同济大学(高等数学)-第六篇-多元微积分学

1、11第六篇多元微积分学第九章 多元函数微分学及其应用我们以前学习的函数只有一个自变量,这种函数我们称为一元函数一元函数的微积分解决了很多初等数学无法解决的问题但是，在实际问题中往往牵扯到多方面的因素,解决 这类问题必须引进多元函数解决几何、经济与管理、工程等领域的实际问题的具体方法。1 节多元函数的基本概念平面点集 区间的概念是很重要的,大部分问题是在区间上讨论的在平面上，与区间这一概念相对应 的概念是邻域邻域P (x , y) xOy 平面上的一定点, P (x , y) 的距离小于 的点000000P(x, yP (x , y) 的 邻域，记为U(P ,)，即0000U(P,)PP ,0(

2、xx )2 (y (xx )2 (y y )2000U(P,P(x y0 ) 为中心， 为半径的圆的内部（不含圆周)0000(xx )2 (y y )200(xx )2 (y y )2000000后,P (x , y)域记作o (P, )0000o (P,) (x,y) 000000如果不需要强调邻域的半径 U(P ) P (x , y.o) U(P表示oP(x ,y) 的去心邻域000000001。1。2区域下面用邻域来描述平面上的点与点集之间的关系ExOy 平面上的一个点集，PxOy 平面上的一点,PE的关系有以下三种情形：（1） 内点P的某个邻域U(P),使得U(P) E PE的内点(2

3、） 外点：如果存在P的某个邻域U(P),使得U(P)E ,则称P为E的外点(3）边界点P E 的点,E 的点,PE E E 的边界,记作E E1xy|0 x2 y2 1,除圆心与圆周上各点之外圆的内部的点都是E E1的外点，圆心及圆周上的点为 E1的边界点;又如平面点集E 2的内点，直线下方的点都是E2的外点,直线E 的边界点（91)2E E;E E；E E，EE E 的内点，则称E 为开集,E1 E2 E E 中的任何两点，都可用完全含于E 的折线连接起来,则称开集E 是（92)E192E3 开区域开域从几何上看，开区域是连成一片的且不包括边界的平面点集如 E1 是开区域开区域是数轴上的开区

4、间这一概念在平面上的推广2 PAGE PAGE 4开区域E连同它的边界E构成的点称闭区域闭域，记作E即E=EE 2E E24x,y| x2 y2 1E5x, y|1 x2 y2 2既非闭域，又非开域闭域是连成一片的且包含边界的平面点集本书把开区域与闭区域统称为区域如果区域E可包含在以原点为中心的某个圆内,即存在正数r ,E U Or,则称E为有界区域，否则,E 为无界区域E1 是有界区域，E2 是无界区域记 E 是平面上的一个点集，P P 的任一邻域内总有无限多EP E 的聚点显然,E E 的聚点，此外，E 的边界点E ,E6xy|0 x2 y2 1,那么点0,0E6的边界点又E 的聚点,E

5、E ;x2 y26661E 的边界6点，也是E 的聚点，而这些聚点都属于E 由此可见，点集E E，也可以66 111 ,原点0,0是它的聚点, E 中的不属于 E再如点(,(,),72233n n7每一个点都不是聚点1。1。3nRnn 元有序实数组x x ,x的全体组成的集合称为n维空间,记作Rn,x,x | x R,i1,2,ni 12n 元有序数组x ,x ,x 称为n 维空间中的一个点，数xi 个坐标12ni类似地规定，n 维空间中任意两点Px x ,x 与Qx x,之间的距离为PQ 1212n(y x )2 (y x )2 1122(y x )2nn前面关于平面点集的一系列概念，均可推

6、广到 n P0Rn ， 是某P0 邻域为UP,P| PP ,PRn00以邻域为基础，还可以定义 n 维空间中内点、边界点、区域等一系列概念1。2 多元函数的概念1。2.1n元函数的定义1 D Rn中的一个非空点集，如果存在一个对应法则f，使得对于D 中的每一Px x ,x f y,f D n 元函数，12n记为,x ,x ,x ,x ,x ,x ,n12,x Dn12其中x ,x ,叫做自变量，y 叫做因变量,D 叫做函数的定义域Df 12n取定x,x ,D ，对应的 f x ,x ,叫做x ,x ,所对应的函数12n12n12n值全体函数值的集合叫做函数f 值域常记为f D或Rf ，即f D

7、y| y f x ,x ,x ,x ,x , 12n12n当 n=1 时,D 为实数轴上的一个点集 ,可得一元函数的定义，即一元函数一般记作y f xxDD R；当 n=2 时,D xOy平面上的一个点集，可得二元函数的定义,即二元函数一般记作 z f xy,xyDD R2z f PP xy， 则也记作二元及二元以上的函数统称为多元函数对应法则和定义域这两个要素多元函数的定义域的求法,与一元函数类似若函数的自变量具有某种实际意义,则根据它的实际意义来决定其取值范围，从而确定函数的定义域. 对一般的用解析式表示的函数,使表达式有意义的自变量的取值范围，就是函数的定义域1 Y K L 之间的关系为

8、Y AK L （A, 均为正常数)这是以 K,L 为自变量的二元函数，在西方经济学中称为生产函数该函数的定义域为K,L|K 0,L02 z lnyxx1x2 x1x2 y2解要使函数的解析式有意义，必须满足yx0,x0,1x2 y2 0,Dxy|x0,x yx2 y2 193划斜线的部分图9-3图9-41。2.2z f x, yDD 中的任意一点Px, y，对应一确 yz，相应地在空间可得到M x, yzP D M P 取遍整个定D 时,M S（94)其中S x,y,z|z f x,y,x,yDD S xOy 面上的投影区域例如z ax by c表示一平面；z 1x2 y2 表示球心在原点，半

9、径为1 的上半球面1.3二元函数的极限二元函数的极限概念是一元函数极限概念的推广二元函数的极限可表述为001 z f (PD,P D D 中的P 以任何方式无限趋于 f（P）AA f (P当00P P0 时的(二重）极限记为lim f (P) Af (P AP P ,0P P0PP0f (P) f (P) P0点的坐标为(x , y P 点的坐标为xy，则上式又可写为00limf (x,y) A或 （x y x,yx ,y 0 0类似于一元函数, f (PA 可用 f P A P Pxy无限趋于P P (x ,y )可用PP (xx )2 (y y)2 刻画，因此,二元函数的极限也可00000

10、00如下定义5 PAGE PAGE 122 z f (P) f (x, yD，P (x , yD 的一个聚点,A 为000 , 0 P(x, yD PP 0 时，总有(xx )2 (y(xx )2 (y y )200A z f (PP P0时的(二重）极限注P0D 的聚点,P0D 中的点P P0的方式可以多种多样: P P ，也0可以沿曲线或点列趋于P01 指出:P P0f (P) 都趋A 时,A f (PP P0P(x, y) 以某些特殊方式(如沿某几条直线或几条曲线）趋于P (x , y ) f (P) 趋于同一常数 A，我们也不000能由此断定函数的极限存在但是反过来,P D 内沿不同的

11、路径趋于P0f (P) 趋于不同的值，则可以断定函数的极限不存在二元函数极限有与一元函数极限相似的运算性质和法则，这里不再一一叙述xy3 f (x, y) x2 y2,x2 y2判断极限 limf (x, y) 是否存在？0,x2 yx, y0,0解P(x, yx 轴趋于(0,0) 时,y=0，于是limf(x,y)lim00；y0,0y0 x0 x2 02P(x, yy 轴趋于(0,0) 时,x=0，于是limf(x,y)lim00 x,y0,0 x0y002 y2P(x, y) 以上述两种特殊方式趋于(0,0) 时的极限存在且相等,就断定所考察的二重极限存在P(x, yy kxk 0）趋于

12、(0,0) 时，有limf (x,y) limkx2k，x,y0,0ykxk 不同而变化，故4 求下列函数的极限:x0 (1k)2 x21 k2limf (x, y不存在x,y0,02xy 4(1） lim;（2）2xy 4limln1 xyyx2yx2 y2x,y0,0 xy解x,y0,0 x2 y2x,y0,0（1）lim xy11 2xy 42xy 4x,y0,0 xy 2xy4xy44（2)x 0,y 0时x2 y2 0,x2 y22 xy 这时，函数xy x2 y2y x0 y0 时的无穷小，根据无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量，得limxy20（3)limx,y0,0ln1 x

13、yx,y0,0 x2 y2yx2 yx2 y2yx2 y2x,y0,0limx2 y2x,yx2 y21从例 4 可看到求二元函数极限的很多方法与一元函数相同1。4 二元函数的连续性类似于一元函数的连续性定义,我们用二元函数的极限概念来定义二元函数的连续性定义3设二元函数z f (x,y)在点P (x ,y) 的某邻域内有定义，如果000limf x.y f (x ,y ),x,y0,000则称函数 f (x, yP (x y ) 处连续, P (x y) f (x, y的连续点;否则称 f (x, y)000000P (x y)处间断（不连续，P (x,f (x, y的间断点000000z

14、f (x, yP (x , y ) 处连续，必须满足三个条件:000P (x y) P (x , y) 处的极限存在;P (x , y) 处的极000000000P (x y) 处的函数值相等,只要三条中有一条不满足，函数在P (x , y) 处就不连续000000 xy由例 3 f (x, yx2 y2,x2 y2 0,1在(0,0) 处间断;函数z 在直线x yx y 0上每一点处间断0,x2 y2 0,f (x, y在平面区域 D f (x, y在区域 D 内连续，也称f (x, yD f (x, yCDD 上连续函数的图形是一张既没有“洞”也没有“裂缝的曲面一元函数中关于极限的运算法则

15、对于多元函数仍适用 （在商的情形要求分母不为零x, y x 的基本初等函数、y 的基本初等函数经过有限次四则运算及复合所构成的,例如sinx y,xyx等都是二元初等函数二元初等函数在其定义域的区域x2 y2y内处处连续与闭区间上一元连续函数的性质相类似，有界闭区域上的连续函数有如下性质1(最值定理）f (x, yD 上连续,f (x, yD 上必取得最大值与最小值推论f (x, yD f (x, yD 上有界2 (介值定理）f (x, yD 上连续,M m f (x, yD 上的最大值与最小值,则对于介于 M 与 m C,必存在一点(x , y D ，使得00f (x ,y )C00以上关于

16、二元函数的极限与连续性的概念及有界闭区域上连续函数的性质元以上的函数中去91判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点组成的点集和边界。(1）,y|x 0,y ；(）x,y|1 x2 y2 ；（3)x,y| y x2求下列函数的定义域，并画出其示意图:1 x2 1 x2 y2a2b2（3）z ； （2）z ;1ln(x y)1xyx2 y2； （xyx2 y2设函数 f x, y x3 2xy 3y2 ,求（1) f 2,3；(2) f12; （3）f x yxy。xy讨论下列函数在点0,0 处的极限是否存在：（1)zxyx y； （2)z x2 y4x y求

17、下列极限：(1)limsinxy ;（2） lim1 xy；x,y0,0 xx,y0,1 x2 y2(3）lnx2x2 y2x,y1,0 xey（）limxy11x,yxy11fx,yx2 x2 y2,x2 y20,在0,0点连续0,x2 y2 0.x y11xy 0,f xysinsin,xyf xy在点0,0处的连续性y2 2x0,xy 0.z y2 2x在何处是间断的？2 节偏导数与全微分偏导数的概念2。1。1偏导数的定义变化率在这一节,我们考虑二元函数关于某一个自变量的变化率，这就是偏导数的概念z f x, y在点x , y00,x x0 xx 0,而y y 保持不变，这时函数的改变量

18、为0 z f xxx,y0 f x ,y ,00 z f x, y在x , yx0 x （或偏增量f x, yy 的偏增量为 z f x ,yy0y f x ,y 00有了偏增量的概念，下面给出偏导数的定义1 z f xy在x y00的某邻域内有定义，如果 zf (x) f (x ,y )xlimx lim000 x0 xx0 xz f xy在x y00处关于x的偏导数z f xy在点x y0 x 可偏导记作z,x xx0yy0f,zxxx0yy0 x x000, f (x ,y ).00z f xy在点x y00y 的偏导数为 zlimy limf (x ,y0y) f (x ,y )00，

19、y0 yy0y记作zzyxx0y0,zfyxfyyy0 x x000, f (x ,y ).00z f xyD 内每一点xy处的偏导数都存在,即f (xx, y) f (x, y)f (x,y) limx0 xf (x,y) limy0f (x, yy) f (x, y)y存在,x，y 的二元函数，分别称为z x，y 的偏导函数（简称为偏导数并记作zz 或f f或z z 或f (x, y)，f(x,y)xyxxyxy不难看出，z f xy在x y00 x fx(x ,y0fx(x, y) 在x ,y0处的函数值,fy(x ,y0) fy(x, y在x y00处的函数值f 时,y 看做常量,z

20、f xyx x fx 看做xyz f xyy y 求导三元及三元以上的多元函数的偏导数，完全可以类似地定义和计算，这里就不讨论了 例1求函数z sinxyexy 在点,处的偏导数解y x 求导得zx exycos(x y) ysin(x y);x y 求导得zyx 1,y 1代入上式得 exycos(x y) xsin(x y)zxx1 zxe1,zyx1 zye1 2 z x2 y y2 lnx4的偏导数zy2z 2xy x2 2ylnx3 z xy x0,x1，求证:xx z 1y xlnx yz 2z z证因为xz yxy1，y xy lnx，z1zx1所以yxy1 xy lnx xy

21、xy 2zxlnx yylnx例4 求函数u sin x y2 ex的偏导数解y z 看做常量,x 求导得ux y2 ez，同样可得uu 2ycosx y2 exez cosx y2 ez2。1。2 二元函数偏导数的几何意义由于偏导数实质上就是一元函数的导数斜率,因此，二元函数的偏导数也有类似的几何意义z f xy在点x y00处的偏导数存在，由于 fx(x ,y0就是一元函数 f xy 0 x 处的导数值，即 f0(x ,y0) ddxf (x,y0)xx0，故只须弄清楚一元函数 f x, y 的0几何意义再根据一元函数的导数的几何意义， 就可以得到 f (x , y ) 的几何意x00z

22、f xy在几何上表示一曲面，过点x y00 xz y y0，该平面z f xy相截得到截线z f (x,y),：1y y .0y y0z f xy0y y0上一条平面1y y0z f xy0fx(x ,y0) ddxf (x,y0)xx0表示1M0 x0,y , f x ,y00处的切线对x 轴的斜率（图9-1fy(x ,y0) ddydyf(x0,y)x x0z f (x,y),z f xy的截线:2xx .0在Mx0,y , f x ,y00处的切线对y 轴的斜率（图25 讨论函数95xyf (x, y) x2 y2,x2 y2 0,在点（0,0)处的两个偏导数是否存在0,x2 y2 0,

23、(0 x) 00f (0,0) limxx0f (0 x,0) f (0,0)x limx0(0 x)2 02x0f (0,0) 0f xy在(0,0) x y (0,0) 处y两个偏导数都存在3 知：该函数在(0,0) 处不连续本例指出，对于二元函数而言，函数在某点的偏导数存在,不能保证函数在该点连续但在一元函数中，我们有结论：可导必连续这 x y f (x , y 存在，只能保证0 x000f xy0 xy y0z f xy的截线 M10 x ,y ,z00处连续 同时 fy(x ,y0) 只能保证 2在Mx ,y ,z000处连续，但两曲线，在12Mx0,y ,z0z f xyM0 x

24、,y ,z00处连续高阶偏导数z f xyD 内具有偏导数zx= f (x,y), zx f (x, yD 内yf (x, y) f (x, yxy ,则称它们是函xyz f xy的二阶偏导数按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：13 PAGE PAGE 20 (z) 2z f(x,y), (z) 2z f(x, y),xxx2xxyxxyxy2zyx (z)2zyx(x,y)， (z) 2z f(x,y)，xyyxyyy2yyfxy（f ）f12(f ）f xy的二阶混合偏导数同样可定义三阶，21四阶，n 阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数3z例6求函数z xy x2 s

25、in y的所有二阶偏导数和yx2z解因为x=y+2xsiny,zy =x+x2cosy，2z所以x2=2siny，2z2zxy12xcosy，2z3z 2cos yyx=1+2xcosy，=x2siny， y2 从本例我们看到2z 2z，即两个二阶混合偏导数相等，这并非偶然xyyx事实上,有如下定理1 z f xy的两个二阶混合偏导数2z2z和D 内连续，xyyx则在该区域内有2zxy 2zxyyx定理 1 表明:也可以类似的定义高阶偏导数,而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序 无关例7验证函数z lnx2 y2满足方程2z 2z 0 x2 y2x2 y2 2x2 y2 x2y

26、2所以z x,z y,xx2 y2yx2 y22z2zx2x2 y2 x2xx2 y2 2y2 x22 ，2zy2x2zy2 y2yx2 y2x2 y2x2 y2 2,x2 y2 2故2z故x2 2zy2y2 x2x2 y2 0 x2 y2x2 y22。3全微分2。3.1全微分的概念我们知道，一元函数y f x如果可微，则函数的增量y 可用自变量的增量x 的线性函数近似求得在实际问题中，我们会遇到求二元函数z f x, y的全增量的问题，一般说来，计算二元函数的全增量z 更为复杂，为了能像一元函数一样，用自变量的增量xy 的线性函数近似代替全增量，我们引入二元函数的全微分的概念2z f xyP

27、0 x ,y0的某邻域内有定义,z P0处的全增量z f x0 x,y0y f x ,y00可表示成z Ax By+o ，(x)2 (y)2其中A,B 是与y(x)2 (y)200（表示当0，y0 时关于 的高阶无穷小量，则称函数z f x,y在P0 x ,y0处，而称AxByf xyP0 x ,y0处的全微分,记作dz xx0或df，即xx0dzxx0y0 AxByz f xyD f xyD f xyD 内z f xy在xy处的全微分记作dz,即dz Ax By z f xyP（x,y）的全微分具有以下两个性质：dz是xy的线性函数，即dz AxBy;zdz zdz o0,因此，当xy都很小

28、时，可将dz作为计的近似公式却有如下结论：2 z f xy在点xy处可微，则函数在该点必连续这是因为由可微的定义,得z f xx,yy f x,y AxBy+o limz 0,x,y0,0即limf (xx, y y) f (x, y)x,y0,0z f xy在点xy处连续一元函数可微与可导是等价的,那么二元函数可微与可偏导之间有何关系呢？定理 3 z f xy在点xyz f xy在该点的两个偏导数z ,zx都存在,且有dz z x z yxy证z f xy在点xy处可微,故z xByo , (x)(y)2令y 0，于是xz f xx, y f x, y Ax ox2lim zx limf x

29、 x, y f x, y lim(x)x (x)x ,xx Axz Byx03 的逆命题是否成立呢？ 即二元函数在某点的两个偏导数存在能否保证函数在该xyf (x, y) x2 y2,x2 y2 0,0,x2 y2 0在0,0f xy在0,02 0,0 xy,z定理 4 如果函数 z f xxy,zz f xy在该点可微存在且连续， 则函数类似于一元函数微分的情形, 规定自变量的微分等于自变量的改变量 即dx x,dy y ,3有dz z dxz dyxy以上关于二元函数的全微分的概念及结论,可以类推到三元以上的函数中去比如若三元函数u f xyzPxyz处可微,则它的全微分为du 8 求下列

30、函数的全微分:u dx u dy u dzxyzz x2 sin2y ；（2） u xyz解zzuz（1) 因为uz2xsin2y ，y2x2 cos2y ，所以dz 2xsin2ydx2x2 cos2ydyuu yzxyz1, y zxyz ln x yxyz lnx，所以du yzxyz1dx zxyz ln xdy yxyz ln xdz 9 z xyexy 在点1,2处的全微分z解因x y yexy ，z xxexy 得yx1y2zzx 22e2,zyx1zy1e2 ，于是dzx1y22e21e2dy3。1.2全微分的运算法则类似于一元函数微分的运算法则,有5 （全微分四则运算法则)f

31、 xygxyPxy处可微,则1） f (x yg(x y在xy处可微,且df (x y) g(x y) df (x y)dg(x y)；k 为常数kf (x y在点xy处可微,且dkf (x y)kdf (x y)；f (x yg(x y在点xy处可微，且df (x y)g(x y) g(x y)df (x y) f (x y)dg(x y)；4）g(x，y）0f (x y在点xy处可微，g(x y)g y)且d f g y)g(x y)df (x y) f (x y)dg(x y)g2(x y)例10 求z xsin x2 y2的全微分z zx2 y22x2 cosx2 y2,y 2xyco

32、sx2 y2，dz d xsinx2 y2 xd sinx2 y2 sinx2 y2 dxsinx2 y2 2x2 cosx2 y2 dx2xycosx2 y2 dy9-2求下列各函数的偏导数:yy(1） z 3x2 6xy5y2 ;（2）z ln； （3)z xyexy ；（4）u xz x已知f x,yx2yex ,求fzzxzzy0,1x2 y2z xx2 y2,求 z = e1 1 x y ,x2zz y22zxy求下列函数的所有二阶偏导数(1)z x4 y4 4x2 y2 ；（2） z ex cosy xsin y;z xlnxy；（4） u arctan x yfzzx6 设 f

33、x,y,z xy2 yz2 zx2，求 fxx2,0,10,0,1,fxz yz x2 y2 z22x2 y2 z2验证r 满足x2 y2 z2 r 求下列函数的全微分。x(1）z 4xy3 5x2 y6 ;（2）z ey ；x2 y2（3 ）z xy x ; （4）zx2 y2y1f x, yz y z1,求dz| x 1,1,110z exy x 1,y 1,x 0.15,y 0.1,求dz 3 节多元复合函数和隐函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则现在要将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用定理 1 设函数

34、 z f uv), u xv x如果函数 u x，v x都在 x点可导,函数z f u,v在对应的点u,v处可微，则复合函数 dz z dv （93-1）dxu dxv dx证设自变量x的改变量为u x和v x的相应的改变量分别为uvz 的改变量为zz f uv在uv处可微，由可微的定义有z dz o z u z v+o，其中 uv(u)2 (v)2o00,且lim(u)2 (v)20z z u z v () xu xv xx因为u x和v x在点 x可导，故当 x 0时0，v0，0，uduvdvx dx ，x dx 在上式中令x0,两边取极限，得dz z du z dv dxu dxv dx

35、() 注意，当x0 时,x 0这是由于xlimxx0 lim，(u)(u)2 (v)2xx(du)2 (dv)2dxdx()()这说明x0 时, x 是有界量， 为无穷小量从而x0用同样的方法， 可以得到中间变量多于两个的复合函数的求导法则 比如z f uvw，而u xv xw wx,则dz z dvz dw(932）dxu dxv dxw dx1 z u2v u costv sint dz .dt解利用公式（931）求导,zz因为u 2uvv = u2 ，du sint ，dvcost ,dzz duz dvdtdt所以 uvsint u2 cost 2cos tsin2 t cos3 t

36、dtu dtv dtu costv sint z u2v 中，再用一元函数的取对数求导法,求得同样的结果观察公式（931） ,（93-2）可以知道，若函数z 2 个中间变量，则公式右端是2 项之和,z 3 3 项之和,一般地,z 有几个中间变量,则公式右端是几项之和,且每一项都是两个导数之积，即 z 对中间变量的偏导数再乘上该中间变量x 的导数公式(9-31）,（932）可借助复合关系图来理解和记忆96公式（93-1) ,(9-32）称为多元复合函数求导的链式法则上述定理还可推广到中间变量依赖两个自变量x y 导问题，有如下定理:定理2设z f u,v在（u,v）处可微，函数u ux, y及v

37、 vx, y在点x, y的偏导数存在，则复合函数z fuxyvxy在xy处的偏导数存在，且有如下的链式法则z z u z v,xu xv xzz uz v (9-3-3）.yu yv yz可以这样来理解：求x 时，将y ,那么中间变量u 和v 是x 的一元211 即可得z z f uxyvxy以及u uxyx与v vx, yx，y 的二元函数，所以应把(93-1）中的全导数符号d 改为偏导数符号”（933 ）u x, yv xy, wwxy的偏导数都存在,z f uvw数z f ux, y,vx, y,wx, yx y 的偏导数都存在,且有如下链式法则z z u z v z w,xu xv x

38、w xzz uz vz w （9-34).yu yv yw yz f uxy可微,而u x, y的偏导数存在,则复合函数z f xyxyx y 的偏导数都存在，为了求出这两个偏导数，应将f 中的变量看做中间变量：u x, y,v x,w y v =1,v= 0,w=0,w=1xyxy由公式（93-4）得z f f u ,xxuxzffu(93-5）.yyuyz注这里与f的意义是不同的f uxyu y x 的偏xxx导数，而x f x, yx, yy x 的偏导数z公式(33，(9-3-（93-）可借助图7 理解2297zz2 z eu sinvu xyv x y,求xy zzuz v u xv

39、 x eu sinv y eu cosv 1exy ysinx ycosx y，zzuz vy u y v y= eu sinv xeu cosv 1exy xsinx ycosx y3 z f uvz fx2 y2exyx y 的偏导数解引入中间变量u x2 y2 v exy，由（933）得zffx u2x vyexy 2xf (x2 y2,exy ) yexy f (x2 y2,exy )，12zff12y u12(2y) vxexy 2yf (x2 y2,exy ) xexy f (x2 y2,exy )注f (x21y2,exy f (x2 y2,exy 分别表示 f uv对第一个变量

40、与第二个变2量在x2 y2,exy ）处的偏导数,f f ，后面还会用到这种表示方法12 xy例4 设z xyf , yx z = yfxy xy xyyx(,(,) f(,) ()yx 1yx2yxx2 (x , y)，yx1yx2yx23 PAGE PAGE 33z = xf x, y x , yyyx +xy f yx ( x( x )+f x , y 1y22yx x 1 x , y x2 f x , y yf x , y yx y1 yx 2 yx 下面给出经济学中经常遇到的齐次函数的概念z f x, y的定义域为 D，且当x, yD时，对任给的 tR，t0，仍有tx,tyDk,使对

41、任意的x, yD，恒有f tx,tytk f x, y，z f x, yk 次齐次函数k=1 时，称为线性齐次函数5k f xy满足xf (x, y) yf (x, y) kf (x, y)xy证明z f tx,ty中，令u txv ty ,当取定一点x, y时 f tx,ty是 t 的一元函数，于是有dz z duz dvx f (tx,tyx f (tx,ty) y ydtu dtv dtxz tk f x, y，所以有因此,t，有dz ktk1 f (x, y) dtf (tx,ty)x f (tx,tyy ktk1 f (x, y) 。xy3。1.2 全微分形式不变性我们知道一元函数的

42、一阶微分形式具有不变性，多元函数的全微分形式也具有不变性下面以二元函数为例来说明z f uv具有连续偏导数，则有全微分dz z du z dvuvu，v u xyv xy，且这两个函数也具有连续偏导数，z f xy,xy的全微分为dz z dxz dyxy z u z v dx z u z v dyu xv xu yv y uxyxy z du z dvuv可见,z u,v u，v 的函数，它的全微分形式都是一样的例6 利用一阶全微分形式的不变性求函数z fx2 y2,exy的偏导数与全微分解引入中间变量u x2 y2v exy z f uvzzdz u du v dv f d(x2 y2)

43、f d(exy)12d(xy) f (dx2 dy2) f d(xy)12 f (2xdx2ydy) f exy (ydx xdy)12 (2xf yexy f )dx (2yf xexy f )dy121212zz1212因此x12= 2xf yexy f ，y= 2yf xexy f 3。2在一元函数的微分学中，我们曾介绍了隐函数的求导方法：方程F x, y 0 两边对 xy现在我们介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法导出隐函数的求导公式 3。2.1定 理 3 Fxy P0 x ,y0Fx ,y00,Fyx ,y0 0 F x, y0P0 x ,y0的某邻域内惟一确定y f xy

44、0 f x0,并且有dyFx (936）dxFy公式(9-3-6）就是隐函数的求导公式 这里仅对公式（93-6）进行推导y f xFx, y0得恒等式Fx, f x0 x x 求导，得Fdy Fdy 0ydxxFy连续，且 Fyx ,y0 0 ,所以存在点 P0 x ,y0的一个邻域，在这个邻域内F 0，所以有yFdy x FdxFyF x, y 0(93-6）x 的复合函数而再一次求导，得到d2 y F Fdyx x dx2xFyFdxyF F FFF F F xxyyxx F2yxyyF2yxxFyF F2 2F F F FF2xxyxyxyyx .F3y例 7 x2 y2 1 0在点0,

45、1的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数的隐y f xx 0y 1，并求这个函数的一阶与二阶导数在x 0的值解 Fxy x2 y2 1,Fx 2x,Fy2y,F0,10,Fy0,120由定理 3 x2 y2 1 0在点0,1的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数的y f xx 0y 1。dydxddydx所以x ,0；dxFyyx0 x d2 y yxyy y2 x2 1 ,d2 ydd2 ydx2dx2y2y3y3dyx0y1例8 设cosxsin y exy ，求dx解法一Fxycosxsinyexy ,则由公式（936）得F sinx yexy,Fx cosy xexy.cos y xexy

46、sin x yexy .dy cos y xexysin x yexy .dxcos yxexy解法二x y x 的函数，得dydy sinxcos yexyy xdxdx 解得dy sin x yexy sin x yexy .dxcos y xexycos yxexy注x y 都视为自变量，而在第二种方法中要将y x y（x)隐函数存在定理还可以推广到多元函数，下面介绍三元方程确定二元隐函数的定理定理 4 设函数 FxyzP0 x ,y ,z00的某邻域内具有 连续的 偏导数， 且Fx0,y ,z00，Fzx ,y ,z000Fxyz0P0 x ,y ,z00的某一邻域内能惟一确定一个有连

47、续偏导数的函数z f xy,z0 f x ,y0，并且有zxFzxx ,）FyFzz这里仅对公式（9-37）进行推导z f xyFxyz0得恒等式Fx,y, f x,y0 x y x y 求导，得zzF F0,F F0 xz xyz yFzFzx ,y ,z00 0,P0 x ,y0的一个邻域，在这个邻域内F 0，所以有zxz Fx,z FyxFyFyzz9x2 y2 z2 4z 0,求z ,z , 2z .xyy2解Fxy x2 y2 z2 4zFx 2x,Fy 2y,Fz 2z 4,z 2时,得2 z x z=zxx2z2 2zxx2z2 =y2zy2zyx,z2z所以=2z 2z2 x2

48、 .x2。2 方程组情形方程组2z2F(x, y,u,v) 0,G(x, y,u,v) 02z3(938),因此方程组（938）就可以确定两个二元函数下面给出方程（938）能确定两个二元函数 u=u(x，y),v=v（x,y）的条件以及u，v 的偏导数公式5 F(x, yuv，G(x, y,uvP(x , y u v 的某邻域内具有对各个变量0000F(x , y u v ) 0 G(x , y u v ) 0 ，且偏导数组成的函数行列式00000000（称为雅可比（Jacobi）式）(F,G)FFJ uv(u,v)GGuvP(x , y u v 不等于零,则方程组(938）P(x , y u

49、 v 的某邻域内惟一确00000000u u(x, y) ， v v(x, y) uu(x , y vv(x y ，且有000000FxvGxvFFxvGxvFuvGuvu1 (F,G)(x,v)x J(x,v) (F,G) ，(u,v)FyvGyFyvGyvFuvGuvu 1 (F,G) (y,v)，yJ(y,v)(F,G)(u,v)F G(,)F Guxv1 (F,G)(u,x)GGxx(u,v)J(u,v)(F,G) ux ，FFuvFFGGFuyGuyFuyGuyFuvGuvv 1 (F,G)(F,G) (u,y).(9-3-9）yJ(u, y)(F,G)(u,v)定理 5 我们不证，

50、关于公式(939)作如下推导:由于x 求偏导得Fx,y,u(x,y),v(x,y)0,Gx,y,u(x,y),v(x,y)0.uvF FF0,xu xv xuvG GG0.xu xv xP(x , y u v 的某邻域内,系数行列式0000FF解上述二元线性方程组得J Gu0,GvFxvGxvFFxvGxvFuvGuvu1 (F,G)(x,v)x J(x,v) (F,G) ,(u,v)FuxGuxFFuxGuxFuvGuvv1 (F,G)(u,x)x J(u,x) (F,G) (u,v)同理可得公式（939) 的另外两个式子10 xu yv 0,yuxv 1,求u vu v xxyy解x 求偏

51、导,u,v x,y 的二元函数,得uvux x y x0,uyvxv0.uvxxxy将,看成未知量，解上述方程组，在系数行列式J x2 y2 0时，方程xxyx组有唯一解uyu vx uxvy xJx2 y2uvv xv yu uv类似的，在系数行列式J xJx2 y2xy x2 y2 0的条件下，可求得yxxv yu xv yu ,vx2 y2yy xu yv.x2 y2一般求方程组所确定的隐函数的导数(或偏导数,而是对各方程的两边关于自变量求导（或求偏导）,得到所求导数（或偏导数）的方程组，再解出所求量例 11 设函数 z f (u) u (u xytdt 确定u x,y 的函数，其中f

52、u,uPt,u连续，且 u1py) zp(x)z0解z zxy看成由方程组z f (u),xyu u) xyp(t)dt所确定当然同时还确定了另一函数u ux, yx 求偏导，得z f(u)u,xxu (u) p(x).xx解得z f (u)p(x)x1(u)类似地可求得z f (u)p(y)y1(u)zzpyx p(x) y0.93求下列复合函数的偏导数或导数：zz（1）z u2 v2u x yv x y ,求xy ；dz(2）设z uv，u lnx,v 2x ,求；dx（3) z arctanxy, y ex,dz ;dxz uvu sinx yv cosxyz z ;xy(5）z f x

53、 yxy,z , z ；xy(6) 设u f xxyxyz，求u u u 。xyz设z y,f 为可微函数，验证：fx2 y21 z 1 z z2 x xy yy sinxsinyf 为可微函数，证明:z secx z secy 1xyz x yxy，求dz z exysinx y，求dz z , z xy求下列函数的2z ,2z,2z（其中f 具有二阶偏导数：x2xyy2(1） z fx2 y2;(2）z xy2,x2y；（3)z f x,x2yz f x, yx rsin, y rcos ，证明：2z 1 z 1 2z 2z2z 。2r r 2x2y2求下列隐函数的导数:x2 x2 y2（

54、1) 设sin y exxy20，求;(2）设lnarctan,求；(3） 设exydxxdxzz2z ez 0，求x y ;zz（4）x2 y2 z2 2x2y4z50，求xy 。z f x yzxyz,求z x y .xyz设u f x, yz有连续偏导数， y yxz zxexyduy 0和ez xz 0确定，求dx11设2sinx2y 3z x2y 3z证明z z 1xyx xyz, y yxzz zx, yF x, yz 0所确定的具有连续偏导数的函数，证明x y zyzx 1求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数:z x2 y2,(1） 设x2 2y2 3z,dy dz ;dxd

55、xx2 y（2) 设dy , dz ；x2 y2 z a2,dxdxu f ux,vy,（3）设v gux,v2y,f g 具有一阶连续偏导数，求u v 。xx设函数u uxy由方程组u f x, y,z,t,gy,z,t0,hz,t0所确定，求u , u .xy4 节 方向导数和梯度4。1 方向导数z f xyz zxy可以解决函数沿平行于坐标轴方向的变化（风力与风向）,就必须知道气压在该处沿某些方向的变化率因此，有必要引进多元函数在某点沿一给定方向的方向导数的概念1 z f xyP0 x ,y0的某一邻域内有定义，l P0 x y 引00出的射线,x l 的转角为0 2，P x00 x,y

56、0y为l 上的另一点，记 PP 0(x)2 (y)2（图如果极限zf (x x,y y) f (x ,y )0lim00lim0000存在,z f xyP0 x ,y0处沿方向l 的方向导数，记作f或 f，即0l (x0,y )0fllim0f (x0 x,y0y) f (x ,y )00（1）9-8l e cos,sin，则 l的参数方程为x x tcos,0t 0y y tsin,0所以x tcosy tsin，从而（94-1)式可表示为fl P0limt0f(x0tcos,y0tsin) f(x ,y )00t34（4） PAGE PAGE 64fl存在的条件及计算方法，有如下的定理1z

57、 f xyPxyz f xy在该点处沿任l 的方向导数都存在,且fl flcos fsin(943)xy证z f xyPxy处可微分，因此函数的增量为z f xx,yy f x,y dz o f x fyo,xy =(x)2+(y)2 0因为x cosy sin , f x f y()=fcos fsin().xyxy从而得到 f cos fsin0 xy这表明了方向导数是存在的，且有fl f cos flsinxy例1f xy x2 y2 P00数解l 的方向就是向量P P 1,1P P 单位化得：得cos 2 ,sin 2 ，00 0PP002 ,2),22fxfx(1,0)2,ffy0

58、xOy 平面上是可微的，所以f 20(2)2l(1,0)22公式 9-43）还有另外的形式：l 同向的单位向量为cos,cos ， 分别l x y 轴正向所成夹角（方向角则当f ,y满足定理1 的条件时，有f fcos fcos （4）lxy同样可以证明：如果函数函数u f xyzPx y z000可微分，那么函数在该点沿着方向elcos,cos ,cos的方向导数为f fcos f fcos （9-5)lxyx2 f xyz x y2 z3 P1,1,1l l 的方,45,45 ,60. 解l 同方向的单位向量为：e cos60 ,cos 45 ,cos 60 1,21,.l22所以有f 1

59、,f3.xyxOy 平面上是可微的，所以(1,1,1)z (1,1,1)f11 22 31 22.l(1,1,1)2224.2 梯度函数在某点沿方向l 的方向导数刻画了函数沿方向l 的变化情况,那么函数在某点究竟沿哪一个方向增加最快呢？为此将函数z f xyPxy处的方向导数的公式改写为f (f ,f) (cos,sin ) ,lxyfflle(cos，sin)g x y为两个向量,e(cos,sin)l 一致的单位向ll量，于是有f ge g ecosg,e g cos(g,e )lllllf可见，g el 的方向一致（g l 的方向一致)lfl g ，即达到最大，即函数变化最快，l(l(f

60、 )2 (f )2 xy于是给出梯度的定义定义 2 z f xyPxy处存在偏导数f 和f,则称向量f f为函数xyf ,y在点P 处梯度记作gradf x,y（或gradz，即xygradf x, y (f,f )xyff梯度的长度(或模）为gradf (x)2 (y)2 z f xyP l 的方向导数可写为f gradfcos(el,gradf ) 梯度方向就是函数值增加最快的方向 ,或者说函数变化率最大的方向 ,也就是说函数f x, y在 P 点处的所有方向导数（若存在)中，沿梯度方向的方向导数最大，并且等于梯度的长度gradf;沿梯度反方向的方向导数最小且为 gradf3f xy xy