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1、3.1结构动力学基本理论四、单自由度弹性体系的基本理论base theory for single degree of freedom system1、地震反应（1）计算简图 图3.13表示单质点弹性体系的计算简图。所谓单质点弹性体系，是指可以将结构参与振动的全部质量集中于一点，用无重量的弹性直杆支承于地面上的体系。例如，水塔、单层房屋，由于它们的质量大部分集中于结构的顶部，所以，通常将这些结构都简化成单质点体系。由于忽略质点的竖向位移和转动，质点只考虑沿水平向移动，因而单质点体系只有一个自由度。 图3.13 单质点弹性体系计算简图3.1结构动力学基本理论四、单自由度弹性体系的基本理论1、地3

2、.1结构动力学基本理论（2） 运动方程的建立 为了研究单自由度弹性体系的水平地震反应，首先应该根据结构的计算简图进行受力分析，建立体系在水平地震作用下的运动方程。如图3.14所示的水平地震作用下单自由度体系的计算简图。 图3.14 水平地震作用下单自由度体系的振动体系具有集中质量m，由刚度系数为k的弹性直杆支承。设地震时地面水平运动的位移为 质点相对地面的水平位移为它们皆为时间t的函数，则质点的绝对位移为 ，而绝对加速度为 。3.1结构动力学基本理论（2） 运动方程的建立图3.14 水3.1结构动力学基本理论 将质点取为隔离体，由动力学原理可知，作用在质点上的力有3种，即弹性恢复力、阻尼力和惯

3、性力。 弹性恢复力是使质点从振动位置恢复到平衡位置的一种力，它由支承杆弹性变形引起，其大小与质点的相对位移 成正比，而方向相反，可以表为式中 k弹性直杆的侧移刚度系数，即质点产生单位水平位移时在质点上所需施加的水平力。 阻尼力是使结构振动逐渐衰减的力，它由造成系统能量耗散的各种因素引起（如材料内摩擦、节点连接件摩擦、空气阻尼等）。在工程计算中通常采用黏滞阻尼理论，即假定阻尼力与质点的相对速度 成正比，而方向相反，即式中 c阻尼系数。3.1结构动力学基本理论 将质点取为隔3.1结构动力学基本理论 根据定义，惯性力的大小与质点运动的绝对加速度成正比，而方向相反，于是有 根据达朗贝尔原理，在质点运动

4、的任一瞬时，作用在其上的主动力、约束力和惯性力三者互相平衡。于是可列出质点运动方程为 即移项整理后得 （3.23）上式即为单自由度弹性体系水平地震反应微分方程，相当于地面不动，在质点上作用有 动荷载的强迫振动。3.1结构动力学基本理论 根据定义，惯性力的大3.1结构动力学基本理论便于方程求解，将式（3.23）两边同除以m，得式中结构振动圆频率,结构的阻尼比，。 结构的自振周期定义为：它所反应的是与自振圆频率之间的关系。阻尼比、自振园频率（自振周期）为结构的固有特性。（3.24）3.1结构动力学基本理论便于方程求解，将式（3.23）两边同（3）运动方程的求解3.1结构动力学基本理论 式（3.24

5、）为一常系数二阶非齐次线性微分方程，其通解由两部分组成，一为齐次解，一为特解。前者代表体系的自由振动，后者代表体系在地震作用下的强迫振动。也就是说单自由度弹性体系的地震反应由下面关系给出：体系地震反应自由振动反应强迫振动反应 在式（3.24）中令右端项为零可求得体系的自由振动反应，具体的求解在一般动力学书中均有介绍，此处不予详述。若给定初位移和初速度，在小阻尼（ ）条件下，体系自由震动反应由下式给出：式中 、 分别为t=0时的初位移和初速度； 有阻尼体系的自由振动频率，（3.27）（3）运动方程的求解3.1结构动力学基本理论 式（3.1结构动力学基本理论式（3.24）中 的为地面水平地震动加速

6、度，在工程设计中一般取实测地震波记录。由于地震动的随机性，对强迫振动反应不可能求得解析表达式，只能借助数值积分的方法求出数值解。在动力学中，式（3.24）的强迫振动反应由下面的杜哈梅（Duhamel）积分给出：当体系初始处于静止状态时，即初位移和初速度均为零，则由式（3.27）知，体系自由振动反应， 。另外，即使初位移和初速度不为零，由式（3.27）给出的自由振动反复也会由于阻尼的存在而迅速衰减，因此在地震反应分析时可不考虑其影响。对一般工程结构，阻尼比 约在0.010.10之间，此时 。于是，体系的地震反应为3.1结构动力学基本理论式（3.24）中 的2、 单自由度弹性体系地震作用计算的反应

7、谱法Seismic design response spectrum of level earthquake action of single degree of freedom system3.1结构动力学基本理论 反应谱是指单自由度体系最大地震反应与体系自振周期的关系曲线，根据反应量的不同，又可分为位移反应谱、速度反应谱和加速度反应谱。根据上述定义，反应谱包含如下两方面的含义：代表了最大地震反应；代表了随周期的变化。由于结构所受的地震作用（即质点上的惯性力）与质点运动的加速度直接相关，因此，在工程抗震领域，常采用加速度反应谱计算结构的地震作用。本节主要介绍抗震设计反应谱理论。2、 单自由度

8、弹性体系地震作用计算的反应谱法3.1结构动力学（1） 单自由度弹性体系的水平地震作用 地震作用就是地震时结构质点上受到的惯性力，根据图3.14质点隔离体的平衡条件可得 3.1结构动力学基本理论（3.30） 工程中，通常阻尼力 远远小于弹性恢复力 。为了简化计算，在求地震作用时可略去阻尼力。因此，单自由度体系地震作用可表为（3.31）将式（3.27）代入上式得（3.32） 式（3.32）为结构地震作用随时间变化的表达式，可通过数值积分计算在各个时刻的值。在结构抗震设计中，只需求出地震作用的最大绝对值，将其用F表示，则 （3.33）（1） 单自由度弹性体系的水平地震作用3.1结构动力学基本理3.1

9、结构动力学基本理论质点振动加速度最大绝对值，即（3.34） （2） 地震系数、动力系数式（3.33）不便直接应用，将其作如下变换： 地面运动加速度最大绝对值；动力系数。g重力加速度；G质点的重力荷载代表值，Gmg；k地震系数；（3.35） 3.1结构动力学基本理论质点振动加速度最大绝对值，即（21地震系数 地震系数k是地面运动加速度最大绝对值与重力加速度的比值，即 3.1结构动力学基本理论 （3.36） 通过地震系数可将地震动振幅对地震反应谱的影响分离出来。一般说来，地面运动加速度峰值越大，地震烈度越高，即地震系数与地震烈度之间有一定的对应关系。统计分析表明，烈度每增加一度，k值大致增加一倍。

10、我国在建筑抗震设计规范中采用的地震系数与地震烈度的对应关系如表3.1所示。表3.1 地震系数与地震烈度的关系基本烈度6789地震系数k0.050.10（0.15）0.20（0.30）0.401地震系数3.1结构动力学基本理论 （3.36） 通过地震3.1结构动力学基本理论2动力系数 动力系数 是单自由度弹性体系在地震作用下加速度反应最大绝对值与地面加速度最大绝对值之比，即质点最大加速度比地面最大加速度放大的倍数，可表示为（3.37） 为无量纲量，其值与地震烈度无关，因为当 增大或减小时， 也相应增大或减小。这样就可利用各种不同烈度的地震记录进行计算和统计，得出 的变化规律。将 表达式（3.34

11、）代入式（3.37），并注意到自振圆频率与自振周期的关系 ，得 （3.38）3.1结构动力学基本理论2动力系数（3.37） 3.1结构动力学基本理论式中（3.39）由式（3.39）可看出，影响 的因素主要有：地面运动加速度 的特征；结构的自振周期T；阻尼比 。当给定地面加速度和阻尼比时，动力系数仅与结构体系的自振周期T有关。对一给定的周期T，通过式（3.37）可计算出在该周期下的一条 时程曲线，则该曲线中最大峰值点的绝对值即是由式（3.37）确定的 值。对每一个给定的周期 ，都可按上述方法求得与之相应的一个 值，从而得到 与T一一对应的函数关系。3.1结构动力学基本理论式中（3.39）由式（3

12、.39）可看3.1结构动力学基本理论图3.15 与T的关系曲线 若以 为纵坐标，T为横坐标，则可得到一条 与T的关系曲线，即 T线（图3.15）。对于不同的 值，可得到不同的这种曲线。这类曲线称为动力系数反应谱曲线，或称 谱曲线。由于对给定的地震记录， 是个定值，所以 谱曲线实质上是加速度反应谱曲线。3.1结构动力学基本理论图3.15 与T的关系曲线 图3.16是根据1940年美国ElCentro地震地面加速度记录绘出的 谱曲线。由图可见 谱曲线具有如下特点：图3.16 ElCentro地震的 谱曲线3.1结构动力学基本理论图3.16是根据1940年美国ElCentro地震地面加速 （1） 谱

13、曲线为多峰点曲线，这是由于地面运动的不规则造成的。3.1结构动力学基本理论 （2）各条 谱曲线均在周期为 的附近达到峰值点， 为场地的卓越周期或称特征周期。 （3） 谱曲线的变化规律是：当 时 值随着周期的增大而急剧增长，在 附近达到峰值，过峰值点（ ）后， 值随着周期的增大而逐渐衰减，并逐渐趋于平缓。 （4）阻尼比 值对 谱曲线影响较大， 值小则 谱曲线幅值大、峰点多； 值大则 谱曲线幅值小、峰点少。 谱曲线实际上反映了地震地面运动的频谱特性，对不同自振周期的结构有不同的地震动力效应。 （1） 谱曲线为多峰点曲线，这是由于地面运3.1结构动力学基本理论图3.17场地条件下对 谱曲线的影响 地

14、震动的频谱特性决定了反应谱的形状，分析研究表明， 谱曲线的形状取决于影响地震动的各种因素，如场地条件、震级及震中距等。 图3.17给出不同场地条件下的 谱曲线，由图可看出，对于土质松软的场地， 谱曲线的主要峰点偏于较长的周期，而土质坚硬时则偏于较短的周期，同时，场地土愈松软。并且该松软土层愈厚时，在较长周期范围内， 谱的谱值也就愈大。3.1结构动力学基本理论图3.17场地条件下对 谱曲3.1结构动力学基本理论 图3.18为在同等烈度下不同震中距时的 谱曲线，由图可知，震中距远时 谱曲线的峰点偏于较长的周期，近时则偏于较短的周期。因此，在离大地震震中较远的地方，高柔结构因其周期较长所受到的地震破

15、坏，将比在同等烈度下较小或中等地震的震中区所受到的破坏更严重，而刚性结构的地震破坏情况则相反。图3.18 震中距时对 谱曲线的影响（R-震中距；M震级）3.1结构动力学基本理论 图3.18为在同等烈3.1结构动力学基本理论（3） 地震影响系数和抗震设计反应谱Seismic design response spectrum 在式（3.35）中，取 ，则单自由度弹性体系的水平地震作用由下式求得：（3.40）式中 地震影响系数，根据定义， 又可表为（3.41） 因此，地震影响系数 就是单质点弹性体系在地震时以重力加速度为单位的质点最大加速度反应。另外，由式（3.41）知，地震影响系数又可理解为作用于

16、单质点弹性体系上的水平地震作用与质点重力荷载代表值之比。3.1结构动力学基本理论（3） 地震影响系数和抗震设计反应谱由表3.1知，在不同烈度下，地震系数乃为一具体数值。因此， 曲线的形状由 谱决定。这样，通过地震系数k与动力系数 的乘积，即可得到抗震设计反应谱 T曲线。 由于地震的随机性，即使是在同一地点、同一烈度，每次地震的地面运动加速度 记录也很不一样。不同的加速度记录可以算得不同的反应谱曲线，它们虽然具有某些共同特点，但仍存在着很多差别，而利用反应谱曲线的目的是要预测结构将来可能遭受的最大地震作用，所以用某一次地震的地面运动加速度记录所算得的反应谱曲线作为设计依据是不可靠的。3.1结构动

17、力学基本理论由表3.1知，在不同烈度下，地震系数乃为一具体数值。因此， 因此，为了满足一般房屋结构抗震设计的需要，应根据大量强震地面运动加速度记录算出对应于每一条记录的反应谱曲线，按照影响反应谱曲线形状的因素进行分类，然后按每种分类进行统计分析，求出最有代表性的平均曲线作为设计依据，这种曲线称为标准反应谱。规范中采用的抗震设计反应谱 T曲线即是根据上述方法得到的标准反应谱曲线，如图3.19所示。图3.19 地震影响系数曲线3.1结构动力学基本理论 因此，为了满足一般房屋结构抗震设计的需要，应-地震影响系数；-地震影响系数最 大值；表3.2 地震影响系数最大值（阻尼比为0.05）1.400.90

18、(1.20)0.50(0.72)-罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震 9 8 7 6地震影响烈度 括号数字分别对应于设计基本加速度0.15g和0.30g地区的地震影响系数-结构周期；3.1结构动力学基本理论-地震影响系数；-地震影响系数最表3.2 地震影响系-特征周期；表3.3 地震特征周期分组的特征周期值（s）0.90 0.65 0.450.35第三组0.75 0.55 0.400.30第二组0.65 0.45 0.35 0.25第一组 场地类别-曲线下降段的衰减指数；-直线下降段的斜率调整系数；-阻尼调整系数，小于0.55时，应取0.55。3.1结构动

19、力学基本理论-特征周期；表3.3 地震特征周期分组的特征周期值（s）3.1结构动力学基本理论有如下几点说明：（1）表3.2中给出的水平地震影响系数最大值 是根据结构阻尼比 制定的。根据式 。统计分析表明，在相同阻尼比情况下，动力系数最大值 的离散性不是很大。为了简化计算，规范中取（对应的阻尼比 ）。根据三水准设防目标、两阶段设计原则，第一阶段的多遇地震烈度比基本烈度约低1.55度，其对应的k值约为相应基本烈度k值（表3.1）的1/3。第二阶段的罕退地震烈度比基本烈度高1度左右（在不同的烈度区有所差别），其k值相当于表3.1基本烈度k值的1.52.2倍（烈度高，k值的放大倍数小）。将相应的k值与

20、 求乘积，即得表3.2中的3.1结构动力学基本理论有如下几点说明：（1）表3.2中给出3.1结构动力学基本理论（2）特征周期Tg是反应谱峰值拐点处的周期，强震时与场地的卓越周期相符。特征周期所在的反应谱峰值区，反映了当结构自振周期与场地自振周期相等或接近时，由于共振作用使反应放大。因此，不同的特征周期对各类建筑物的震害影响是不同的。根据图3.17和图3.18，特征周期对应的反应谱的峰值位置与场地类别和震中距直接相关，规范中采用设计地震分组来考虑由于震中距远近不同对各类建筑物造成的影响。在现行建筑抗震设计规范中，根据地震的近、中、远震影响，将设计地震分为一、二、三组，见表3.3。（3）当结构自振

21、周期T0时，结构为刚体，质点地震反应加速度与地面振动相同，不放大，此时 ，于是3.1结构动力学基本理论（2）特征周期Tg是反应谱峰值拐点处（4） 建筑物的重力荷载代表值 在按式（3.40）计算地震作用时，建筑物的重力荷载代表值G应取结构和构件自重标准值和各可变荷载组合值之和。各可变荷载的组合值系数按表3.4采用。 不考虑 软钩吊车 0.3 硬钩吊车 0.5 其它民用建筑 0.8 藏书库、档案库 1.0按实际情况考虑的楼面活荷载 不考虑 屋面活荷载 0.5屋面积灰荷载 0.5 雪荷载组合值系数可变荷载种类按等效均布荷载考虑的楼面活荷载吊车悬吊物重力表3.4 组合值系数3.1结构动力学基本理论式中

22、结构或构件的永久荷载标准值；结构或构件第i个可变荷载标准值；第i个可变荷载的组合值系数按表3.4采用。（4） 建筑物的重力荷载代表值 不考虑 3.1结构动力学基本理论（5） 利用反应谱确定地震作用有了抗震设计反应谱，就可以比较容易地确定结构所受的地震作用，基本步骤如下：（a）根据计算简图确定结构的重力荷载代表值G和自振周期T。（b）根据结构所在地区的设防烈度、场地条件和设计地震分组，确定反应谱的最大地震影响系数和特征周期。（c）根据结构的自振周期，确定地震影响系数。（d）计算出地震作用F值。计算出地震作用后，将此作用看作静力施加于结构，即可按一般结构力学的方法计算结构的地震作用效应（内力、位移等），从而根据其效应进行结构设计。3.1结构动力学基本理论（5） 利用反应谱确定地震作用解：（1