整理东南大学高等数学期中期末试卷

1、东南大学考试卷（a卷）课程名称高等数学（非电）考试学期04-05-2得分适用专业非电类各专业考试形式闭卷考试时间长度150分钟:1.函数f（X）=的间断点是第类间断点.:1.函数f（X）=的间断点是第类间断点.:3.已知F(x)是f(x)的一个原函数，且f(x)=：F,则f(x)=)ex-e-x)dX=.:4.封J1X1+X2005-1设f(X)=J、；1+u4du|dt,则f心)=:5.设函数f(X)=f2x(x0),则当x=时，f（X）取得最大值.题号二三四五六七得分:一.填空题（每小题4分，共20分）:二.单项选择题（每小题4分，共16分）I密1.设当XTx时，a（x）卩G）都是无穷小（

2、p（x0）,则当XTX时，下列表达式中不一定为无:穷小的是I(B)a2(X)+(B)a2(X)+P2Osin丄(c)ln(1+a(X).B(X)(d)|a(X)+P(x)1丽；丄X2+X+1;2曲线y=ex2arctanq兀+?)的渐近线共有:(A)1条:(A)1条2条3条4条:3.下列级数中收敛的级数是的1(A)兰=nn=1n=1(0乞(-dn=1(D)刃1-dx01+x4n=14.下列结论正确的是(A)若L,d匸la,b，则必有Jdf(xhxJbf(xhx.ca若|f(x)在区间la,b上可积，则f(x)在区间L,b上可积.若f(x)是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有Ja+Tf(xh

3、x=JTfQdx.a若f(x)在区间L,b上可积，则f(x)在L,b内必有原函数.三.1.3.(每小题7分,共35分)Jx三.1.3.(每小题7分,共35分)Jx(n(cost)+12)dtlim-xtOx3J兀xjcos2x-cos4xdx.04n2.判断级数乞的敛散性.5n-3nn=14.卜竺哑dx.1x35.求初值问题ffy+y=x+sinxy(0)=1,y(0)=一2的解.x轴旋转所得旋转体的体积最小.x轴旋转所得旋转体的体积最小.四.(8分)在区间1,e上求一点2，使得图中所示阴影部分绕b(b一a)(7分)设0aaa+b(7分)设当x-1时，可微函数f(x)满足条件广(x)+f(x)

4、-Jxf(t)dt=0 x+10且f(0)=1，试证:当x0时，有e-xf(x)1成立.七(7分)设fG)在区间L1,1上连续，且J1f(xhx=J1f(xlanxdx=0，-1-1证明在区间证明在区间（-1,1）内至少存在互异的两点即g2，使ff毛2L0-证明在区间证明在区间（-1,1）内至少存在互异的两点即g2，使ff毛2L0-+8+8+8+805.1.1404-05-2高等数学（非电）期末试卷答案及评分标准05.1.144.1;5.填空题(每小题4分,共20分)4.1;5.Cx1.0,一；2.;3.4e-1；1+x2单项选择题（每小题4分,共16分）1.A;2.B;3.D;4.C.（每小

5、题7分,共35分）1.原式=limxtOInlimxtOIn(cosx)+x23x23分)=1+!limC0SX-1(33xtox22分4n+11(3VTOC o 1-5 h z2.limn+1=lim5n+13n+1=lim=,t1,即等价于at+1fC)=C+1)lnt2(/1)0,t13分f(1)=0,广()=lnt+11,广6)=01分t广G)=1丄o,t1，且等号当且仅当t=1时成立1分tt2因此广C)单增，广C)广G)=o,t1从而fC)单增，fC)f(1)=o,t1，原不等式得证.2分六.(7分)由题设知f(0)=1,1分所给方程可变形6+1f)+6+1)f(x)Jxf(tlit

6、=00两端对x求导并整理得(x+1)fG)+(x+2)fC)=01分这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得广G)=生2分这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得广G)=生2分FF)=F电)=0,即f)=f)=03分FF)=F电)=0,即f)=f)=03分由于广(o)=-1,得C=-1,池)=-乱0时，f(f(x)1-Jxe-tdt=e-2分01+10七(7分)记F(x)=Jxf(ht，则F(x)在I-1,1上可导，且F(-1)=FG)=02分-1若F(x)在(-1,1)内无零点,不

7、妨设F(x)0,xe(-1,1)F(x)tanx11F(x)sec2xdx二1FF(x)tanx11F(x)sec2xdx二1F(x)sec2xdx0)，则当x二x1+13时，f(x)取得最大值。4设f(x)满足广(x)+!f(x)1,则/(x)=5xF(x)已知F(x)是f(x)的一个原函数，且f(x)=市，则f(x)=选择题(每小题4分，共16分)1x3x设f(x)=-,则f(x)sinnx(A)有无穷多个第一类间断点(C)有两个跳跃间断点(B)只有一个可去间断点(D)有三个可去间断点2.设当xTx时，a(x),卩(x)都是无穷小量(0(x)丰0),则当xTx时，下列00表达式不一定是无穷

8、小量的是a2(x)1(A)(B)a2(x)+02(x)sin(C)ln(1+a(x)卩(x)(D)Ia(x)I+I卩(x)I0(x)x3.下列反常积分发散的是(A)J1dx(B)J11sinx1dx(C)Je-x2dxv1一x20(D)卜-dx2xln2x(A)若(A)若a,bqc,d,则必有Jbf(x)dxJdf(x)dxac若If(x)I在区间a,b上可积，则f(x)在区间a,b上可积若f(x)是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有Ja+Tf(x)dx=JTf(x)dxa0(D)若f(x)在区间a,b上可积，则f(x)在(a,b)内必定有原函数.三(每小题7分，共35分)设y=y(x)满

9、足x2+y2-yexy二2，求曲线y=y(x)在点(0,2)处的切线方程.计算积分11Sn巴+lln(2-x)1dxTOC o 1-5 h z-1x6+1_2x2,3计算积分Jdxx2f“arctanx,4计算反常积分dx1x35.设f(x)=Jx2e-12dt,求J1xf(x)dx.10四.(7分)求微分方程初值问题解.五(8分)在区间1,e上求一点g，使得图中所示阴影部分绕x轴旋转所得旋转体的体积最小。六.(7分)设0a2(b:.aa+b+sin)n+n七.(7分)求极限lim(sin二+sin+sin)n+nnsn+1n+2n+3东南大学考试卷(A卷)课程名称工科数学分析考试学期0405

10、3(期末)得分(A)(A)96兀48兀(C)24兀(D)12兀(A)(A)96兀48兀(C)24兀(D)12兀适用专业上课各专业适用专业上课各专业考试形式闭考试时间长度150分钟(每小题4分，共20分)交换积分次序f1dxj1一x2f(x,y)dy(每小题4分，共20分)交换积分次序f1dxj1一x2f(x,y)dy=0 x1姓姓.设函数f(x)是以2为周期的周期函数，在区间-兀,兀)上f(x)=1,兀Wx0 x0 xV兀，则f(x)的Fourier级数在x兀处收敛于.当a=，p=时，向量场A(2x+ay,x+4y+2z,Pyz)为有势场。二单项选择题(每小题4分，共16分).在下列无穷级数中

11、，收敛的级数是(A)n1(-1)n角nn1号学(C)ln(1+)nnnn1(D)(一1)n一ynn12设S为上半球面z肿x2y2,贝y曲面积分口dS、jX2+y2+z2+1值为题号-一一二三四五六七得分填空题幕级数兰石治的收敛域是n1设f(z)z2sin，则Resf(z),0=z(A)(A)4兀(C)y-x2y2Ax2y23设力场F-(3x-4y)i+(4x+2y)j，将一质点在力场内沿xoy平面内的椭圆花+V-1正向运动一周，场力所做的功W为4.二元函数f(x,y)在点(x,y)处的两个偏导数/(x,y),f(x,y)存在是函数f在该点可微00 x00y00的(A)充分而非必要条件(B)必要

12、而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件三.计算下列各题(每小题7分,共35分)1.2.3.4.计算积分J(z-1)2(z2+1)化1.2.3.4.|z|=2将函数f(x)=1展开为x-2的幕级数。x2+x一2将函数f(x)=；0 x:2在0,2上展为正弦级数。10,1x2将函数f(z)=分别在圆环域(1)01z-112,(2)31z+21+8内展成Laurentz2一1级数。5.判断级数芦ln(1+x)(0 x3)是否一致收敛？证明你的结论。nln2n5.n=2四.(8分)面积分I=JJzxdyadz+zy2dzadx+(yz2+x2)dxady,其中丫为锥面z=Yx2+y2

13、(0z0(n=1,2,3)，且limn(上二一1)=九0,试证交错级数兰(1)-1a收敛。nannssn+1n=1东南大学考试卷课程名称高等数学（下）重修考试日期05-07得分适用专业电类各专业考试形式闭卷考试时间长度150分钟题号二三四五六七得分1Reszsinz(Z兀)22改变积分次序：3函数u=lnC+J1dxfx1Reszsinz(Z兀)22改变积分次序：3函数u=lnC+J1dxfx2f(x,y)dy+f2dxf2xx2f(x,y)dy=。ooiovy2z2在点A(1,1,O)处沿着从点A指向点B(3,1,1)的方向的方向导数为4.幕级数无（x-2）n的收敛域为.2nnn=15.若函

14、数f(x,y)可微，且f(x,x2)=1,f(x,x2)=x,则当x主0时，f(x,x2)=y二单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）1设ez1i=0，则z=ln2+i-+2kJ(B)n近+i勺+2k兀(C)ln2+i+2k兀4丿14丿13丿(D)条件收敛，则必有(A)2.设级数无(1)nan=1ln2（A）区a收敛无a2收敛nnn=1n=1(C)无a2nn=1与艺a都收敛2n1n=1(D)无(ain=1a)收敛n+1则曲线积分的值等于3设C是从点B(2,0)经点A(1,1)到点O(0,0)再到点B的有向闭折线,I=JC+xy2)dx+(y+x2yx则曲线积分的值等于QA)2A)2

15、B)-1C)1D)-2A)2A)2B)-1C)1D)-24444三1计算下列各题（本题共5小题，满分三1计算下列各题（本题共5小题，满分33分）（本题满分6分）将函数仏）=咕在圆环域2Z+i+内展成罗朗级数。4.若d是由上半圆周y=、X与x轴所围成的区域，/为连续函数，则二重积分+Y2）+1）dxdy的值为(B)兀(D)(B)兀2（本题满分7分）设函数u=/（x2+y2,小）,其中/具有二阶连续偏导数，求乎,器oxdxdy2I2x2+3y2+z2=143(本题满分6分)求曲线C:在点(-1,1,3)处的切线方程。3Ix2+2y2=z(本题满分6分)计算积分J1dyJysindx。0yx55（本

16、题满分8分）计算积分B!zdv，其中Q为曲面z=J2-x2-y2与曲面z=x2+y2所Q围成的区域。四（本题满分7分）f四（本题满分7分）f(x)=2x28x+15展成x-1的幂级数，并指明收敛域。五（本题满分8五（本题满分8分）计算曲面积分I二JJx2dyadz+y2dzadx+C3+2)dxady,其中丫为锥面z=xx2+y2=z七（本题满分8分）求原点到曲线丿-的最长和最短距离.Ix2+y2=z七（本题满分8分）求原点到曲线丿-的最长和最短距离.Ix+y+z=1的收敛域与和函数。六.（本题满分8分）求幂级数rn（2n7T5x2n+1的收敛域与和函数。n=1东南大学成贤学院期末试卷一、填空题(4分x5=2吩)直线过点M(2,-l,-3)且平行于向量方=(-3,-2,1),则该直线的方程为.”单项选择题（4分x4=16分）xb=axc,贝U(儿(A)q=0或b-c=0；(B)b=c；(C)a/b且a/c(D)刁8)-函数f(x,y)=x2y3在点(2,1)处沿方向l=7+J的方向导数为()+(A)16；(B)豊;(C)no28；(D)42若函数f(x.y)