近五年高考数学真题分类汇编06 函数与导数

1、近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编三、函数与导数一、单选题1（2021全国（文）下列函数中是增函数的为（ ）ABCD2（2021全国）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）ABCD3（2021浙江）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）ABCD4（2021全国（文）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）ABCD5（2021全国（文）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）A1.5B1.2C0.8D0

2、.66（2021全国（理）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，若，则（ ）ABCD7（2021全国（理）设，则（ ）ABCD8（2021全国（理）设，若为函数的极大值点，则（ ）ABCD9（2021全国（文）下列函数中最小值为4的是（ ）ABCD10（2021全国（理）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）ABCD11（2020海南）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）ABCD12（2020天津）设，则的大小关系为（ ）ABCD13（2020天津）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）ABCD14（2020天津）函数的图象大致为（ ）ABCD15（2020海南）基本再

3、生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln20.69) （ ）A1.2天B1.8天C2.5天D3.5天16（2020海南）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）ABCD17（2020全国（理）在新冠肺炎疫情

4、防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）A10名B18名C24名D32名18（2020全国（理）已知5584，13485设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）AabcBbacCbcaDcab，则Aln(ab)0B3a0Dab32（2018全国（文）函数的图像大致为

5、()ABCD33（2018浙江）已知成等比数列，且若，则ABCD34（2018全国（文）设函数，则满足的x的取值范围是ABCD35（2018全国（文）已知是定义域为的奇函数,满足.若，则ABCD36（2018全国（理）已知函数若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A1，0）B0，+）C1，+）D1，+）37（2018全国（理）设，则ABCD38（2017全国（理）函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是ABCD39（2017天津（文）已知奇函数在上是增函数，若，则的大小关系为ABCD40（2017浙江）若函数在区间0,1上的最大值是M,最小值是m,则的值A与a有关，且与b有关B与

6、a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关D与a无关，但与b有关41（2017全国（理）设x、y、z为正数，且，则A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x0时，讨论函数g（x）=的单调性56（2020全国（理）已知函数f(x)=sin2xsin2x.（1）讨论f(x)在区间(0，)的单调性；（2）证明：；（3）设nN*，证明：sin2xsin22xsin24xsin22nx.57（2020全国（理）设函数，曲线在点(，f()处的切线与y轴垂直（1）求b（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于158（2020全国（文）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有三个

7、零点，求的取值范围59（2019全国（文）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.60（2019全国（理）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.61（2019天津（文）设函数，其中.（）若，讨论的单调性；（）若，（i）证明恰有两个零点（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.62（2019浙江）已知实数，设函数 （1）当时，求函数的单调区间；（2）对任意均有 求的取值范围.注：为自然对数的底数.63（2019全国（文）已知函数.证明：（1）存在唯一的极值点；（2）有

8、且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.64（2018天津（文）设函数，其中,且是公差为的等差数列.（I）若 求曲线在点处的切线方程；（II）若，求的极值；（III）若曲线与直线有三个互异的公共点，求d的取值范围.65（2018天津（理）已知函数，其中a1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.66（2018江苏）记分别为函数的导函数若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”（1）证明：函数与不存在“点”；（2）若函数与存在“点”，求实数的值；（3）已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在

9、区间内存在“点”，并说明理由67（2018北京（理）设函数=（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；（2）若在处取得极小值，求的取值范围68（2018北京（文）设函数.（）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；（）若在处取得极小值，求a的取值范围.69（2018全国（理）已知函数（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求70（2018全国（文）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，71（2018全国（文）已知函数（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点72（2018全国（理）已知函数（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求的值.73（2018

10、全国（理）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：74（2017天津（理）设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.（）求的单调区间；（）设，函数，求证：；（）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且 满足.75（2017山东（理）已知函数，其中是自然对数的底数.（）求曲线在点处的切线方程；（）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.76（2017天津（文）设，.已知函数，.（）求的单调区间；（）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：在处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.77（20

11、17全国（文）已知函数f(x)ex(exa)a2x，其中参数a0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)0，求a的取值范围.78（2017全国（文）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围79（2017全国（理）已知函数ae2x+(a2) exx.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围.四、填空题80（2021浙江）已知，函数若，则_.81（2021全国）函数的最小值为_.82（2021全国）已知函数是偶函数，则_.83（2020北京）函数的定义域是_84（2020北京）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设

12、企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强其中所有正确结论的序号是_85（2020全国（理）关于函数f（x）=有如下四个命题：f（x）的图象关于y轴对称f（x）的图象关于原点对称f（x）的图象关于直线x=对称f（x）的最小值为2其中所有真命题的序号是_86（2019江苏）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=ln

13、x上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是_.87（2019浙江）已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是_.88（2019全国（文）曲线在点处的切线方程为_89（2018上海）已知常数，函数的图象经过点，若，则_90（2018江苏）函数满足，且在区间上，则的值为_91（2018江苏）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_92（2018全国（文）已知函数，则_93（2018全国（理）曲线在点处的切线的斜率为，则_94（2018天津（理）已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是_.95（2018天津（文）已知，函

14、数若对任意x3，+），f(x)恒成立，则a的取值范围是_五、双空题96（2019北京（理）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_97（2019北京（理）设函数f（x）=ex+aex（a为常数）若f（x）为奇函数，则a=_；若f（x

15、）是R上的增函数，则a的取值范围是_98（2018浙江）我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，则当时，_，_99（2018浙江）已知R，函数f(x)=，当=2时，不等式f(x)0的解集是_若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_100（2017北京（理）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.记Qi为

16、第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_.记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_.参考答案1D【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.【解析】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.对于B，为上的减函数，不合题意，舍.对于C，在为减函数，不合题意，舍.对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.2D【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得，

17、所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减，所以，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，当时，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.故选：D.3D【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.【解析】对于A，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，则，当时，与图象

18、不符，排除C.故选：D.4C【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.【解析】由题意可得：，而，故.故选：C.5C【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.【解析】由，当时，则.故选：C.6D【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案【解析】因为是奇函数，所以；因为是偶函数，所以令，由得：，由得：，因为，所以，令，由得：，所以思路一：从定义入手所以思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期所以故选：D7B【解析】,所以;下面比较与的大小关系.记,则,，由于所以当0 x0时,所以,即函数在0,+)上单调递减

19、，所以,即,即b1时，由此可得在单调递增，所以当t1时，即.因为，所以. 由()(ii)可知，当时，即，故 由可得.所以，当时，任意的，且，有.52【解析】（）因为，所以，设切点为，则，即，所以切点为，由点斜式可得切线方程为：，即.（）显然，因为在点处的切线方程为：，令，得，令，得，所以，不妨设时，结果一样，则，所以，由，得，由，得，所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，也是最小值为.53【解析】（I）在上单调递增，所以由零点存在定理得在上有唯一零点；（II）（i），令一方面： ，在单调递增，另一方面：，所以当时，成立，因此只需证明当时，因为当时，当时，所以，在单调递减，综上，.（ii）

20、，因为，所以，只需证明，即只需证明，令，则，即成立，因此.54【解析】（1），.，切点坐标为(1,1+e),函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,切线与坐标轴交点坐标分别为,所求三角形面积为;（2）解法一：,，且.设,则g(x)在上单调递增，即在上单调递增，当时，,成立.当时， ，,存在唯一，使得，且当时，当时，因此1,恒成立；当时， 不是恒成立.综上所述，实数a的取值范围是1,+).解法二：等价于,令,上述不等式等价于,显然为单调增函数，又等价于，即，令,则在上h(x)0,h(x)单调递增；在(1,+)上h(x)1时，=0，解得x1=，x2=易得，g(x)在(，x1)上单调递增，

21、在x1，x2上单调递减，在(x2，+)上单调递增g(x)的极大值g(x1)=g()=0g(x)的极小值g(x2)=g()=若g(x2)0，由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点，不合题意若即，也就是，此时，且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意所以，的取值范围是65【解析】（I）由已知，有.令，解得x=0.由a1，可知当x变化时，的变化情况如下表：x00+极小值所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（II）由，可得曲线在点处的切线斜率为.由，可得曲线在点处的切线斜率为.因为这两条切线平行，故有，即.两边取以a为底的对数，得，所以.（III）曲线在点处的切线

22、l1：.曲线在点处的切线l2：.要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，使得l1和l2重合.即只需证明当时，方程组有解，由得，代入，得. 因此，只需证明当时，关于x1的方程存在实数解.设函数，即要证明当时，函数存在零点.，可知时，；时，单调递减，又，故存在唯一的x0，且x00，使得，即.由此可得在上单调递增，在上单调递减. 在处取得极大值.因为，故，所以.下面证明存在实数t，使得.由（I）可得，当时，有，所以存在实数t，使得因此，当时，存在，使得.所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.66【解析】（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+

23、2x-2，则f（x）=1，g（x）=2x+2由f（x）=g（x）且f（x）= g（x），得，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点（2）函数，则设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f（x0）与g（x0），得，即，（*）得，即，则当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点因此，a的值为（3）对任意a0，设因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在（0，1），使得，令，则b0函数，则由f（x）与g（x）且f（x）与g（x），得，即（*）此时，满足方程组（*），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”因此，对任意a0，存在b0

24、，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+）内存在“S点”67【解析】（）因为=，所以f （x）=2ax（4a+1）ex+ax2（4a+1）x+4a+3ex（xR）=ax2（2a+1）x+2exf (1)=(1a)e由题设知f (1)=0，即(1a)e=0，解得a=1此时f (1)=3e0所以a的值为1（）由（）得f （x）=ax2（2a+1）x+2ex=（ax1）(x2)ex若a，则当x(，2)时，f (x)0所以f (x)0在x=2处取得极小值若a，则当x(0，2)时，x20，ax1x10所以2不是f (x)的极小值点综上可知，a的取值范围是（，+）68【解析】（）因为，所以.，由题设知，即

25、，解得.（）方法一：由（）得.若a1，则当时，；当时，.所以在x=1处取得极小值.若，则当时，所以.所以1不是的极小值点.综上可知，a的取值范围是.方法二：.（1）当a=0时，令得x=1.随x的变化情况如下表：x1+0极大值在x=1处取得极大值，不合题意.（2）当a0时，令得.当，即a=1时，在上单调递增，无极值，不合题意.当，即0a1时，随x的变化情况如下表：x+00+极大值极小值在x=1处取得极小值，即a1满足题意.（3）当a0；当x（，）时，f （x）0故f（x）在（，），（，+）单调递增，在（，）单调递减（2）由于，所以等价于设=，则g （x）=0，仅当x=0时g （x）=0，所以g（

26、x）在（，+）单调递增故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点又f（3a1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一个零点综上，f（x）只有一个零点72【解析】（1）当时，等价于设函数，则当时，所以在单调递减而，故当时，即（2）设函数在只有一个零点当且仅当在只有一个零点（i）当时，没有零点；（ii）当时，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增故是在的最小值若，即，在没有零点；若，即，在只有一个零点；若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，所以故在有一个零点，因此在有两个零点综上，在只有一个零点时，73【解析】（1）的定义域为，.（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（

27、ii）若，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.所以，即.74【解析】（）由，可得，进而可得.令，解得，或.当x变化时，的变化情况如下表：x+-+所以，的单调递增区间是，单调递减区间是.（）证明：由，得，.令函数，则.由（）知，当时，故当时，单调递减；当时，单调递增.因此，当时，可得.令函数，则.由（）知，在上单调递增，故当时，单调递增；当时，单调递减.因此，当时，可得.所以，.（III）证明：对于任意的正整数 ，且，令，函数.由（

28、II）知，当时，在区间内有零点；当时，在区间内有零点.所以在内至少有一个零点，不妨设为，则.由（I）知在上单调递增，故，于是.因为当时，故在上单调递增，所以在区间上除外没有其他的零点，而，故.又因为，均为整数，所以是正整数，从而.所以.所以，只要取，就有.75【解析】（）由题意又，所以，因此 曲线在点处的切线方程为，即 .（）由题意得 ，因为，令则所以在上单调递增.因为所以 当时，当时，(1)当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以 当时取得极小值，极小值是 ；(2)当时，由 得 ，当时，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.所以 当时取得极大值.极大值为，当时取到极小值，极小值是

29、 ；当时，所以 当时，函数在上单调递增，无极值；当时，所以 当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；所以 当时取得极大值，极大值是；当时取得极小值.极小值是.综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值是；当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值， 极大值是；极小值是.76【解析】（I）由，可得，令，解得，或.由，得.当变化时，的变化情况如下表：所以，的单调递增区间为，单调递减区间为.（II）（i）因为，由题意知，所以，解得.

30、所以，在处的导数等于0.（ii）因为，由，可得.又因为，故为的极大值点，由（I）知.另一方面，由于，故，由（I）知在内单调递增，在内单调递减，故当时，在上恒成立，从而在上恒成立.由，得，.令，所以，令，解得（舍去），或.因为，故的值域为.所以，的取值范围是.77【解析】(1)函数f(x)的定义域为(，)，且a0.f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).若a0，则f(x)e2x，在(，)上单调递增.若a0，则由f(x)0，得xln.当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在区间上单调递增.(2)当a0时，f(x)e2x0恒成立.若aa时，f(x)0.综上a的取值范围是，0.78【解

31、析】（1）函数的定义域为，若，则，在单调递增. 若，则由得. 当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增. 若，则由得.当时，；当时，故在单调递减，在单调递增. （2）若，则，所以. 若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时，. 若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时.综上，的取值范围为.79【解析】（1）的定义域为，（）若，则，所以在单调递减.（）若，则由得.当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增.（2）（）若，由（1）知，至多有一个零点.（）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.当时，由于，故只有一个零点；当时，由于，即，故没有零点；

32、当时，即.又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.综上，的取值范围为.802【解析】，故，故答案为：2.811【解析】由题设知：定义域为，当时，此时单调递减；当时，有，此时单调递减；当时，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，综上有：时，单调递减，时，单调递增；，故答案为：1.821【解析】因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，83【解析】由题意得，故答案为：84【解析】表示区间端点连线斜率的负数，在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；正确；甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强错误；在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；正确；在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；正确；故答案为：85