离散群和子群精品课件

1、离散群和子群第1页，共12页，2022年，5月20日，11点15分，星期五. -吴扬扬制-2 8.1 半群和独异点 2.可交换独异点的性质定理8.1.1 设为可交换独异点，T为S中所有幂等元的集合，则 T,是的子独异点。证明(1) 在T上封闭 a,bT, 有aa=a, bb=b (ab)(ab) =(aa)(bb)交换性、结合性 = ab (2) eT ee=e e也是幂等元 因此T,是的子独异点 分析前面例题幂等性第2页，共12页，2022年，5月20日，11点15分，星期五. -吴扬扬制-3 8.1 半群和独异点 3.半群同态（1）定义半群同态独异点同态单位元映射到单位元例2：设A=,B=

2、 定义h: * N, x*, h(x)=x(串的长度） x,y*, h(xoy)=xoy=x+y=h(x)+h(y)且h()=0 h是A到B的独异点同态* 分析与的同构映射h:RR+,h(x)=ex (xR)第3页，共12页，2022年，5月20日，11点15分，星期五. -吴扬扬制-48.1 半群和独异点 3.半群同态（2）其中：fx：SS，yS,fx(y)=x*y性质定理8.1.2 半群与同态。 例3：半群,其中，S=a,b,c, *运算定义为：* a b ca a b cb b c ac c a b定义到同态映射h: SSS，xS, h(x)=fx即 h(a)=fah(b)=fbh(c)

3、=fc其中,fa：SS，fa(a)=a*a=a, fa(b)=a*b=b, fa(c)=a*c=cfb：SS，fb(a)=b*a=b, fb(b)=b*b=c, fb(c)=b*c=afc：SS，fc(a)=c*a=c, fc(b)=c*b=a, fc(c)=c*c=b第4页，共12页，2022年，5月20日，11点15分，星期五. -吴扬扬制-58.1 半群和独异点 3.半群同态（3） 定理8.1.3 任意独异点都同构于某一变换独异点。 即必与的某个子独异点同构。 其中：fa：SS，bS,fa(b)=a*b a,bS, cS, h(a*b)=h(a)oh(b)fa*b(c)=(a*b)*c且

4、faofb(c)=fa(fb(c)=fa(b*c)=a*(b*c)=(a*b)*c fa*b(c)= faofb(c) fa*b= faofb故h是从到的半群同态。证明定理：半群与同态。证 定义h:SSS, aS, h(a)=fa, 第5页，共12页，2022年，5月20日，11点15分，星期五. 6 第八章 半群和群8.2 群的定义和性质 1. 基本概念群：设为独异点，如果aG,a都可逆，则称为群。阿贝尔群： 若群中的二元运算是可交换的，则称为可交换群，也称阿贝尔群。例1：分析下列系统： A=B=C=D=E=第6页，共12页，2022年，5月20日，11点15分，星期五. 78.2 群的定义

5、和性质 2. 判定定理定理8.2.1 设 为半群。若（1）有左单位元，即elA, 使得aG, 有ela=a （2）每个元素有左逆元， 即aG alG, 使得ala=el ,则 是群。证明(1) aG al是逆元. alG， aG，使aal=el.aal =el(aal) =(aal)(aal) =a(ala)al=aelal= a(elal) = aal = el al是右逆元(2) el是单位元 aG, 有ael = a(ala)= (aal)a = ela = a el是右单位元第7页，共12页，2022年，5月20日，11点15分，星期五. 8 8.2 半群和独异点 3.群的性质定理8.

6、2.2 设 为半群。若a，bG,方程ax=b和ya=b在G中都有解，则 是群。性质： 设 为群。则a，bG,方程（ab）-1 =b-1a-1 ;a，bG,方程ax=b和ya=b在G中有唯一解;中消去律成立。证明：群 只有单位元素是唯一的幂等元素。 证：显然单位元素ee = e，是幂等元素。 假设a G是幂等元素，即aa = a，于是aa = ae，由于 消去律成立，因此a = e。第8页，共12页，2022年，5月20日，11点15分，星期五. 9 8.2 半群和独异点 4.元素的阶定义： 设 为群，aG。若 nI+,an e,则称a的阶是无限的，否则an = e的最小正整数n为a的阶。A的阶也称为a的周期，常用|a|表示。第9页，共12页，2022年，5月20日，11点15分，星期五. 10 8.3 子群和群同态 1.子群定义：子群和真子群的定义例定理定理定理定理例第10页，共12页，2022年，5月20日，11点15分，星期五. 11 8.3 子群和群同态 2.群同态定义：群同态和群同构