《工程力学》动载荷

1、工程力学-动载荷11.2惯性力的问题 杆件在静载荷作用下产生的应力和变形分别称为静应力和静变形。 若载荷使杆件内各质点产生的加速度较显著，或者载荷随时间而变化，则这样的载荷称为动载荷。 在动载荷作用下，杆件产生的应力和变形分别称为动应力和动变形。 匀加速直线运动时构件的惯性力和动应力 当构件各点的加速度为已知时或可以求出时，可以采用动静法求解构件的动应力问题。这类问题称为惯性力问题。例11-1 梁由钢索起吊，以等加速度a上升(如图11-2 所示)。已知梁的橫截面面积为A，弯曲截面系数为Wz，单位体积的重力为。求梁中央截面上的最大动应力。解：(1) 受力分析当吊车以等加速度a起吊时，梁除了受自重

2、(载荷集度为qst A )和钢索横截面起吊的拉力，还需附加梁由于自重引起的惯性力，其集度为 ，在这些力的共同作用下，梁处于假想的平衡状态。在这些力的共同作用下，梁处于假想的平衡状态。于是，梁的载荷集度为 钢索起吊的拉力为 (2) 计算内力 梁中央截面上的弯矩为 （a）(3) 计算梁中央截面上的最大动应力 相应的应力(一般称为动应力)为 （b） 当加速度等于零时，由上式求得杆件在静载下的应 （c）故梁中央截面上的最大动应力d可以表示为 （d）括号中的因子可称为动荷系数，并记为 （e） 于是式(d)写成 (f)这表明动应力等于静应力乘以动荷系数。强度条件可以写为 (g)由于在动荷系数Kd中已经包含

3、了动载荷的影响，所以即为静载许用应力。 等角速度转动时构件的应力计算 如图11-3(a)所示,设飞轮的平均半径为R，轮缘的横截面面积为A，材料每单位体积的重量为，飞轮旋转的角速度为。若不计轮辐对于轮缘的影响，可将飞轮简化为一个绕着中心旋转的圆环如图11-3(b)所示。由于此圆环作等角速度转动，因而环内各点只有向心加速度。又因飞轮的轮缘厚度远比飞轮的平均半径小，可以认为环上各点的向心加速度与圆环轴线上各点的加速度相等。即aN =2R。根据动静法，将集度为 的离心惯性力加在圆环轴线上，就可像静载荷那样进行计算。 用截面法把轮缘对称截开，保留上半部分，并用 表示截面上的拉应力，由静力学平衡条件F y

4、 =0 ，得经过积分并简化得 将qd之值代入上式得式中v为飞轮在半径R处的切向线速度。根据强度条件，为保证飞轮安全，必须使 所以 v由此可见，飞轮转速的提高，应有一定限制。所允许的飞轮最大切向线速度v ，取决于许用应力和材料单位体积的重量，而与飞轮的直径以及轮缘的截面尺寸无关。11.3 疲劳强度与疲劳强度 交变应力与疲劳失效的概念 交变应力引起的失效与静应力作用下全然不同。在交变应力作用下，虽然应力低于屈服极限，但长期反复之后，构件也会突然断裂。即使是塑性较好的材料，断裂前却无明显的塑性变形。这种现象称为疲劳失效。 疲劳失效是构件在名义应力低于强度极限，甚至低于屈服极限的情况下，突然发生断裂。

5、 交变应力的循环特征、应力幅和平均应力 图11-9表示按正弦曲线变化的应力 与时间t的关系。由a到b应力经历了变化的全过程又回到原来的数值，称为一个应力循环。完成一个应力循环所需要的时间(如图中的T)，称为一个周期。以 和 分别表示循环中的最大和最小应力，比值 (11-1) 称为交变应力的循环特征或应力比。max和min代数和的二分之一称为平均应力，即m=(max+min) (11-2)max和min代数差的二分之一称为应力幅，即m=(maxmin) (11-3)若交变应力的max和min大小相等，符号相反，例如图11-6 中的火车轴就是如此，这种情况称为对称循环。 这时由公式(11-1)、(

6、11-2)和(11-3)得r = 1，m = 0，a =max (b)各种应力循环中，除对称循环外，其余情况统称为不对称循环。由公式11-2 和11-3知 max =m+a，min =ma (11-4) 可见，任一不对称循环都可看成是，在平均应力m上叠加一个幅度为a的对称循环。这一点已由图11-9表明。若应力循环中的min =0 (或max= 0 )，表示交变应力变动于某一应力与零之间。图 11-5中齿根A点就是这样的。这种情况称为脉动循环。这时r = 0，m =a=1/2max 或 r = ，a =m=min。 静应力也可看作是交变应力的特例，这时应力并无变化，故r =1，max=m =a。

7、11.4 持久极限及其影响因素 交变应力与疲劳失效的概念 在对称循环下测定疲劳强度指标，技术上比较简单，最为常见。测定时将金属加工成d = 7 10mm，表面光滑的试样(光滑小试样)，每组试样约为 10 根左右。把试样装于疲劳实验机上(图11-10)，使它承受纯弯曲。在最小直径截面上，最大弯曲应力为 保持载荷F的大小和方向不变，以电动机带动试样旋转。每旋转一周，截面上的点便经历一次对称应力循环。试验时，使第一根试样的最大应力max，1较高，约为强度极限b的70%。经历N1次循环后，试样疲劳。N1称为应力为max，1时的疲劳寿命(简称寿命)。然后，使第二根试样的应力max，2略低于第一根试样，疲

8、劳时的循环数为N2。一般说，随着应力水平的降低，循环次数(寿命)迅速增加。逐步降低应力水平，得出各试样疲劳时的相应寿命。以应力为纵坐标，寿命N为横坐标，由试验结果描成的曲线，称为应力-寿命曲线或S N 曲线(图11-11)。钢试样的疲劳实验表明，当应力降到某一极限值时，S N 曲线趋近于水平线。这表明只要应力不超过这一极限值，N可无限增长，即试样可以经历无限次循环而不发生疲劳。交变应力的这一值称为疲劳极限或持久极限。对称循环的持久极限记为-1，下标“ -1”表示对称循环的循环特征为r = 1。 常温下的实验结果表明，若钢制试样经历107次循环仍未疲劳，则再增加循环次数，也不会疲劳。所以，就把在

9、107次循环下仍未疲劳的最大应力，规定为钢材的持久极限，而把N0 =107称为循环基数。有色金属的S N曲线无明显趋于水平的直线部分。通常规定一个循环基数，例如N0 =108，把它对应的最大应力作为这类材料的“条件”持久极限。 构件外形的影响 构件外形的突然变化，例如构件上有槽、孔、缺口、轴肩等，将引起应力集中。在应力集中的局部区域更易形成疲劳裂纹，使构件的持久极限显著降低。在对称循环下，若以(-1) d或(-1) d 表示无应力集中的光滑试样的持久极限；(-1) d或(-1) d表示有应力集中因素，且尺寸与光滑试样相同的试样的持久极限，则比值 或 称为有效应力集中因数。 构件尺寸的影响 在对

10、称循环下，若光滑小试样的持久极限为-1，光滑大试样的持久极限为(-1) d，则比值 称为尺寸因数，其数值小于1。对扭转，尺寸因数为 (11-7) 构件表面质量的影响 若表面磨光的试样的持久极限为(-1)d，而表面为其他加工情况时构件的持久极限为(-1)，则比值 (11-8)称为表面质量因数。 11.5 对称循环下构件的疲劳强度计算 对称循环下，构件的持久极限由公式 来计算。将除以安全因数n得许用应力为 （a） 构件的强度条件应为 max 或max (b) 式中max是构件危险点的最大工作应力。也可把强度条件写成由安全因数表达的形式。由(b)式知 n (c)上式左侧是构件持久极限 与最大工作应力

11、max之比，代表构件工作时的安全储备，称为构件的工作安全因数，用来表示，即 (d)于是强度条件(c)可以写成 (11-11)将公式(11-9)代入(d)式，便可把工作安全因数和强度条件表为 n (11-12)若为扭转交变应力，公式(12.12)应写成 n (11-13) 例11-3 某减速器第一轴如图11-15所示。键槽为端铣加工，A-A 截面上的弯矩 M = 860N.m，轴的材料为A5钢，b = 520MPa ，-1 = 220MPa。若规定安全因数n =1.4，试校核截面A-A的强度。 解：计算轴在A-A截面上的最大工作应力。若不计键槽对弯曲截面系数的影响，则A-A截面的弯曲截面系数为

12、=12.3cm3= 12.310-6 m3 轴在不变的弯矩M作用下旋转，故为弯曲变形下的对称循环。 max= =70106 Pa=70Mpa min=-70Mpa r = -1 现在确定轴在A-A截面上的系K、。由图11-13(a)中的曲线2查得端铣加工的键槽，当b = 520MPa时，K=1.65。由表11-1查得= 0.84。由表11-2，使用插入法，求得= 0.936。 把以上求得的max、K、等代入公式(11-12)，求出A-A处的工作安全因数为 规定的安全因数为n =1.4。所以，轴在截面A-A处满足强度条件式(11-11)。 11.6 持久极限曲线 在非对称循环的情况下，用r表示持

13、久极限，r的脚标r代表循环特征。如图11-16所示。 选取以平均应力m为横轴，应力幅a为纵轴的坐标系如图11-17所示。对任一个应力循环，由它的m和a便可在坐标系中确定一个对应的P点。由公式max =m+a，min =ma 知，若把一点的 纵、横坐标相加，就是该点所代表的应力循环的最大应力，即 a+m=max (a)由原到P点作射线OP，其斜率为 tan (b) 11.7 非对称循环下构件的疲劳强度计算 例11-4 图11-19所示圆杆上有一个沿直径的贯穿圆孔，非对称交变弯矩为Mmax = 5Mmin = 512Nm。材料为合金钢，b = 950MPa ，s = 540MPa ，-1 = 430MPa， =0.2。圆杆表面经磨削加工。若规定安全因数n = 2，ns =1.5，试校核此杆的强度。 解：(1) 计算圆杆的工作应力。 cm3 Pa =81.5Mpa =16.3Mpa =0.2 =48.9Mpa =32.6 Mpa (2) 确定系数K、。按照圆杆的尺寸，。由图11-13(