空间角计算课件

1、关于空间角的计算第一张，PPT共五十九页，创作于2022年6月 空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。我们主要研究怎么样用向量的办法解决空间角的问题。第二张，PPT共五十九页，创作于2022年6月空间的角：空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。 空间两条异面直线所成的角可转化为两条相交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角时，就主要求 范围内 的角； 斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在面内这

2、些特殊情况，线面角的范围也是 ； 两个平面所成的角是用二面角的平面角来度量。它的范围是 。 总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。第三张，PPT共五十九页，创作于2022年6月异面直线所成角的范围： 思考：结论：一、线线角：第四张，PPT共五十九页，创作于2022年6月所以 与 所成角的余弦值为解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系 ,如图所示，设 则： 所以：例一：第五张，PPT共五十九页，创作于2022年6月练习：在长方体 中，简解：第六张，PPT共五十九页，创作于2022年6月直线与平面所成角的范围： 思考：结论：二、线面角

3、：第七张，PPT共五十九页，创作于2022年6月例二：在长方体 中，简解：所以第八张，PPT共五十九页，创作于2022年6月练习： 的棱长为1.正方体xyz设正方体棱长为1，第九张，PPT共五十九页，创作于2022年6月l将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角 的大小为 ，其中DCBA三、面面角：方向向量法：二面角的范围：第十张，PPT共五十九页，创作于2022年6月 例三：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与

4、水坝所成二面角的余弦值。 解：如图，化为向量问题根据向量的加法法则有于是，得设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。因此ABCD所以所以库底与水坝所成二面角的余弦值为第十一张，PPT共五十九页，创作于2022年6月ll三、面面角：二面角的范围：法向量法注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角第十二张，PPT共五十九页，创作于2022年6月设平面 方向朝面外， 方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角第十三张，PPT共五十九页，创作于2022年6月小结：1.异面直线所成角： 2.直线与平面所成角： 第十四张，PPT共五十

5、九页，创作于2022年6月lDCBA3.二面角：ll一进一出，二面角等于法向量的夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。第十五张，PPT共五十九页，创作于2022年6月2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是 n1=（1，0，1）， n2 =（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是_ .1、已知 =(2,2,1), =(4,5,3),则平面ABC的一个法向量是_ .3. 三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC, E为PC中点 , ,则PA与BE所成角的余弦值为_ . 4. 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, AB=AC=1, 则AC1与截面BB1

6、CC1所成角的余弦值为_ . 第十六张，PPT共五十九页，创作于2022年6月2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是 =（1，0，1）， =（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是_ .3、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为_ .练习:1、已知 =(2,2,1), =(4,5,3),则平面ABC的一个法向量是_ .6001350第十七张，PPT共五十九页，创作于2022年6月4. 三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC, ,E为PC中点 ,则PA与BE所成角的余弦值为_ . 5. 直三棱柱ABC-A1B1C1

7、中, A1A=2, AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦值为_ . 6.正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的中点, 则二面角E-BC-A的大小是_第十八张，PPT共五十九页，创作于2022年6月7.正三棱柱 中，D是AC的中点，当 时，求二面角 的余弦值。CADBC1B1A18.已知正方体 的边长为2， O为AC和BD的交点，M为 的中点 （1）求证： 直线 面MAC;（2）求二面角 的余弦值. B1A1 C1D1DCBAOM第十九张，PPT共五十九页，创作于2022年6月 解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为

8、b,则 C(0,0,0)故则可设 =1， ，则B(0,1,0) yxzCADBC1B1A1FE作 于E, 于F，则 即为二面角 的大小在 中， 即E分有向线段 的比为第二十张，PPT共五十九页，创作于2022年6月由于 且 ，所以 在 中，同理可求 cos = 即二面角 的余弦值为 yxzCADBC1B1A1FE第二十一张，PPT共五十九页，创作于2022年6月解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz 在坐标平面yoz中 设面 的一个法向量为 同法一，可求 B(0,1,0)可取 (1,0,0)为面 的法向量 yxzCADBC1B1A1由 得解得 所以，可取 二面角 的大小等于

9、cos = 即二面角 的余弦值为 方向朝面外， 方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角第二十二张，PPT共五十九页，创作于2022年6月8. 证明：以 为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得8.已知正方体 的边长为2， O为AC和BD的交点，M为 的中点 （1）求证： 直线 面MAC;（2）求二面角 的余弦值. B1A1 C1D1DCBAOMxyz第二十三张，PPT共五十九页，创作于2022年6月 B1A1 C1D1DCBAOMxyz第二十四张，PPT共五十九页，创作于2022年6月习题课例1 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD

10、=DC,E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(1)求证：PA/平面EDB(2)求证：PB平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。ABDPEFC例2、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC 底面ABCD。已知 AB=2，BC=2 ，SA=SB= .(1)求证 (2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。SABDO第二十五张，PPT共五十九页，创作于2022年6月例3 如图,在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，PA=AB=1,AD= ，在线段BC上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450? 若存在，确定点E的位置；若不存

11、在说明理由。 DBACEP例4（2006年福建卷）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：AO平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。第二十六张，PPT共五十九页，创作于2022年6月1.正三棱柱 中，D是AC的中点，当 时，求二面角 的余弦值。CADBC1B1A12.已知正方体 的边长为2， O为AC和BD的交点，M为 的中点 （1）求证： 直线 面MAC;（2）求二面角 的余弦值. B1A1 C1D1DCBAOM练习：第二十七张，PPT共五十九页，创作于2022年6月 解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-

12、xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b,则 C(0,0,0)故则可设 =1， ，则B(0,1,0) yxzCADBC1B1A1FE作 于E, 于F，则 即为二面角 的大小在 中， 即E分有向线段 的比为第二十八张，PPT共五十九页，创作于2022年6月由于 且 ，所以 在 中，同理可求 cos = 即二面角 的余弦值为 yxzCADBC1B1A1FE第二十九张，PPT共五十九页，创作于2022年6月解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz 在坐标平面yoz中 设面 的一个法向量为 同法一，可求 B(0,1,0)可取 (1,0,0)为面 的法向量 yxzCADBC1B1A1由

13、 得解得 所以，可取 二面角 的大小等于 cos = 即二面角 的余弦值为 方向朝面外， 方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角第三十张，PPT共五十九页，创作于2022年6月8. 证明：以 为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得8.已知正方体 的边长为2， O为AC和BD的交点，M为 的中点 （1）求证： 直线 面MAC;（2）求二面角 的余弦值. B1A1 C1D1DCBAOMxyz第三十一张，PPT共五十九页，创作于2022年6月 B1A1 C1D1DCBAOMxyz第三十二张，PPT共五十九页，创作于2022年6月例1 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是

14、正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(1)求证：PA/平面EDB(2)求证：PB平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEF第三十三张，PPT共五十九页，创作于2022年6月ABCDPEFXYZG解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG第三十四张，PPT共五十九页，创作于2022年6月ABCDPEFXYZG(2)求证：PB平面EFD第三十五张，PPT共五十九页，创作于2022年6月ABCDPEFXYZ(3)求二面角C-PB-D的大小。第三十六张，PPT共五十九页，创作于

15、2022年6月ABCDPEFXYZ第三十七张，PPT共五十九页，创作于2022年6月第三十八张，PPT共五十九页，创作于2022年6月例2、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC 底面ABCD。已知 AB=2，BC= 2 ，SA=SB= .(1)求证 (2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。SABCDOxyz第三十九张，PPT共五十九页，创作于2022年6月SABDOC证明：(1)取BC中点O，连接OA、OS。第四十张，PPT共五十九页，创作于2022年6月(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。SABCOxyzD所以直线SD与平面SAB所成角的正弦值为第四

16、十一张，PPT共五十九页，创作于2022年6月例3 如图,在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，PA=AB=1,AD= ，在线段BC上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450? 若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。 DBACEPxzy第四十二张，PPT共五十九页，创作于2022年6月解：以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设BE=m，则第四十三张，PPT共五十九页，创作于2022年6月例4（2006年福建卷）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：AO平面BCD；（II）求异面

17、直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。第四十四张，PPT共五十九页，创作于2022年6月解：（I）略 （II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为 第四十五张，PPT共五十九页，创作于2022年6月（III）解：设平面ACD的法向量为则令得是平面ACD的一个法向量，又所以点E到平面ACD的距离第四十六张，PPT共五十九页，创作于2022年6月例5、(2004，天津)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点。(1)证明：PA/平面EDB；(2)求EB与底面ABCD

18、所成的角的正切值。ABCDPEGxyz第四十七张，PPT共五十九页，创作于2022年6月ABCDPEGxyz(1)证明：设正方形边长为1，则PD=DC=DA=1.连AC、BD交于G点第四十八张，PPT共五十九页，创作于2022年6月(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。ABCDPEGxyz所以EB与底面ABCD所成的角的正弦值为所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为第四十九张，PPT共五十九页，创作于2022年6月 方向朝面内， 方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角第五十张，PPT共五十九页，创作于2022年6月1、如图，已知：直角梯形OABC中， OABC,AOC=90，SO面OABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值 (2)OS与面SAB所成角的余弦值 (3)二面角BASO的余弦值OABCSxyz【练习】 第五十一张，PPT共五十九页，创作于2022年6月OABCSxyz1、如图，已知：直角梯形OABC中， OABC,AOC=90，SO面OABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(1)异面直线SA和OB所成的 角的余弦值 第五十二张，PPT共五十九页，创作于2022年