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文档简介
1、第四章 随机变量的数字特征第一节 数学期望第二节 方差第三节 协方差与相关系数第四节 矩 协方差矩阵一、数学期望的概念三、数学期望的性质二、随机变量函数的数学期望第一节 数学期望一、数学期望的概念 引例 甲,乙两射击选手进行射击训练,已知在100次射击中命中环数与次数记录如下:甲: 环数 8 9 10 乙: 环数 8 9 10 次数 30 10 60 次数 20 50 30试问如何判定甲,乙两射击选手的技术优劣?解:用平均命中环数进行比较甲的平均命中环数:乙的平均命中环数:故可以认为甲的技术比乙的好。分析:若设X是命中的环数,则X是一r.v.,它的可能取值为0,1,10。上述所求的平均命中环数
2、可看作是r.v.X的观测值(8,9,10)的算术平均值,是以频率(0.3,0.1,0.6或0.2,0.5,0.3)为权数的加权平均。 平均命中环数频率随机波动随机波动随机波动 稳定值 “平均射中环数”的稳定值 “平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加1. 离散型随机变量的数学期望简称期望或均值。说明“绝对收敛”保证期望存在及唯一;数学期望实际上就是以概率为权数的加权平均;r.v.X的期望也就是它服从的分布的期望。注:并非所有的随机变量都存在数学期望。例1 设r.v.X服从0-1分布,求E(X) 。解: r.v.X的分布律为: X 0 1 P 1p p也称0-1分布的期望为 p 书
3、P94例6解: 例3 掷两枚均匀硬币, 表示出现正面的次数, 求 。先求出r.v. 的分布律0 1 2P再求 的期望到站时刻概率例4解2.连续型随机变量数学期望说明 可与离散型r.v. X的期望公式比较,帮助记忆。例1 设r.v.X ,求E(X) 。解: r.v.X的概率密度函数为:故ab00书P94例7解因此, 顾客平均等待5分钟就可得到服务.例如 顾客平均等待多长时间? 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分计)服从指数分布,其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间?定理 设 是连续函数,若 绝对收敛,则有()若X是离散型随机变量,它的分布律为二、随机变量函数的数学期望()若 X 是连
4、续型的,它的概率密度为 f (x) , 则二维随机变量函数的数学期望例3 设 ( X , Y ) 的分布律为1. 设 C 是常数, 则有证明2. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有证明例如三、数学期望的性质4. 设 X, Y 是相互独立的随机变量, 则有3. 设 X, Y 是两个随机变量, 则有证明说明 用连续型随机变量 X 的数学期望的定义可类似证明。可利用期望的性质求r.v.(函数)的期望。则有例1解X的分布律为另解解例12一、随机变量方差的概念及性质二、重要概率分布的方差第二节方差一、随机变量方差的概念及性质 引例 有两个学生的五次测验成绩如下甲: 成绩 78 80 82 乙:
5、成绩 75 80 90 次数 1 3 1 次数 2 2 1问谁的成绩好? 但分析发现甲的成绩比较稳定,而乙的成绩起伏较大,这就是他们的差别。描述这种差别的量就是方差。乙的平均成绩=(752+802+901)5=80。两人的平均成绩相同;解:甲的平均成绩=(781+803+821)5=80说明 ,其中E(X)视作为一个常数;定义 设 是任一 r.v. ,若 存在,则称它为r.v. 的方差,记作 ,即 称 为r.v. 的标准差(或均方差)。XXX 当 较大时,表示r.v. 的取值比较分散; 当 较小时,表示r.v. 的取值比较集中, 即 刻画了r.v. 取值的离散程度, XXX1.离散型随机变量的
6、方差 连续型随机变量的方差2. 随机变量方差的计算 (1) 利用定义计算 (2) 利用公式计算其中X是离散型r.v.X是连续型r.v.证明证明3. 方差的性质(1) 设 C 是常数, 则有(2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有证明(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则证明推广1. 两点分布 已知随机变量 X 的分布律为则有二、重要概率分布的期望和方差2. 泊松分布 则有所以3. 二项分布 则有 设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布,其分布律为另解4. 均匀分布则有结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.5. 指数分布 则有指数分布的期望和方差
7、分别为6. 正态分布则有结论例如且X,Y相互独立求 的分布+1(Ci不全为零)+b+b解例8分布参数数学期望方差两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布契比雪夫不等式 切比雪夫不等式切比雪夫不等式也可以写成得证明取连续型随机变量的情况来证明.设电站供电网有10000盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7,而假定开、关时间彼此独立,估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率。利用切比雪夫不等式估计补例一、协方差二、相关系数第三节 协方差及相关系数1. 问题的提出 一、协方差协方差2. 定义3. 协方差的计算公式证明4. 性质 ,反之未必成立。(书例1)二、相关系数1. 定义2
8、. 性质 X与Y之间呈线性相关关系,即即X与Y之间无线性相关关系(可能存在非线性关系)(1) 不相关与相互独立的关系3. 注意相互独立不相关(2) 不相关的充要条件(书例1)例2结论一、基本概念二、n 维正态随机变量第四节矩、协方差矩阵一、基本概念1.定义2. 协方差矩阵协方差矩阵的应用协方差矩阵可用来表示多维随机变量的概率密度,从而可通过协方差矩阵达到对多维随机变量的研究二、n 维正态随机变量n 维正态随机变量的性质线性变换不变性一、重点与难点二、主要内容 三、典型例题 第四章随机变量的数字特征习 题 课一、重点与难点1.重点数学期望的性质和计算2.难点数字特征的计算方差的性质和计算协方差和相关系数的性质和计算二、主要内容数学期望方 差离散型连续型性 质协方差与相关系数二维随机变量的数学期望定 义计 算性 质随机变量函数的数学期望定 义协方差的性质相关系数性质X是离散型r.v.X是连续型r.v.X是离散型r.v.X是连续型r.v.数学期望的性质1. 设C是常数, 则有2. 设X是一个随机变量, C是常数, 则有3. 设X, Y 是两个随机变量, 则有4. 设X, Y 是相互独立的随机
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