《航天制导与控制基础》作业2021

1、 8/8航天制导与控制基础作业2021 参考资料：【1】卫星轨道姿态动力学与控制，章仁为，北京航空航天 大学出版社。 【2】航天器控制原理，周军，西北工业大学出版社。 第二章 作 业 一、设刚体B 相对某参考坐标系的姿态可用方向余弦阵A 表示，角 速度矢量为，试证明： (1) AA T =E (2) |A |=1 (3) dA/dt = -?A 证明：设 ? ? ?=3332 31 232221 131211 A A A A A A A A A A (1) ? ? ?=3323 13 322212312111 3332 31 232221 131211 A A A A A A A A A A

2、A A A A A A A A AA T ? ? ? ? ? ?+=233 23223123 332232213113331232113133233222312122322222113 231222112133133212311123 132* 13212211A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A AA T 根据A 阵的性质，可知 ? ? ? ?=100010001T AA (2) 由于方向余弦阵A 描述的坐标系皆为右手正交坐标系，由此可以验证（代入 变

3、换矩阵公式即可验证） A T = A * 又由于 A T = A -1 因此，由 A -1= A */|A | 可以推知 |A |=1 (3) 令姿态相对参考坐标系的转速为，转轴为e ，则= e 。如在t 时刻姿态 矩阵为A (t ) ，在t +?t 时刻为A (t +?t )。如用A 表示姿态的变化，则有 A (t +?t ) =A A (t ) 利用Euler 轴/角与姿态矩阵间的转换关系，可以写出 cos (1cos )sin T A I ee e ?=?+-? 当0t ?时， A I t ?=-? 因此，有 A (t +?t ) = A (t )-? ?t A (t ) t t A t

4、 t A dt dA t ?-?+=?) ()(lim /0= -? A (t ) 二、试推导方向余弦阵与Euler 轴/角间的转换关系。 解：设转轴为e ，转角为，对任意矢量a ，旋转后所对应的矢量为a ，如图1所示。 图1 定义 1 sin a ?= =?e a u e a e a (1) =?v e u (2) 则 cos sin =+u u v (3) cos sin a a =+a e u (4) 将式(1)式(3)代入式(4)可得， (1cos )()cos sin ()=-?+?a e a e a e a (5) 参考坐标系轴r x 经欧拉转动得出对应的本体坐标轴b x ，则 (

5、1cos )()cos sin ()b r r r =-?+?x e x e x e x (6) 根据姿态矩阵的定义，将本体系各轴按式(6)展开并代入，可得 2 2 2cos (1cos )(1cos )sin (1cos )sin (,)(1cos )sin cos (1cos )(1cos )sin (1cos )sin (1cos )sin cos (1cos )cos (1cos )si x x y z x z y x y x y y z x x z y y z x z T e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ? +-+-? ? =-+-

6、+? ?-+-+-? ? =+-A e I ee n ? e 由上式可得 12sin yz zy zx xz xy yx A A A A A A ? -?=-? ?-?e 1 cos 12 tr =-A 证毕。 e 三、设固连于某刚体的坐标系Oxyz 相对参考坐标系OXYZ 的姿态可 用2-3-1Euler 角描述，。 (1) 试画出两个坐标系的相对旋转关系； (2) 试求出对应的姿态矩阵及其逆矩阵； (3) 试推导以2-3-1Euler 角描述的姿态运动学方程。 解：(1) 假设从坐标系Oxyz 到坐标系OXYZ 经过三次旋转： 绕Oxyz 的Oy 轴旋转角度，得到坐标系Ox 1y 1z 1

7、； 绕坐标系Ox 1y 1z 1的Oz 1轴旋转角度，得到坐标系Ox 2y 2z 2； 绕坐标系Ox 2y 2z 2的Ox 2轴旋转角度?，得到坐标系OXYZ ； 相对旋转关系如下图所示： Y X X (2)经过“2-3-1”旋转，就可以完成Oxyz 到OXYZ 的转化，变换矩阵R 为： ? ? ? ?+-+-=? ? ? ?-?-?-=? ? ? cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos cos cos 0sin

8、 010sin 0cos 100 0cos sin 0sin cos cos sin 0sin cos 0001 R 因为变换矩阵R 是正交矩阵，因此：T 1R R =-。 (3) 231132 ?()1()3()21 00cos sin 00cos 0sin 00cos sin 0sin cos 000100sin cos 0001sin 0cos 0R R R =+? ?-? ? ?=+-+ ? ? ? ? ?-? ? =&1000cos sin 0000cos sin 0sin cos 000sin cos 0010sin sin cos cos cos sin cos ? ?+-? ?

9、 ? ?-?+?=+? ?-? & 四、试写出描述刚体绕固定点转动的Euler 方程，并分析在什么情况 下，可以使三轴运动解耦。 解：刚体绕固定点转动的Euler 方程式(1)所示 ?+=J J M 当体坐标轴与惯性主轴重合时，上式可写为： ? ?=-=-=-z x y y x z z y x z x z y y x z y z y x x M J J J M J J J M J J J )()()(& & 显然，当x y z J J J =时，三轴运动解耦。 第四章 作 业 一、证明在仅有二体引力的作用下，航天器机械能守恒。(参见讲义P33) 【周军p 22】 证明：设r 为二体之间的位置关

10、系矢量，根据二体问题的力学方程，可得到如下关系式： 03 =+ r r r & 用0=r &与上式点乘，可得： 03 =?+ ?r r r r &r 根据矢量运算法则a a &=?a a ，故上式可写为： 03 =+ r r r r r & 对上式进行积分，可得 C r r =- 22 & 由上式可知航天器的机械能守恒。 证毕。 二、证明在二体问题中，航天器的运动轨道始终处于空间中的一个固 定平面内。(参见讲义P32) 【章仁为p2】 证明：在地心第一赤道坐标系中，航天器运动方程为： 3 33r z z r y y r x x -=-=- =& 将上式的第二方程乘以z 减去第三个方程乘以y ，

11、可得： 0=-y z z y & 即 A y z z y =-& 同理可得： C x y y x B z x x z =-=-& 其中，A ，B ，C 是积分常数。进一步整理，可以得到： 0=+Cz By Ax 故航天器在一个平面内运动。 证毕。 三、证明开普勒第二、第三定律。 证明：首先证明开普勒第二定律。【章仁为p3】 由上图，可以写出三角形OBB 的面积为 ?=?sin 2 1 r r A 因此，有 ? =?=?sin 21sin 21t r r t r r t A 进而可得 h r t r r t A A t t 2 121sin 21lim lim 200=?=?=?& 上式表明，航

12、天器在单位时间扫过的面积是相等的。 下面证明开普勒第三定律。【章仁为p5】 由于 h ab T 2= 这里ab 是整个椭圆的面积，T 为周期。因为轨道是椭圆轨道，可得： p h ap e a c a b =-=-=)1(2222 从而，可得： 2/32a T = 即： 2 3 24=a T 上式表明，卫星轨道周期的平方和椭圆轨道半长轴的三次方成正比。 证毕。 四、设某地球卫星质心到地心的距离为r ，椭圆轨道的半长轴为a ， 偏心率为e ，偏近点角为E ，试证明)cos 1(E e a r -=。 证明：【章仁为p6】 由上图，可以写出： f r ae E a cos cos += 由轨道运动方

13、程 f e e a f e p r cos 1) 1(cos 12+-=+= 可得 e r e a f r -=)1(cos 2 将上式代入第1式，并整理可得： )cos 1(E e a r -= 证毕。 五、什么是轨道六要素，它们是如何确定航天器在空间中位置的？【章 仁为p7】 解：航天器运行的轨道形状和其在空间的位置，可以通过6个参数来表示，简称轨道要素。轨道六要素是描述和确定航天器轨道特征的量。 1、轨道倾角i ：航天器运行轨道所在的平面与赤道面的夹角。 2、升交点赤经：以地球自转方向为正，从春分点方向轴量起的升交点的经度。 3、近地点角距：投影在天球上的椭圆轨道近地点于升交点对地心所张

14、的角度，从升交点顺航天器运行方向量到近地点。 4、椭圆轨道的长半轴a 。 5、椭圆轨道的偏心率e 。 6、航天器过近地点的时刻t p 。 这就是航天器的轨道六要素，它们是怎样确定航天器轨道的呢？ 首先，轨道倾角i 和升交点赤经确定航天器轨道平面在空间中的方位； 其次，近地点角距确定椭圆长轴在轨道平面上的指向； 第三，长半轴a 和偏心率e 确定椭圆轨道的形状和大小； 第四，航天器过近地点时刻t p 把时间和空间联系起来，确定了航天器在轨道上的位置。 六、设对地定向的某三轴稳定卫星沿近圆轨道运动，轨道角速度为 0。固连于星体的本体坐标系为惯量主轴坐标系，转动惯量矩阵 为J =diag(J x ,

15、J y , J z )，卫星相对轨道坐标系的姿态可用2-3-1Euler 角描述。(参见讲义P41) (1)试推导卫星完整的姿态动力学模型； (2)在小角度假设下，对上述模型进行线性化； (3)试定量分析轨道高度分别为2000km 和200km 时各姿态通道间耦合的强弱，并分析产生耦合的原因。 解：航天器的姿态运动方程可表示为： ? ?-+=-+-+=? ?2 002 00)()()()(x y x z y z z y y z y x z y x x I I I I I I M I M I I I I I I M & 当I x I y I z 完全相同时，可得： ?+=-=? ? &00 x

16、z z y y z x x I I M I M I I M 由上式可知，俯仰通道和滚转、偏航通道是没有耦合的。滚转通道和偏航通 道之间是耦合的，其耦合强弱与航天器的轨道角速度有关。由于航天器的轨道是圆轨道，有： 30/r = 因此，轨道高度为2000km 与轨道高度为200km 的耦合强度之比为： 3 3200 /2000/ 即，10-3/2。 产生耦合的原因主要是由于轨道角速度的存在，使得航天器的滚动轴和偏航轴经过四分之一周期出现交替，从而出现耦合。 七、利用欧拉动力学方程分析10-5Nm 数量级的常值干扰力矩对自由 飞行状态下的航天器的姿态影响。 解：解耦后，航天器姿态运动的简化方程为： ?=z z y y x x M I M I M I ?& & & 可见，航天器的