解比较少,实际上它也具有不同的形式不等式进行一些研究Young不等式Young 不等式,以及和它相关的 Minkowski 不等式,Hlder 不等式,这些都是在现代分析数学中应用十分广泛的不等式,在调和函数、数学分析、泛函分析以及偏微分方程中这三个不等式的身影随处可见,是使用得最为普遍,最为平凡的知识工具.下面我们将给出积分形式的 Young 不等式的证明定理 2.33

13、 f (x) 0c（c 0 ） 上连续且严格递增, 若 f 0 a c且ab0, f(c,a号成立0 f(x)xb f 1 (x)dx ab ,其中 f 1 是 f 的反函数,当且仅当b f (a) 时等0a证明：引辅助函数g(a)baf(x)dx,(2.2)把b 0看作参变量,由于g(a) b f (a) ,且 f 严格递增,于是当 0a f1(bg(a0；当 a f1(bg(a0；当 a f1(bg(a0 因此 当a f1(bg (a取到g的最大值,即ga gx g f1(2.3)由分部积分得11f 1(b)f 1 (b)g(fb)fb)0f(x)x0f (x),作代换 y f (x) ,

14、上面积分变为将(2.2)式和(2.4)式代入(2.3)式得g( f 1(b) b f 1(y)dy,(2.4)0ab a f (x)dx b f 1( y)dy b f 1(000即 a f (x)dx b f 1(x)dx ab00定积分不等式常见的证明方法关于积分不等式的证明方法较为繁多,难度及技巧性也较大,因此对其进行系统的归纳总结是很有必要的在这一部分中我们将归纳出利用辅助函数、微分中值定理、重要积分不等式及积分中值定理等证明积分不等式的方法利用函数的凹凸性在数学分析以及高等数学中,我们常常会遇到一类特殊的函数凸函数凸函数具有重要的理论研究价值和广泛的实际应用,在有些不等式的证明中,若

15、能灵活地利用凸函数的性质往往能够简洁巧妙的解决问题下面给出一个例子加以说明定理 3.1 若t 定义在间隔m, M 内,且t 0 ,则t 必为下凸函数3.2 f x在ab上为可积分函数,而m f (x M 在间隔m t M内为连续的下凸函数,则有不等式1b f xdx1bf xdxbbaabaabba例 3.14 设 f x在a,b上连续,且 f x 0 baf xx1f xdxba2 证明: 取u 1 , 因为u 1 0,u2 0 , u 0uu2即在u 0 时, y u 为凸函数,故有1b f xdx u31bf xdx，baabaab ab1dxbaa f xbb1a即 bf xdx，故b

16、 af xdxa f xdxa 证毕a在上述的题目中我们可以发现在证明中常常先利用导数来判断函数的凹凸性,然后再利用凹（凸）函数的性质来证明不等式然而对于实际给出的题目,我们往往需要先构造一个凹（凸）函数,然后才能利用其性质来证明我们所要证明的问题辅助函数法辅助函数法是积分不等式证明中的一种非常重要的方法,往往我们会根据不等式的特点,构造与问题相关的辅助函数,考虑在相同的区间上函数所满足的条件,从而得出欲证明的结论在第二部分中我们用辅助函数法对 Cauchy-Schwarz 不等式进行了证明,下面将对用辅助函数法证明积分不等式进行进一步的探讨例 3.2.15 设函数 f x在区间0,1上连续且

17、单调递减,证明：对a (0,1) 时,a1有： f xxa0 f(x)x证明：令Fx 1x ft)t0 x,由fx连续,得Fx可导x 0 x则Fxf xx0 f tx2 f x x f xx2 f x f ,x(0 x) 因为 f ( x) 在0,1 上单调减少,而0 x ,有 f x f ,从而Ft 0 , F x在(0,1 上单调减少,则对任意a (0,1) ,有F(a) F (1) 即 1 a f (x)dx 1 f xdx ,两边同乘a 即得af(x)dxaf xdx证毕1a00,001本题根据积分不等式两边上下限的特点,在区间(0,1) 上构造了一个辅助函数,进一步我们可以思考对于一

18、般的情形,该题的结论是否依然成立呢？答案是肯定的.例 3.2.2 设函数 f x在区间0,1上连续且单调递减非负,证明：对 a, b (0,1) ,且0ab1时,有:a f xdx a b f (x)dx 0ba证明：令Fx 1x ft)t 0 xfx连续,得Fx可导, 则x 0 xFxf xx2f f x x f 2 f x f ,(0 x) xxxf (x) 在 0 x f x f Ft 0 F x 在(0,1 上单调减少,则对任意0 a b 1,有F (a) F (b) ,即1 a f 1 b f a 0b 0f b f0b f(3.2)a结合(3.1)式和(3.2)式可得 1 a f

19、x 1 b f x a0ba即 a f a b f x证毕0ba3.2.36 f (x在ab上连续,f x 0 试证：bba f(x)xbb1 dx(ba)2f(x)xax3.1 中我们给出了本题利用函数的凹凸性证明的过程,xax证明: 构造辅助函数 xf tdtdtf xa2, 则x f x x dtf dt2xa x f xdt x f t dt x2dtxa f txf xa f ta f xax f xf b a f t f x2t 0,bba所以 x是单调递增的,即 b a 0 baf xx1f xdxba2证毕例 3.2.47 设 f x在a,b上连续且单调增加,证明：b xf x

20、dx a b b f xdx 证明: 原不等式即为a2ab xf xdx a b b f xdx 0 ,构造辅助函数a2aF t xf xdx a t t f xdx , t a, b,a2a则Ft tf t 1 t f xdx a tf 1af t f xdx2a222 1 a f f a,t2a因为a tf x单调增加,所以Ft0故F在b上单调递增,且Fa0, 所以对x(ab,有Fx F0当xbFb0即b xf xdxab b f xdx0,故原不等式成立,证毕a2a通过以上几道题目的观察我们可以发现：当已知被积函数连续时,我们可以把积分的上限或者是下限作为变量,从而构造一个变限积分,然后

21、利用辅助函数的单调性加以证明辅助函数法实际上是一种将复杂的问题转化为容易解决的问题的方法在解题时通常表现为不对问题本身求解而是对与问题相关的辅助函数进行求解,从而得出原不等式的结论利用重要积分不等式2 Cauchy-Schwarz 不等式以及它的推广形式的证明过程,实际上 Cauchy-Schwarz 不等式的应用也很广泛,利用它可以解决一些复杂不等式的证明.在这一小节中我们将通过具体的例子来加以说明它在证明积分不等式中的应用3.3.18 f x在f f 0 0 ,1f2 xx 11f2xx0证明：由 f x1可得14 0 x10ftt f 0f x xx1f t dt f 122x 22xx

22、xx002 001f xftdt1 dtf00dt xfx x,(x,2),2121 212121f xx ft1 tx ftt 1x)0 fx,(x,1 ) 1因此 2 f 2 1 1f 2,(3.3)08 01 f2 xdx 11 f2 xdx(3.4)81082将(3.3式和(3.4式相加即可以得到1 f2 xx 11 f2xx证毕ba04 ba2b2bf xgx在b0m f xM,g xdx 0 ,则以下两个积分不等式b fxgxdxf2bg2xdxm2a g 2 xdx 及bfxgxdxba2 M m 2 f2aaabg 2 xdx 成立baM m aab证明：取hx1,由bg xd

23、x 0 及定理 2.2 知ab f 2 xdxabaf xgxbabgxfxdxbaab g 2 xbaaf xdxba0baa f x0b aaaabbb2 bb2aaababa因此baf 2xdxg2xdxa f x g2xdxa f xgxdx 0 bfbfxgxdxaaf 2xdxg2xdx1b2bg2 xdxba fbg2 xdxb由mf x可知a f x2ba2 ,b2因而b fxgxdxb2f2xdxbg2xdxm2a g 2 xdx aaaMma M m 2由于0 m f x M ,因此 f x2b化简得 f 2 x Mm M m f x,b 22两边同时积分得bf2xdxaM

24、mf xdx ,aaaaa2b f2xdxa b f2xdxaaa于是aa b f 2xdx2M m24Mma f xdx则1b fxdx2bg2xdxb2baa f xbabf2xdxbbg 2 xdxbba aaab f2 xdxaa2 4Mmb f 22 M mbb g 2 xdx a2 M m2 a(3.6)aa由式(3.5)和式aaa f xgxM m f 2 xdxg2xdx证毕Cauchy-Schwarz Cauchy-Schwarz f x与gx,有时还需对积分进行适当的变形利用积分中值定理积分中值定理展现了将积分转化为函数值,或者是将复杂函数积分转变为简单函数积分的方法.其在

25、应用中最重要的作用就是将积分号去掉或者是将复杂的被积函数转化为相比较而言较为简单的被积函数,从而使得问题能够简化.因此合理的利用积分中值定理能够有效的简化问题.下面将通过两道例题来说明定理 3.3 （积分第一中值定理） f x) 在ab上可积且 m f (x M bu,M使af(xxuba)成立.特别地,当 f(x)在a,b上连续,则存在ca,b,使bbaf(x)dxf(cba成立b3.4（积分第一中值定理的推广） f xgx在区间f x连gx在上不变号,则在积分区间上至少存在一个点 ,使得下式成立b f f b aa积分第二中值定理的推广）f xgx在区间f x为单调函数,则在积分区间上至少

26、存在一个点 ,使得下式成立bbf fagxdx fbgxdx 3.4.1 f x在区间ab ,且0 a b 1时,有a f xdx a b f (x)dx ,其中 f x 0 0ba3.2.2 可以用积分第一中值定理来证明,下面我们将给出证明过程证明：由积分中值定理知a011 f xdx f a , a011,a；b f xx f ba,a, b；a22因为 2 f xf f ,a22即1 a fxdx1b f xdx 1 b f xdx,a0baaba0故a f xdx a b f x0b3.4.2 f x在上连续且单调增加,b xf xdx a b b f xdx a2a同样地，在之前的证

27、明中我们给出了此题利用辅助函数法证明的过程,仔细分析观察这道题目我们还可以发现它可以用积分第一、第二中值定理的推广形式来证明,接着我们将给出此题在这两种方法下的证明过程证法一baba b abb ab22a xf xdx2a xf xdx 2ab xf xdx 23.4 可知,分别存在 aa b a b b ,1222a b 2222aba b 22a b 使得a x 2 f xdx f 1a x dx ,b x a b f xdx f b x a b dx ,2ab 22bab2ab22 ab 2因此 ax2 f xdx8f f f 单调增加的, 且012 1,所以有f 2 f 10从而 b

28、x ab f xdx0,故原不等式成立,证毕a 2证法二证明:由定理 3.5 可知：存在 a, b,使得bxab f xdx f x abdx f b x a b dxa 2a 2 2f a f babf x单调增加及 abf f b 0 a 0 b 0 可得 bx ab f xdx0,故原不等式成立,证毕a 2通过上述两道题目我们可以了解到积分中值定理在实际应用中起到的重要作用就是能够使积分号去掉,或者是将复杂的被积函数转化为相对而言较简单的被积函数,从而使问题得到简化.因此,对于证明有关结论中包含有某个函数积分的不等式,或者是要证明的结论中含有定积分的,可以考虑采用积分中值定理,从而去掉积

29、分号,或者化简被积函数利用积分的性质关于积分的性质在高等数学的学习中我们已经学到了很多,我们可以利用它来证明许多问题.在这里我们主要利用定积分的比较定理和绝对值不等式等性质对问题进行分析处理例 3.5.19 设 f x在0,1上导数连续,试证： x 0,1,1有f x0 fx f xx1证明：由条件知f x在上连续,则必有最小值, 即存在0 0,f 0 f x,x由ftt f x f 0 f x f 0 xf t dt ,00 xx1xxf x f 0 xx0ftt f 0 0ftt f 0 0 ftdt111110 1f 0 dt0ftdt 0f tdt0 ftdt 0 f tft0 fxf

30、 xx.故原不等式成立,证毕利用泰勒公式在现代数学中泰勒公式有着重要的地位,它在不等式的证明、求极限以及求高阶导数在某些点的数值等方面有着重要的作用.关于泰勒公式的应用已经有很多专家学者对其进行了深入的研究,下面我们将举例说明利用泰勒公式也是证明积分不等式的一种重要方法定理 3.6(带有拉格朗日型余项的Taylor 公式) 设函数 f ( x) 在点x0 处的某邻域内具有n 1阶连续导数,则对该邻域内异于x0 的任意点x ,在x0 与x 之间至少存在一点 ,使得：f (x) f (x ) f (x )(x x ) f (x0 )(x x )2 ) (x x )n R (x)(1)0f n (x

31、0n!f (f n (x0n!02!00nR (x(x x )n1 （ 在x 与x 之间）称为拉格朗日型余项,(1)式称为泰勒公n(n1)!00式 3.6.110 f x ab f f b 0 xa,bb试证:bf xdx b a 312证明：对x a, b,由泰勒公式得2f a f x fxax 1 f ax2 ,a,x,2f b f x fxbx1 f bx2 ,x,b,2两式相加得f x fxx ab 1f ax2 f bx2 ,242两边积分得f b fxx abx1 b f ax2 f bx2 x,a4a bb2其中b fxx abdx bxab xbb2f x dx ,a2a 2a

32、于是有b f xx 1 b f ax2 f bx2x,a8a 故b f xx Mb ax2 bx2x M ba3 证毕a8 a 例 3.6.26 设 f x在a, b上有二阶导数,且 f x 0 ,求证b f xdxaf aba2f x在 a b 处作泰勒展开得到2ababa bababf x f 2 f2x 22 f x2 , 2因为f x0,所以可以得到f x f ab fabx ab,222对不等式两边同时积分得到aab f xdx f a b b a f a b b x a b aa222222因为 bxabdx0,所以有 b f xdxaf ab证毕a 2a2通过这两道题目我们大致可

33、以了解到当题目中出现被积函数在积分区间上有意义且有二阶及二阶以上连续导数时,是提示我们用泰勒公式证明的最明显的特征一般情况下我们选定一个点xo ,并写出 f x在这个点xo 处的展开公式,然后进行适当的放缩或与介值定理相结合来解决问题利用重积分在一些积分不等式的证明中,由于被积函数的不确定,从而我们不能求出其具体的数值,这时我们可以将定积分转换为二重积分再利用其性质来求解以下列举了 3 种利用重积分来证明积分不等式的方法,这种技巧在高等数学中虽然不常见,但却是很重要的,下面我们将通过 3 道例题来进一步说明直接增元法命题一11：若在区间abf (x g(xba f(xxbba g(xx b例

34、3.7.111 设 f ( x) , g(x) 在a, b上连续,且满足：xxbbbbaftt a gtt xa,baftt a gtt a f(xxag(xxxx证明：由题得aftt a gtt ,bxbxbxb从而可以得到adxa ftdt adxa gtdt,即axa ft)gtt 0b左式a dxa ft)gtdt ft)gtt (其中D (x,t)|a xb,at )Dbba dtt ft)gtdx a btft)gtbbbbbbbbft)ta gt)ta tft)ta tgt)ta tft)ta tgt)t0bbb则a ft)ta gt)t 0,即a f(x)xa g(x)xbbb

35、xx在本题中我们将一元积分不等式a f(xdx a g(xdx的两边同时增加一个积分变量bax 法达到证明一元积分不等式的方法.b转换法在利用重积分来证明积分不等式的时候，我们不但可以采用直接增元法，还可以采用转换法.关于转换法又分为将累次积分转换为重积分，以及将常数转换为重积分这两种形式.下面我们将依次来介绍这两种方法.将累次积分转为重积分命题二11 若 f ( x) 在a, b 上可积, g( y) 在c, d 上可积,则二元函数 f (x)g( y) 在平面区域 D ( x, y) | a x b, c y d 上可积,且bdbdf(x)g(y)y Df(x)xg(y)y f(x)xg(

36、x)dx 其中 D ( x, y) | a x b, c y d例 3.7.211 设 p(x) , f ( x) , g(x) 是a, b 上的连续函数,在a, b 上, p(x) 0 , f ( x) , g(x)为单调递增函数,试证：bbbba p(x)f(x)xa p(x)g(x)xa p(x)xa p(x)f(x)g(x)xbbbb证明：由ap(xf(x)xa p(x)g(x)xa p(x)xa p(xf(xg(x)x可知：bbbba p(x)xa p(x)f(x)g(x)xa p(x)f(x)xa p(xg(x)x0,bbbb令 I a p(x)dxa p(x) f (x)g(x)

37、dx a p(x) f (x)dxa p(x)g(x)dx ,下证 I 0 ；bbbI a p(x)xa p(x)f(x)g(x)xa p(x)f(x)xa p(xg(x)bbbbbba p(x)xa p(y)f(y)g(y)ya p(x)f(x)xa p(yg(y)bbbb bp(x)p(y)f(y)g(y)dxdyp(x) f (x) p( y)g y dxdyb ba aa ab bb ba a p(x)p(y)g(yf(y) f(xy(3.7)同理bbbbI a p(x)xa p(x)f(x)g(x)xa p(x)f(x)xa p(xg(x)bbba p(y)ya p(x)f(x)g(

38、x)xa p(y)f(y)ya p(xg(x)bbbb b aapyp(x)g(xf(x fyy (3.7) (3.8) 得b bb b2I a a p(x)p(yg(y)g(xf(y) f(xy,f xg(x同为单调增函数,所以gy g(x) f y f (x 0又因为 p(x) 0 , p( y) 0 ,故b b2I a a p(x)p(yg(y)g(xf(y) f(xy 0,即I 0证毕将常数转换为重积分的形式3.7.2 3.7.3 中我们将对常数转换为重积分来进行说明我们可以发现有这样一个命题,若在二重积分中被积函数f (xy k ,则可得到kd k(b a)2 D xy| a x b

39、a y bDbb3.7.3 fx在ab上连续,fx0试证：ba f(x)x1 dx(ba)2f(x)bb本题与前面的例 3.1 以及例 3.2.3 是同一道题目,在这里我们将利用重积分证明此题bb证明：原题即为a f(x)x1 dy f (y)d ,D移项可得( f (x) 1)d 0 ,Df (y)2( f (x) 1)d ( f (x) 1)d ( f ( y) 1)d 0 ,Df (Df (Df(x)所以即为证( f (x) fy2)d 0fx0fy0f (x)f ( y) 2 0 Df(y)f(x)f(y)f(x)故 ( f (xf y 2)d 0 bbf (x)dx1 dx(ba)2

40、成立,证毕Df(y)f(x)aa f(x)通过以上三道例题我们可以大致了解到，在这一类定积分不等式的证明过程中我们一般先将所要证明的不等式转化为二次积分的形式,进一步再转换为二重积分,最后利用二重积分的性质或其计算方法得出结论.这种方法克服了数学解题过程中的高维数转化为低维数的思维定势,丰富了将二重积分与定积分之间互化的数学思想方法利用微分中值定理微分中值定理是数学分析中的重要的一个基本定理,它是指罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒中值定理这四种定理.关于微分中值定理的应用也是很广泛的,证明不等式是微分中值定理最基本的应用之一.在这里我们将对利用柯西中值定理及拉格朗日中值定理证明积分不等式进行研究.下面将通过两个例子来具体说明这两个定理在证明积分不等式中的应用,以及不同的微分中值定理在证明不等式时的区别3.