量子力学11级home-work1.在t0时刻一个一维谐振子处在如下的n1第一激发态和n2第

1、作业1. 在t = 0时刻，一个一维谐振子处在如下的n = 1(第一激发态)和n = 2(第二激发态)21(x)3 求期待值xx2 解：通常的做法先得到任意时刻的波函数2313 (x,t) ee12又x 可用升降算符表示为(我经常会忽略写算符的标记AA+A+ +AA+Ax= A+ 1 x2 +,其中 = m/有A nn + 1 1 作业1. 在t = 0时刻，一个一维谐振子处在如下的n = 1(第一激发态)和n = 2(第二激发态)21(x)3 求期待值xx2 解：通常的做法先得到任意时刻的波函数2313 (x,t) ee12又x 可用升降算符表示为(我经常会忽略写算符的标记AA+A+ +AA

2、+Ax= A+ 1 x2 +,其中 = m/有A nn + 1 1 +An=nn AA n=(n+1)n, A An =nnx = (x,t)x(x,2121 ei3t/21 ei5t/2ei3t/21 ei5t/2=A+ 3333 1 112ei3t/21=1 33334 1 2 =+ = 2m cos(t)e3 (, 221231 ei3t/21ei3t/21 AA + +AA+ A+ = 1 3332321 1 = 112233311 =或也可以从力学量随时间的演化来得到(未必简单 ,1 dp = A2xH= (xtAA+(x,t (注：x不显含1=2ei3t/21 31ei5t/22

3、AA+ 3231=1 3=3 x = cos(t) dp = A2xH= (xtAA+(x,t (注：x不显含1=2ei3t/21 31ei5t/22 AA+ 3231=1 3=3 x = cos(t) = 2m cos(t)3 2 2 2 1 1 x ,H 2x ,2x x,+ x,p x = 2m (xp+ i(xp+px) = AA+ A+A=+21d=x ,= AA+A = 2+ 这表2x = (x)x (x) 22(r) = 2Y11 (,)Y10 (,) 如果对L x 做一次测量，那么可能的测量值和相应的几率解先把原来的波函数做归一化处理，因为只考虑角动量部分，所以实际可以忽略径向

4、部分的波函数，简单1(,)= 2Y11 (,) Y10 (,) 312Y11(,)Y10(,)Lz 2Y11(,)Y10 (,) = 331L =(,)L (,) (,) L +(,) xz2其 l(l + 1) m(m 1)Ylm1L Ylm 1Y11 (,)Y10 (,) L + 2Y11 (,)Y10 (,+=61 2Y11(,) 2Y11(,) Y 10(,) 2 2Y 11(,=6 =32对Lx的测量，实际上就是把原来的波函数投影到Lx的本征空间，所以先要知道Lx的本征函数(在Lz表中的表示)，Lx在Lz表象的矩阵表示为(取1 = Y11，2 = Y10，3 = 0101010Lx

5、= 2.20假定Lx的本征态=(c1 c2 c3)T则本征方程Lx对Lx的测量，实际上就是把原来的波函数投影到Lx的本征空间，所以先要知道Lx的本征函数(在Lz表中的表示)，Lx在Lz表象的矩阵表示为(取1 = Y11，2 = Y10，3 = 0101010Lx = 2.20假定Lx的本征态=(c1 c2 c3)T则本征方程Lx 22010101010= .cc22作矩阵对角化，可以得到三个本征值以及对应的1 112110120 2 ,.2所以测量值分别为，0，对应的几率分别为2022 2 =P1202 1P2(1 0 3= 222 2P1 (1 2 0= 2 , 解, ,+ , , 3n n

6、1n1 ,n1in1 ,n2n2 in 2n n1n1 ,n1in1 ,n2n2 in 2n2n 3n33in1 nin B 4. , , , , = + = + +, .= + = + +, , = 5. 100020002100001010010100001,A= = .假定t0时刻体系的状态为(0=11+12+13H2 222) = ) = 率为1 和1 21212100020002 13 (也可直接按照几率分布给出22224100020002100020002 21212 2 1215=22 H= 222所H H2H2= 12(2要计算A可能取值，需要计算A的本征方程Aa，取本征函数为c1 c2 c3)T100001010= ,解得1 2 1，3 1TTT2 2(0100020002100020002 21212 2 1215=22 H= 222所H H2H2= 12(2要计算A可能取值，需要计算A的本征方程Aa，取本征函数为c1 c2 c3)T100001010= ,解得1 2 1，3 1TTT2 2(011) 3 2(0 1 1) 1 =(1 00) 相应2 2=P1 =1(0)2 (1 0 22P2 =2(0) =P3 =3(0) =即，测量值为a